Introdução a mecanica estrutural  - Apostilas - Arquitetura_Parte2, Notas de estudo de Arquitetura. Universidade Anhembi Morumbi (UAM)
Agua_de_coco
Agua_de_coco6 de Março de 2013

Introdução a mecanica estrutural - Apostilas - Arquitetura_Parte2, Notas de estudo de Arquitetura. Universidade Anhembi Morumbi (UAM)

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Apostilas e exercicios de Arquitetura sobre o estudo da mecanica estrutural, deformações, Lei de Hooke.
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Microsoft Word - PEF2308-09 - Material de apoio.doc

PEF2308/PEF2309 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

17

No Sistema Internacional, a força P é expressa em newtons (N) e A em metros

quadrados (m2). A tensão σ será expressa em N/m2, unidade que é denominada pascal

(Pa). Para uso prático, no entanto, o pascal se revela uma medida muito pequena (as

grandezas expressas em pascal tornam-se números muito grandes). Usam-se, então,

múltiplos dessa unidade, que são o quilopascal (kPa), o megapascal (MPa) e o

gigapascal (GPa).

23 /101 mNkPa =

26 /101 mNMPa =

29 /101 mNGPa =

Quando se usam unidades inglesas, P é expressa em libras (lb) ou quilolibras

(kip), e a área da secção transversal se expressa em polegadas quadradas (in2). A tensão

σ será expressa em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada

quadrada (ksi).

3.2. Deformações

[7]

Admitimos que um corpo é constituído de pequenas partículas ou moléculas,

entre as quais estão atuando forças. Estas forças moleculares opõem-se à mudança de

forma que forças exteriores tendem a produzir. Se estas forças exteriores são aplicadas

no corpo, suas partículas deslocam-se e os deslocamentos mútuos continuam até que o

equilíbrio entre as forças exteriores e interiores seja estabelecido. Diz-se, então, que o

corpo está num estado de deformação. Durante a deformação, as forças exteriores que

estão atuando num corpo produzem trabalho, o qual é transformado completa ou

parcialmente em energia potencial de deformação. Como exemplo deste acúmulo de

energia potencial num corpo deformado, citaremos o caso da corda de relógio. Se as

forças que produziram a deformação do corpo diminuírem gradualmente, o corpo volta

total ou parcialmente à sua forma inicial e, durante esta deformação inversa, a energia

potencial de deformação acumulada no corpo, pode ser recuperada sob a forma de

trabalho exterior, e o relógio funciona.

Tomemos, por exemplo, uma barra prismática carregada na extremidade, como

mostra a figura 3.2. Sob a ação dessa carga, manifestar-se-á certo alongamento da barra.

O ponto de aplicação da carga mover-se-á, então, para baixo e, durante este movimento,

a carga produzirá trabalho positivo. Quando a carga diminui, o alongamento da barra

também diminui, a extremidade carregada se desloca para cima e a energia potencial de

deformação transformar-se-á em trabalho, produzido pelo movimento da carga para

cima.

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Figura 3.2: Deformação de barra carregada

A propriedade dos corpos de voltarem à forma inicial, após a retirada da carga, é

chamada de elasticidade. Diz-se que o corpo é perfeitamente elástico, se recupera

completamente sua forma original depois da retirada da carga; parcialmente elástico, se

a deformação produzida pelas forças exteriores não desaparece completamente depois

da retirada da carga. No caso de um corpo perfeitamente elástico, o trabalho produzido

pelas forças exteriores durante a deformação, será completamente transformado em

energia potencial de deformação. No caso de um corpo parcialmente elástico, parte do

trabalho produzido pelas forças exteriores, durante a deformação, será perdida sob a

forma de calor, o qual será desenvolvido no corpo durante a deformação não elástica.

As experiências mostram que alguns materiais estruturais, como o aço, a madeira e a

pedra podem ser considerados como perfeitamente elásticos entre certos limites, os

quais dependem das propriedades do material. Admitindo-se que as forças exteriores

que atuam na estrutura, sejam conhecidas, constitui um problema fundamental para o

engenheiro que projeta estabelecer proporções para os elementos da estrutura tal que

esta se aproxime da condição de um corpo perfeitamente elástico, sob todas as

condições de trabalho. Somente sob estas condições, teremos uma utilização

conveniente da estrutura, sem haver deformação permanente de nenhum de seus

elementos.

3.3. Lei de Hooke

[7]

Por meio de experiências diretas relativas à distensão de barras prismáticas,

estabeleceu-se, para vários materiais estruturais que o alongamento de barra, entre

certos limites, é proporcional à força de tração. Esta relação linear simples entre a força

e o alongamento que ela produz foi formulada, primeiramente, em 1678, pelo cientista

inglês Robert Hooke e recebeu seu nome. Adotando-se as notações:

P = força que produz a distensão da barra;

dx

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l = comprimento da barra;

A = área da seção transversal da barra;

• δ = alongamento total da barra;

E = constante elástica do material, chamada módulo de elasticidade.

A lei experimental de Hooke pode ser dada pela seguinte equação:

EA

lP

⋅ =δ

O alongamento da barra é diretamente proporcional à força de tração e ao

comprimento da barra, e inversamente proporcional à área da seção transversal e ao

módulo de elasticidade.

3.4. Diagrama dos ensaios de tração

A proporcionalidade entre a força de tração e o alongamento, só existe até um

certo valor limite da tensão de tração, chamado limite de proporcionalidade, o qual

depende das propriedades do material. Além deste limite, a relação entre o alongamento

e a tensão de tração, torna-se mais complicada. Para um material, como o aço de

construção, a proporcionalidade entre a carga e o alongamento, existe numa zona

considerável e o limite de proporcionalidade pode atingir a 1750 - 2100 kg/cm2. Para

materiais como ferro fundido ou cobre doce, o limite de proporcionalidade é muito

baixo, de modo que podemos observar um afastamento da lei de Hooke para tensões de

tração baixas. Estudando-se as propriedades mecânicas dos materiais além do limite de

proporcionalidade, a relação entre a deformação e a tensão correspondente é,

geralmente, representada em gráficos pelo diagrama de ensaios de tração. A figura 3.3

apresenta um diagrama típico para aço de construção. Aí, os alongamentos estão

marcados no eixo horizontal e as tensões correspondentes são dadas pelas ordenadas da

curva OABCD. De O a A, a tensão e a deformação são proporcionais; além

Figura 3.3: Diagrama tensão x deformação para aço de construção.

σ

B

A

C

D

ε

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de A, o afastamento da lei de Hooke torna-se acentuado; portanto, a tensão em A é o

limite de proporcionalidade. Carregando-se além deste limite, o alongamento cresce

mais rapidamente e o diagrama torna-se curvo. Em B, manifesta-se alongamento rápido

da barra sem acréscimo apreciável da força de tração. Este fenômeno, chamado

escoamento do metal, acha-se representado no diagrama por uma parte da curva quase

horizontal. A tensão correspondente ao ponto B é chamada de limite de escoamento.

Após o escoamento da barra, o material sofre um revigoramento e, como se pode ver

pelo diagrama, a força de tração necessária cresce com o alongamento até o ponto C, em

que essa força atinge seu valor máximo. A tensão correspondente é chamada de tensão

de ruptura do material. Além do ponto C, o alongamento da barra manifesta-se com

diminuição de carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura com uma carga correspondente ao

ponto D do diagrama. Notemos que o escoamento da barra está ligado a uma contração

lateral, mas é de prática corrente, ao calcular-se o limite de escoamento e a tensão de

ruptura, usar-se a área inicial A da seção transversal.

A figura 3.4 representa o diagrama de ensaios de tração para ferro fundido. Este

material tem limite de proporcionalidade muito baixo e não possui limite de escoamento

definido. Diagramas análogos a esses de tração, também podem ser obtidos para a

compressão de vários materiais e os pontos característicos (como o limite de

proporcionalidade, o limite de escoamento no caso do aço e a tensão de ruptura à

compressão) podem ser estabelecidos.

Figura 3.4: Diagrama tensão x deformação para ferro fundido.

Observamos pelas figuras que existe uma relação linear onde podemos escrever:

εσ ⋅= E

Esta relação é equivalente à primeira apresentada, na qual P/A foi substituído por

σ.

Como exemplo será determinada a deformação da barra de aço da figura 3.5

abaixo sob ação das cargas indicadas (E = 200GPa):

σ

ε

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Figura 3.5: Barra de aço do exemplo.

Dividimos a barra nos três segmentos indicados na figura 3.5b e desenhamos o

diagrama de corpo livre de cada segmento como indicado em 3.5c.Estudando o

equilíbrio obtém-se:

kNP 4001 = , kNP 1002 −= e kNP 2003 = .

Com esses valores calcula-se:

( ) ( ) ( ) mm,

A

LP

A

LP

A

LP

E 752

1

3

33

2

22

1

11 = 

  

 ⋅ +

⋅ +

⋅ =σ

4. TENSÕES ADMISSÍVEIS, COEFICIENTE DE SEGURANÇA E TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES

[3]

A B C D

A = 600mm² A = 200mm²

300mm 300mm 400mm

500kN 300kN

200kN

A B C D

1 2 3

500kN 300kN

200kN

(a)

(b)

200kN

200kN

200kN

500kN 300kN

300kN

P1

P2

P3

(c)

D

D

D

C

B C

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4.1. Tensões admissíveis

Dentro das aplicações da engenharia, a determinação de tensões, bem como de

outros tipos de esforços, não é o objetivo final, mas um passo necessário no

desenvolvimento de dois dos mais importantes estudos:

• A análise de estruturas e máquinas existentes, com o objetivo de prever seu

comportamento sob condições de carga especificadas.

• O projeto de novas máquinas e estruturas, que deverão cumprir determinadas

funções de maneira segura e econômica.

Para encaminhar qualquer dos dois estudos acima, precisa-se saber como o

material a ser utilizado vai atuar sob condições conhecidas de carregamentos. Para cada

material, isso pode ser determinado realizando-se testes específicos em amostras

preparadas do material. Por exemplo, podemos preparar um corpo de prova de ação e

levá-lo a uma máquina de testes em laboratório, onde ele será submetido a uma carga

axial de tração.

Enquanto fazemos a força aplicada aumentar progressivamente de intensidade,

podemos medir várias modificações por que passa o corpo de prova, como por exemplo,

alterações no comprimento e no diâmetro.

Em certo instante, a máxima força que pode ser aplicada ao corpo de prova é

atingida e a amostra se quebra, ou começa a perder resistência, suportando forças

menores. Essa força máxima é chamada de carregamento último dessa amostra, e é

designada pelo símbolo Pu.

Como a força aplicada é centrada, podemos dividir a carga de ruptura pela área

da seção transversal da barra, para obter a tensão normal última do material em estudo.

Esta tensão, também conhecida como tensão última à tração, tem valor:

A

Pu u

Muitos procedimentos para testes são usados na determinação da tensão última a

cisalhamento de um material. Um procedimento usual utiliza a torção de um tubo

circular.

Um método mais direto, porém não tão preciso como o anterior, consiste em

levar uma chapa a uma ferramenta de corte e aplicar um carregamento crescente, até

que a carga última Pu para corte simples seja atingida (figura 4.1a). Se a extremidade

livre da chapa estiver apoiada sobre as duas bordas cortantes da ferramenta (figura

4.1b), obtém-se a carga última para corte duplo. Nos dois casos, obtém-se a tensão

última a cisalhamento, dividindo-se a carga última pela área cortada. No caso de corte

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simples, essa área é igual à da seção transversal do corpo de prova, e no caso de corte

duplo, vale o dobro da área da seção transversal.

Figura 4.1: Obtenção da tensão última (a) para corte simples e (b) para corte duplo.

Uma peça estrutural ou componente de máquina deve ser projetada de tal forma

que a carga última seja consideravelmente maior que o carregamento que essa peça ou

elemento irá suportar em condições normais de utilização. Esse carregamento menor é

chamado de carregamento admissível e, algumas vezes, carga de utilização ou carga de

projeto. Então, quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade de

resistência do material está sendo utilizada; a outra parte é reservada para assegurar ao

material condições de utilização seguras.

4.2. Coeficiente de segurança

A relação entre o carregamento último e o carregamento admissível é chamada

coeficiente de segurança.

admissívelaargc

últimaaargc CSsegurançadeeCoeficient

==

Em muitas aplicações existe uma correspondência linear entre carga aplicada e

tensão provocada pela carga. Nesse caso o coeficiente de segurança pode ser expresso

por:

admissíveltensão

últimatensão CSsegurançadeeCoeficient

==

A determinação do valor a ser adotado para o coeficiente de segurança, nas

muitas aplicações possíveis, é um dos mais importantes problemas da engenharia. Por

um lado, a escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar a uma possibilidade

muito alta de ruptura da estrutura; por outro lado, um coeficiente de segurança muito

alto leva a projetos antieconômicos ou pouco funcionais. A escolha do coeficiente de

segurança adequado para as diferentes aplicações práticas requer uma análise cuidadosa,

em que se levam em consideração muitos fatores, como os que se seguem:

• Modificações que ocorrem nas propriedades do material. A composição, resistência

P P

(a) (b)

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e dimensões dos materiais estão sujeitas a pequenas variações durante a fabricação

das peças. Além disso, as propriedades do material podem ficar alteradas, e podem

ocorrer tensões residuais, devido a deformações e variações de temperatura a que o

material se sujeita no transporte, armazenamento ou na própria execução da

estrutura.

• O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura ou

máquina. Para a maior parte dos materiais, a aplicação do carregamento, repetida

muitas vezes, leva a um decréscimo no valor da tensão última. Este fenômeno é

chamado de fadiga do material e, se não for levado em conta, poderá ocorrer uma

ruptura brusca.

• O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poderá atuar futuramente. A

maior parte dos carregamentos adotados em projeto é estimada, pois são poucas as

vezes em que um carregamento pode ser previsto com precisão. Ocorre também a

possibilidade de alterações futuras na finalidade da máquina ou estrutura que está

sendo projetada, como modificações nos valores previstos por ocasião do projeto.

Cargas dinâmicas, cíclicas e instantâneas (choque) exigem altos valores de

coeficientes de segurança.

• O modo de ruptura que pode ocorrer. Materiais frágeis apresentam ruptura

repentina, sem nenhuma indicação de que o colapso é iminente. Já os materiais

dúcteis, como o aço estrutural, apresentam grande deformação, chamada

escoamento, antes de atingir a ruptura, e esse comportamento do material fornece

um aviso de que está ocorrendo carregamento excessivo. A ruptura ocasionada por

perda de estabilidade da estrutura é geralmente repentina, seja o material frágil ou

não. Quando existe a possibilidade de ruptura repentina, o valor a se adotar para o

coeficiente de segurança deve ser maior do que no caso de ruptura com aviso.

• Métodos aproximados de análise. Os métodos de cálculo e análise são baseados em

certas simplificações que levam a diferenças entre as tensões calculadas e aquelas

realmente atuantes na estrutura.

• Deterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manutenção ou por

causas naturais imprevisíveis. Em locais em que a decomposição do material ou a

ferrugem são difíceis de se controlar ou de se prever, deve ser adotado um

coeficiente de segurança de valor elevado.

4.3. Tração e compressão simples

[6]

Considere uma barra prismática (de eixo reto e seção transversal constante) sob a

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ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico dos

centros de gravidade das seções transversais). Diz-se que a barra é tracionada quando

aquelas forças são dirigidas para fora da barra; em caso contrário, diz-se que a barra é

comprimida. Os dois casos estão indicados nas figuras 4.2a e 4.2b que se seguem.

Figura 4.2: (a) barra tracionada e (b) barra comprimida.

Sob a ação dessas forças externas, originam-se esforços internos na barra; para o

seu estudo, pode-se imaginar que a barra seja cortada ao longo de uma seção transversal

qualquer do plano do corte a-a, indicado na figura 4.3a.

Figura 4.3: Esforços internos na barra.

E se supõe removida a parte do corpo que se situa, por exemplo, à direita do

corte efetuado, tem-se a situação indicada na figura 4.3b, onde está representada a ação

que esta parte suprimida exercia sobre a restante. Por este artifício, de se efetuar um

corte, os esforços internos, na secção considerada transformam-se em externos,

relativamente à parte do corpo que se conservou. Para que não se altere o equilíbrio,

estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também axial, de intensidade P; além

disso, supõe-se que eles atuem, em cada ponto da seção, paralelamente ao eixo da barra,

isto é, sejam perpendiculares à seção transversal considerada.

5. MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS PLANAS

[7]

5.1. Momentos de inércia de uma área plana em relação a um eixo situado no seu plano

No estudo da flexão das vigas, encontram-se integrais do tipo:

∫= Az dAyI 2

nas quais cada elemento de área dA é multiplicado pelo quadrado de sua distância ao

(a) (b)

P P P P

a

a

(a) (b)

P P P

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eixo dos z e a integração é estendida ao longo de toda a seção transversal A da viga

(figura 5.1a). Essa integral permite calcular o momento de inércia da área A em relação

ao eixo dos z.

Figura 5.1: Elementos para o cálculo do momento de inércia de uma figura plana (a) genérica e (b)

retangular.

Em casos simples, os momentos de inércia podem ser calculados analiticamente

com bastante facilidade. Seja, por exemplo, um retângulo (figura 5.1b). Para calcular o

momento de inércia deste retângulo em relação ao eixo de simetria horizontal z, pode-se

dividi-lo em elementos infinitesimais, tais como a área tracejada que a figura mostra.

Então, tem-se que:

∫ ⋅

== 2 0

3 2

12 2

h

z

hb bdyyI

Analogamente, o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo dos y

será:

∫ ⋅

== 2 0

3 2

12 2

b

z

hb hdzzI

A primeira equação também pode ser usada para o cálculo de Iz para o

paralelogramo da figura 5.2a abaixo, porque este paralelogramo pode ser obtido a partir

do retângulo indicado pelas linhas interrompidas, por meio de um deslocamento

paralelo ao eixo dos z dos elementos, tais como o indicado.

As áreas tracejadas dos elementos e suas distâncias ao eixo dos z permanecem

inalteradas durante tal deslocamento, de modo que Iz é o mesmo que o do retângulo.

y z

y

dA

z

dy

y

z

2

h

2

h

b (a)

(b)

G G

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Figura 5.2: Momento de inércia de (a) um paralelogramo e (b) um triângulo.

No cálculo do momento de inércia de um triângulo em relação a um eixo que

passa por sua base (figura 5.2b), obtemos a área de um elemento infinitesimal por

semelhança de triângulos:

dy h

yh bdA

h

yh bl

h

yh

b

l )()( − ⋅=⇒

− ⋅=⇒

− =

e a equação ∫= Az dAyI 2 resultará,

∫ ⋅

= −

⋅⋅= h

z

hb dy

h

yh byI

0

3 2

12

)( .

O método de cálculo ilustrado pelos exemplos acima pode ser usado no caso

geral. O momento de inércia é obtido dividindo a figura em faixas infinitesimais e

depois integrando-as pela equação ∫= Az dAyI 2 .

O cálculo, muitas vezes, pode ser simplificado no caso da figura poder ser

dividida em partes cujos momentos de inércia em relação ao eixo sejam conhecidos. Em

tal caso, o momento de inércia total, é a soma dos momentos de inércia de todas as

partes.

5.2. Translação dos eixos. Teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner)

Se o momento de inércia de uma área em relação a um eixo z que passa por seu

centro de gravidade (figura 5.3) é conhecido, o momento de inércia em relação a

qualquer eixo paralelo a esse eixo z pode ser calculado pela equação conhecida pelo

nome de teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner):

dy

y

z

2

h

2

h

b

(a)

G

dy

y

z

l

h y

b

(b)

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28

Figura 5.3: Teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner).

2dAI'I zz ⋅+=

em que A é a área da figura e d é a distância entre os eixos. Este teorema pode ser

provado como se segue.

Em vista de ∫= Az dAyI 2 podemos escrever,

( ) ∫∫∫∫ +⋅+=+= AAAAz dAddAdydAydAdy'I 222 2

A primeira integral do segundo membro é igual a Iz, a terceira igual a 2

dA ⋅ e a

segunda é nula devida ao fato do eixo passar pelo centro de gravidade, de modo que a equação fica reduzida à equação 2dAI'I zz ⋅+= . Esta equação é muito útil,

especialmente para o cálculo dos momentos de inércia das seções transversais de vigas

compostas. As posições dos centros de gravidade das diversas partes componentes, isto

é, dos diversos perfis (cantoneiras, etc...) bem como seus momentos de inércia em

relação a eixos passando por seus centros de gravidade, e suas áreas são dadas em

diversos manuais. Por meio da translação dos eixos, o momento de inércia de uma tal

seção composta em relação ao eixo dos z, pode ser calculado muito facilmente.

Ao final, traremos em apêndices, tabelas com os centróides e momentos de

inércia de algumas figuras planas.

CONCLUSÃO

Esperamos que este trabalho tenha atingido seus objetivos, conseguindo servir

de base teórica e facilitando a compreensão dos princípios básicos que fundamentam a

mecânica das estruturas.

Este texto serviu-se minimamente de exercícios resolvidos por considerar que

existem trabalhos de outros alunos da disciplina que cobrem de forma excelente esta

lacuna.

y

d

dA

z G

z’

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29

Cabe lembrar que este trabalho seguiu uma seqüência especial de assuntos e que

se trata de uma compilação de vários textos.

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30

Apêndice: Momentos de inércia de figuras geométricas comuns

Retângulo

12

3

'

hb I z

⋅ =

12

3

'

hb I y

⋅ =

3

3hb I z

⋅ =

3

3 hb I y

⋅ =

Triângulo

36

3

'

hb I z

⋅ =

12

3hb I z

⋅ =

Círculo

4

4r II yz

⋅ ==

π

Semicírculo

8

4r II yz

⋅ ==

π

z'

z

y y’

h

b

G

z’

b

z

h

h/3

G

G z

r

G z

y

r

y

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31

Quadrante

16

4r II yz

⋅ ==

π

Elipse

4

3ba I z

⋅⋅ =

π

4

3 ba I z

⋅⋅ =

π

z

r

y

G

G z

b

y

a

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32

Referências bibliográficas

[1] ALMEIDA, E. S., Neto. Conceitos fundamentais. Versão preliminar. Escola

Politécnica da Universidade de São Paulo, 2001.

[2] BEER, F. P., RUSSELL, J., Jr. Mecânica Vetorial para Engenheiros. 5ª edição

revisada. Editora Makron Books.

[3] BEER, F. P., RUSSELL, J., Jr. Resistência dos Materiais. 2ª edição. Editora

McGraw Hill.

[4] HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 4th edition. Prentice Hall.

[5] MASUERO, J. R., CREUS, G. J. Introdução à Mecânica Estrutural. Nova Série

Livro-Texto, 1ª edição. Editora da Universidade/UFRGS, 1997.

[6] NASH, W. A. Resistência dos Materiais. 1ª edição reimpressa. Editora McGraw

Hill, 1973.

[7] TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos Materiais. 3ª edição. Editora Livros Técnicos

e Científicos.

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