Limites e Continuidade - Exercício - Fundamentos de Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Limites e Continuidade - Exercício - Fundamentos de Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Limites e Continuidade.
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Lista de exercícios - Limites e Continuidade

1. Para a função f (x) ilustrada abaixo, encontre os seguintes limites ou explique por que eles não existem:

(a) lim x!1

f (x) (b) lim x!2

f (x) (c) lim x!3

f (x)

2. Quais das seguintes a…rmações sobre a função y = f (x) ilustrada a seguir são verdadeiras e quais são falsas?

(a) lim x!0

f (x) existe (b) lim x!0

f (x) = 0 (c) lim x!0

f (x) = 1

(d) lim x!1

f (x) = 1 (e) lim x!1

f (x) = 0

3. Explique através de palavras ou grá…cos por que os limites abaixo não existem.

(a) lim x!0

x

jxj (b) limx!1 1

x� 1

1

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4. Seja

f (x) = x2 � 9 x+ 3

(a) Usando uma calculadora faça uma tabela [x; f (x)] com valores que se aproximem cada vez mais de x = �3. Sugestão: use os seguintes val- ores menores que x: �4; �3; 5; �3; 1; �3; 01; �3; 001; e os seguintes valores maiores que x: �2; �2; 5; �2; 9; �2; 99; �2; 999.

(b) Para x 6= 3 simpli…que f (x) e encontre algebricamente o limx!�3 f (x).

5. Seja

f (x) = x2 + 3x+ 2

2� jxj

(a) Usando uma calculadora faça uma tabela [x; f (x)] com valores que se aproximem cada vez mais de x = �2 pela esquerda (x < �2) e pela direita (x > �2).

(b) Para x 6= �2 simpli…que f (x) e encontre algebricamente o limx!�2 f (x).

6. Para g (x) =

sen x x

;

faça uma tabela (usando uma calculadora cientí…ca) com valores [x; g (x)] para x se aproximando cada vez mais de 0 pela esquerda (x < 0) e pela direita (x > 0). Em seguida, estime limx!0 g (x).

7. Calcule a taxa média de variação da função

f (x) = 3x� 2

no intervalo [2; P ] com P = 3. Conforme fazemos P se aproximar de 2 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor- limite.

8. Calcule a taxa média de variação da função

f (x) = x3 + 1

no intervalo [�1; P ] com P = 0. Conforme fazemos P se aproximar de �1 a taxa de variação média atinge um valor-limite. Determine este valor- limite.

2

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9. Usando as propriedades de limites determine o valor dos seguintes limites:

(a) lim x!7

(2x+ 5) (b) lim t!6

8 (t� 5) (t� 7)

(c) lim y!�5

y2

5� y (d) limh!0 3p

3h+ 1 + 1

(e) lim x!5

x� 5 x2 � 25 (f) limt!1

t2 + t� 2 t2 � 1

(g) lim y!1

5y3 + 8y2

3y4 � 16y2 (h) limx!�2 �2x� 4 x3 + 2x2

(i) lim y!0

5y3 + 8y2

3y4 � 16y2 (j) limv!2 v3 � 8 v4 � 16

(k) lim x!9

p x� 3 x� 9 (l) limx!4

4x� x2 2�

p x

(m) lim x!1

x� 1p x+ 3� 2

(n) lim x!�2

x+ 2p x2 + 5� 3

10. Limites que representam taxa de variação instantânea

lim h!0

f (x+ h)� f (x) h

aparecem frequentemente no cálculo. Determine este limites para as seguintes casos:

(a) f (x) = x2, no ponto x = �2. (b) f (x) = 3x� 4, no ponto x = 2: (c) f (x) = 1=x, no ponto x = 3.

(d) f (x) = p x+ 1, no ponto x = 0.

11. Se p 5� 2x2  f (x) 

p 5 + 2x2 para�1  x  1, determine limx!0 f (x)

(Sugestão: use o teorema do confronto).

12. Se 2�x2  g (x)  2 cosx para todos os valores de x, determine limx!0 g (x) (Sugestão: use o teorema do confronto).

13. Prove por " e  (de…nição formal de limite) os seguintes limites:

(a) lim x!4

(9� x) = 5 (b) lim t!9

p x� 5 = 2

(c) lim x!1

f (x) = 1 se f (x) = 

x2, x 6= 1 2, x = 1

(d) lim x!1

1

x = 1 (e) lim

v!�3

x2 � 9 x+ 3

= �6

(f) lim x!1

f (x) = 2 se f (x) = 

4� 2x, x < 1 6x� 4, x  1

(g) lim x!0

xsen 1

x = 0 (h) lim

x!0 x2cos

1

x = 0

3

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14. Seja a função

h (x) =

8<: x 2; x < 2 3; x = 2 2; x > 2

Mostre que

(a) lim x!2

h (x) 6= 4 (b) lim x!2

h (x) 6= 3 (c) lim x!2

h (x) 6= 2

15. Quais das a…rmações a seguir sobre a função y = f (x) representada no grá…co são verdadeiras e quais são falsas?

(a) lim x!�1+

f (x) = 1 (b) lim x!0�

f (x) = 0

(c) lim x!0�

f (x) = 1 (d) lim x!0�

f (x) = lim x!0+

f (x)

(e) lim x!0+

f (x) existe (f) lim x!0

f (x) = 0

(g) lim x!0

f (x) = 1 (h) lim x!1

f (x) = 1

(i) lim x!1

f (x) = 0 (j) lim x!2�

f (x) = 2

(k) lim x!�1�

f (x) não existe (l) lim x!2+

f (x) = 0

16. Seja

f (x) =

 0; x  0 sen 1x ; x > 0

4

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(a) Existe limx!0+ f (x)? Se existe, qual? Se não, por quê?

(b) Existe limx!0� f (x)? Se existe, qual? Se não, por quê?

(c) Existe limx!0 f (x)? Se existe, qual? Se não, por quê?

17. Represente gra…camente a função

f (x) =

8<: p 1� x2, 0  x < 1

1, 1  x < 2 2, x = 2

e depois responda as seguintes questões:

(a) Quais são o domínio e a imagem de f?

(b) Em quais pontos c, existe limx!c f (x)?

(c) Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda?

(d) Em quais pontos existe apenas o limite à direita?

18. Represente gra…camente a função

f (x) =

8<: x, � 1  x < 0 ou 0 < x  11, x = 0 0, x < �1 ou x > 1

e depois responda as seguintes questões:

(a) Quais são o domínio e a imagem de f?

(b) Em quais pontos c, existe limx!c f (x)?

(c) Em quais pontos existe apenas o limite à esquerda?

(d) Em quais pontos existe apenas o limite à direita?

5

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19. Usando as propriedades de limites laterais determine o valor dos seguintes limites:

(a) lim x!�0;5�

r x+ 2

x+ 1 (b) lim

x!1�

 1

x+ 1

 x+ 6

x

 3� x 7

 (c) lim

h!0+�

p h2 + 4h+ 5�

p 5

h (d) lim

h!0��

p 6�

p 5h2 + 11h+ 6

h

(e) lim t!�2�

(x+ 3) jx+ 2j x+ 2

(f) lim t!�2+

(x+ 3) jx+ 2j x+ 2

(g) lim t!1+

p 2x (x� 1) jx� 1j (h) limt!1�

p 2x (x� 1) jx� 1j

20. Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo in…nitos:

(a) lim x!1

 � 2 x2

(b) lim x!�1

1

8� (5=x2)

(c) lim x!1

3� (2=x) 4 +

�p 2=x2

 (d) lim x!�1

cos x 3x

(e) lim r!1

r + sen r 2r + 7� 5 sen r (f) limx!�1 e

xcos  1

x

 (g) lim

x!1

3x2 + e�x

sen (1=x)� 2x2 (h) limx!�1 3x+ 7

x2 � 2

(i) lim x!1

2x+ 3

5x+ 7 (j) lim

x!�1

9x4 + x

2x4 + 5x2 � x+ 6

(k) lim x!1

10x5 + x4 + 31

x6 (l) lim

x!1

2 + p x

2� p x

(m) lim x!1

2x5=3 � x1=3 + 7 x8=5 + 3x+

p x

(n) lim x!�1

3 p x� 5x+ 3

2x+ x2=3 � 4

21. Determine os seguintes limites:

(a) lim x!0

1

3x (b) lim

x!7

4

(x� 7)2

(c) lim x!0

�1 x2 (x+ 1)

(d) lim x!0�

2

x1=5

(e) lim r!(=2)�

tg x (f) lim x!0�

(1 + cosec x)

22. Determine lim

1

x2 � 4 quando

(a) x! 2+ (b) x! 2�

(c) x! �2+ (d) x! �2�

6

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23. Determine

lim

 x2

2 � 1

x

 quando

(a) x! 0+ (b) x! 0�

(c) x! 3 p 2 (d) x! �1

24. Determine

lim

 x2 � 3x+ 2 x3 � 2x2

 quando

(a) x! 0+ (b) x! 2+

(c) x! 2� (d) x! 2

25. Determine

lim

1

x2=3 +

2

(x� 1)2=3

! quando

(a) x! 0+ (b) x! 0�

(c) x! 1+ (d) x! 1�

26. Usando os limites fundamentais

lim x!0

sen x x

= 0 e lim n!1

 1 +

1

n

n = e

calcule:

(a) lim x!0

sen 3x 4x

(b) lim x!0

tg 2x x

(c) lim x!0�

x+ xcos x sen x cos x

(d) lim x!0

sen x sen 2x

(e) lim x!0

sen (sen x) sen x

(f) lim x!0

sen 3x cotg 5x x2

(g) lim n!1

 1 +

2

n

n (h) lim

n!1

 1 +

1

n

n+3 (i) lim

n!1

 1 +

3

n

n+2 (j) lim

n!1

 n+ 7

n+ 4

n

7

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27. Esboce o grá…co da função

f (x) =

8>>>><>>>>: x2 � 1, � 1  x < 0 2x, 0 < x < 1 1, x = 1 �2x+ 4, 1 < x < 2 0; 2 < x < 3

e responda as seguintes perguntas:

(a) Existe f (�1)? Existe limx!�1+ f (x)? Existe f (�1) = limx!�1+ f (x)? (b) f é contínua em x = �1? (c) Existe f (1)? Existe limx!1 f (x)? Existe f (1) = limx!1 f (x)?

(d) f é contínua em x = 1?

(e) f é de…nida em x = 2? f é contínua em x = 2?

(f) Para quais valores de x; f é contínua?

(g) Qual valor deve ser atribuído a f (2) para tornar a função estendida contínua em x = 2?

(h) Para qual valor f (1) deve ser mudado para remover a descontinuidade?

28. Em quais intervalos as funções abaixo são contínuas?

(a) f (x) = 1

x� 2 � 3x (b) f (x) = x+ 4

x2 � 3x� 10

(c) f (x) = jx� 1j+ sen x (d) f (x) = 2 + x cos x

(e) f (x) = p 2x+ 3 (f) f (x) =

x tg x x2 + 1

29. De…na h (2) de maneira que estenda

h (t) = t2 + 3t� 10

t� 2

para torná-la contínua em t = 2.

30. Para qual valor de a

f (x) =

 x2 � 1, x < 3 2ax, x  3

é contínua em qualquer x?

8

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RESPOSTAS:

1. (a) não existe, pois a função possui um salto em torno de x = 1 (b) 1 (c) 0

2. (a) V (b) V (c) F (d) F (e) F

3. (a) Existe um salto de duas unidades em torno de x = 0 (b) A função cresce inde…nidamente x = 1+ e decresce inde…nidamente para x = 1�.

4. (b) �6

5. (b) �1

6. 1

7. Taxa média: 3; taxa instantânea 3.

8. Taxa média: 1; taxa instantânea 3.

9. (a) 19 (b) �8 (c) 52 (d) 3 2 (e)

1 10 (f)

3 2 (g) �1 (h)

�1 2 (i)

�1 2 (j)

3 8 (k)

1 6

(l) 16 (m) 4 (n) �32

10. (a) �4 (b) 3 (c) �19 (d) 1 2

11. 5

12. 2

13. Sem resposta.

14. Sem resposta.

15. (a) V (b) V (c) F (d) V (e) V (f) V (g) F (h) F (i) F (j) F (k) V (l) F

16. (a) Não (b) Sim, 0 (c) Não

17. (a) D = [0; 2] e Im = [0; 1] [f2g (b) ]0; 1[ [ ]1; 2[ (c) x = 2 (d) x = 0

18. (a) D =] � 1;1[e Im = [�1; 1] (b) ] � 1;�1[ [ ] � 1; 1[ [ ]1;1[ (c) Nenhum (d) Nenhum

19. a) p 3 (b) 1 (c) 2p

5 (d) �5p

6 (e) 1 (f) �1 (g)

p 2 (h) �

p 2

20. (a)  (b) 18 (c) 3 4 (d) 0 (e)

1 2 (f) 0 (g) �

3 2 (h) 0 (i)

2 5 (j)

9 2 (k) 0 (l) �1

(m) 1 (n) �52 21. (a) 1 (b) 1 (c) �1 (d) �1 (e) 1 (f) �1

22. (a) 1 (b) �1 (c) �1 (d) 1

23. (a) �1 (b) 1 (c) 0 (d) 1

24. (a) �1 (b) 14 (c) 1 4 (d)

1 4

9

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25. (a) 1 (b) 1 (c) 1 (d) 1

26. (a) 34 (b) 2 (c) 2 (d) 1 2 (e) 1 (f) 12 (g) e

2 (h) e (i) e3 (j) e3

27. (a) Sim; Sim; Sim (b) Sim (c) Sim; Sim; Não (d) Não (e) Não; Não (f) [�1; 0[ [ ]0; 1[ [ ]1; 2[ [ ]2; 3[ (g) f (2) = 0 (h) f (1) = 2

28. (a) Qualquer x exceto x = 2; (b) S = fx 2 Rjx 6= 5 ou x 6= �2g; (c) S = fx 2 Rg; (d) S =

 x 2 Rjx 6= (2n+ 1) 2 para todo n 2 Z

; (e) S =

x 2 Rjx  �32 ; (f) S =

 x 2 Rjx 6= (2n+ 1) 2 para todo n 2 Z

;

29. h (2) = 7

30. a = 43

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