Lista de Cálculo Diferencial e Integral II - Exercícios - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática Aplicada. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
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Brasilia8012 de Março de 2013

Lista de Cálculo Diferencial e Integral II - Exercícios - Matemática Aplicada a Negócios, Notas de estudo de Matemática Aplicada. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
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Lista de Cálculo Diferencial e Integral II MAN / 2012

Exerćıcio 1. Calcule a norma do vetor dado: a) −→u = (1, 2) b) −→v = (0, 1, 2)

Exerćıcio 2. Sejam −→u ,−→v dois vetores quaisquer do Rn. Verifique que : a) ‖−→u −−→v ‖ ≥ ‖−→u ‖ − ‖−→v ‖. b)‖−→u −−→v ‖ ≥ ‖−→v ‖ − ‖−→u ‖. c) ‖−→u −−→v ‖ ≥ | ‖−→u ‖ − ‖−→v ‖ |.

Exerćıcio 3. Sejam −→u e −→v vetores quaisquer do Rn. Prove que: −→u⊥−→v ⇔ ‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖v‖2.

Exerćıcio 4.Seja −→u um vetor qualquer do Rn. Prove que se −→u · −→v = 0, para todo −→v ∈ Rn, então −→u = −→0 .

Exerćıcio 5. Sejam −→u ,−→v ,−→w vetores do Rn tais que −→w = α−→u + β−→v , com α e β reais. Suponha −→u e −→v unitários e ortogonais. Prove que α = −→u ·−→w e β = −→v ·−→w .

Exerćıcio 6. Verifique quais dos conjuntos a seguir são abertos em R2. a) {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1} b) {(x, y) ∈ R2/x+ y ≥ 1} c) {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1 e x+ y > 3} d) {(x, y) ∈ R2/x = 1 e 1 < y < 3} e) {(x, y) ∈ R2/x2 + xy + y2 < 0} f) {(x, y) ∈ R2/x+ y > 3 e x2 + y2 < 16} g) {(x, y) ∈ R2/xy > 0} h) {(x, y) ∈ R2/x ≥ 0 e y > 1/2}

Exerćıcio 7. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado: a) {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1} b) {(x, y) ∈ R2/x e y inteiros} c) {(1/n, 1)/n 6= 0 natural} d) {(x, y) ∈ R2/x+ y ≥ 1} e) {(x, y) ∈ R2/x = 1, 1 < y < 2} f) {(x, y) ∈ R2/x e y racionais}

Exerćıcio 8. Sejam A e B dois subconjuntos do R2 . Prove que se A e B forem abertos, então A ∪B e A ∩B também serão.

Exerćıcio 9. Suponha que, para cada natural n, AN é um subconjunto aberto do R2. Seja B a reunião de todos os AN e C a interseção de todos os An. Pergunta-

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se: B é aberto?C é aberto? Justifique.

Exerćıcio 10. Seja F um subconjunto de R2. Dizemos que F é um conjunto fechado se o conjunto de todos os (x, y) não pertencentes a F for aberto. Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados:

a) {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1} b) {(x, y) ∈ R2/x ≥ 0 e y > 0} c) {(x, y) ∈ R2/x e y inteiros} d) {(x, y) ∈ R2/x e y racionais} e) ∅ f) R2 g) {(x, y) ∈ R2/x = 1, 1 ≤ y ≤ 3} h) {(x, y) ∈ R2/x = 1, 1 ≤ y < 3}

Exerćıcio 11. Suponha que o conjunto B, B ⊂ R2, não seja aberto. Pode-se concluir que B é fechado? Sim ou não? Justifique.

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