Lista de Cálculo - Exercícios - Cálculo I, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8011 de Março de 2013

Lista de Cálculo - Exercícios - Cálculo I, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo, lista de exercicios.
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01. Explique com suas palavras o significado da equação

2 lim ( ) 5 x

f x

 . É possível, diante da equação anterior,

que (2) 3f  ? Explique.

02. Explique o significado para você dizer que

1 lim ( ) 3 x

f x 

 e 1

lim ( ) 7 x

f x 

Nessa situação é possível que 1

lim ( ) x

f x

exista?

Explique.

03. Explique o significado de cada uma das notações a seguir,

(a) 3

lim ( ) x

f x 

  (b) 4

lim ( ) x

f x 

 

04. Para a função h cujo gráfico é dado, determine o

valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir,

explique por quê.

(a) 3

lim ( ) x

h x 

(b) 3

lim ( ) x

h x  

(c) 3

lim ( ) x

h x 

(d) ( 3)h

(e) 0

lim ( ) x

h x 

(f) 3

lim ( ) x

h x 

(g) 0

lim ( ) x

h x

(h) (0)h

(i) 2

lim ( ) x

h x

(j) (2)h (k) 5

lim ( ) x

h x 

(l) 5

lim ( ) x

h x 

05. Para a função g cujo gráfico é dado, determine o

valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir,

explique por quê.

(a) 0

lim ( ) x

g t 

(b) 0

lim ( ) x

g t 

(c) 0

lim ( ) x

g t

(d) 2

lim ( ) x

g t 

(e) 2

lim ( ) x

g t  

(f) 2

lim ( ) x

g t

(g) (2)g (h) 4

lim ( ) x

g t

06. Para a função f Cujo gráfico é mostrado a seguir,

determine.

(a) 7

lim ( ) x

f x 

(b) 3

lim ( ) x

f x 

(c) 0

lim ( ) x

f x

(d) 6

lim ( ) x

f x 

(e) 6

lim ( ) x

f x 

(f) As equações das assíntotas verticais.

07 5

6 lim

5x x  25

  21

2 lim

1x

x

x

 27.

  222

1 lim

2x

x

x x 

08. (a) Encontre as assíntotas verticais da função

2 2

x y

x x   

(b) Confirme sua resposta na parte (a) fazendo o gráfico da função.

09. Dado que 0

lim ( ) 3 x

f x

  , 0

lim ( ) 0 x

g x

 e

0 lim ( ) 8 x

h x

 , encontre, se existir, o limite. Caso não

exista, explique por quê.

(a)   0

lim ( ) ( ) x

f x h x

 (b) 2

0 lim[ ( )] x

f x

(c) 1

3

0 lim[ ( )] x

h x

(d) 0

1 lim

( )x f x

docsity.com

(e) 0

( ) lim

( )x

f x

h x (f)

0

( ) lim

( )x

g x

f x

(g) 0

( ) lim

( )x

g x

f x (h)

0

2 ( ) lim

( ) ( )x

f x

h x f x 

10. Os gráficos de f e g são dados. Use-se para

calcular cada limite. Caso não exista o limite, explique

por quê.

(a)   2

lim ( ) ( ) x

f x g x

 (b)   1

lim ( ) ( ) x

f x g x

(c)   0

lim ( ) ( ) x

f x g x

(d) 1

( ) lim

( )x

f x

g x

(e) 3 2

lim ( ) x

x f x     (f) 1

lim 3 ( ) x

f x

11. Calcule 2 3 3

lim( 4)( 5 2) x

x x x

  

12. Calcule

3

2 41

1 3 lim

1 4 3x

x

x x

      

13. (a) O que há de errado com a equação a seguir?

2 6 3

2

x x x

x

   

(b) Em vista de (a), explique por que a equação

  2

2 2

6 lim lim 3

2x x

x x x

x 

   

 está correta.

14. Calcule o limite, se existir:

(a) 2

24

5 4 lim

3 4x

x x

x x

 

  (b)

2

2

6 lim

2x

x x

x

 

(c) 2

21

4 lim

3 4x

x x

x x

  (d)

9

9 lim

3t

t

t

(e) 0

1 1 lim h

h

h

  (f)

2

2 3 lim

7x

x

x

 

(g) 4

1 1

4lim 4x

x

x

 (h)

2

9

81 lim

3x

x

x

(i) 2

1 lim

1x

x x

x

 (j)

2

2 lim

2x

x

x

15. Se 21 ( ) 2 2f x x x    para todo x , encontre

1 lim ( ). x

f x 

16. Prove que 4 0

2 lim cos 0 x

x x 

17. A função sinal, denotada por sgn, está definida por

1 se 0

sgn( ) 0 se 0

1 se 0

x

x x

x

      

(a) Esboce o gráfico dessa função.

(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos

limites que se seguem.

(i) 0

lim sgn x

x 

(ii) 0

lim sgn x

x 

(iii) 0

lim sgn x

x

(iv) 0

lim sgn x

x

18. Seja 24 se 2

( ) 1 se 2

x x f x

x x

      

.

(a) Encontre 2

lim ( ) x

f x 

e 2

lim ( ) x

f x 

(b) Existe 2

lim ( ) x

f x

?

(c) Esboce o gráfico de f .

19. Mostre por meio de um exemplo que

0 lim[ ( ) ( )] x

f x g x

 pode existir mesmo que nem 0

lim ( ) x

f x

nem 0

lim ( ) x

g x

existam.

docsity.com

20. Mostre por meio de um exemplo que 0

lim[ ( ) ( )] x

f x g x

pode existir mesmo que nem 0

lim ( ) x

f x

nem 0

lim ( ) x

g x

existam.

21. Calcule 2

6 2 lim

3 1x

x

x

 

 

22. (a) Do gráfico de f , estabeleça os números nos quais

f é descontínua e explique por quê.

(b) Para cada um dos números estabelecidos na parte (a)

determine se f é continua à direita ou à esquerda, ou

nenhuma delas.

23. Do gráfico de g , estabeleça os intervalos nos quais g

é contínua

24. Esboce o gráfico de uma função que seja contínua em

toda a parte, exceto em 3x  e continua à esquerda em 3.

25. Esboce o gráfico de uma função que tenha um salto

de descontinuidade em 2x  e uma descontinuidade

removível em 4x  , mas é contínua no restante de seu

domínio.

26. Use a definição de continuidade e propriedades de

limitespara mostrar que a função é contínua no ponto ou

intervalo dado:

(a) 2( ) 7f x x x   , 4a

(b) 2 3

( ) 2

x f x

x

  

, (2, )

(c) ( ) 2 3g x x  , ( ,3]

27. Explique por que a função é descontínua no ponto

dado e em seguida esboce seu gráfico.

(a)

1 , se 1

( ) em 11

2 , se 1

x f x px

x

 

   

.

(b) 2

e , se 0 ( ) em 0

, se 0

x x f x p

x x

   



(c)

2

2( ) em 11

1

x x

f x px

      

28. Explique utilizando os Teoremas estudados em sala

de aula, por que a função é contínua em todo número de

seu domínio. Estabeleça seu domínio

(a) 2( ) 2 1R x x x   (b) ( ) 1

senx h x

x  

(c) 1 2( ) ( 1)F x sen x  (d) 4( ) ln( 1)G t t 

29. Use continuidade para calcular o limite

(a) 4

5 lim

1 xx

x

e

 (b) lim ( )

x sen x senx 

29. Mostre que

2 , se 1 ( )

se 2

x x f x

x x

   



é contínua em .

30. Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em

quais pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum

deles? Esboce o gráfico de f.

2, se 0

( ) , se 0 1

2 - , se 1

x

x x

f x e x

x x

       

docsity.com

31. Quais as seguintes funções f têm uma

descontinuidade removível em a? Se a descontinuidade

for removível, encontre uma função g que é igual a f

para x a e é continua em .

(a) 2 2 8

( ) 2

x x f x

x

  

 , 2a  

(b) 7

( ) 7

x f x

x

  

, 7a

(c) 3 64

( ) 4

x f x

x

  

, 4a  

(d) 3

( ) 9

x f x

x

  

, 9a

32.Suponha que uma função f seja contínua em [0,1] ,

exceto em 0,25, e que (0) 1f  e (1) 3f  . Seja 2N  .

Esboce dois gráfico possíveis de f , um indicandor que

f pode não satisfazer a conclusão do Teorema do Valor

Intermediário e outro mostrando que f pode satisfazer a

mesma conclusão. (Mesmo que não satisfaça as

hipóteses.)

33. Se 3 2( )f x x x x   , mostre que existe um numero c

tal que ( ) 10f c  .

34. Use o teorema do valor intermediário para provar que

existe um numero c positivo tal que seu quadrado é igual

a 2 2c  . (Isso prova a existência do número 2 )

35. Use o teorema do valor intermediário para provar que

existe uma raiz da equação cos x x no intervalo (1,2) .

36. (a) Mostre que a função valor absoluto ( )F x x é

continua em toda a parte.

(b) Prove que se f for uma função continua em um

intervalo, então f também é.

(c) A recíproca da afirmativa da parte (b) também é

verdadeiro? Em outras palavras, se f for continua,

segue que f também é? Se for assim, prove isso. Caso

contrário, encontre um contraexemplo.

37. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da

manhã e segue sua caminhada usual para o topo da

montanha. Chegando lá às 7 horas d noite. Na manhã

seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o

mesmo caminho de volta e chega ao monastério ás 7

horas da noite. Use o teorema do valor intermediário para

mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai

cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as

caminhadas.

38. Explique com suas palavras o significado de cada um

dos itens que se seguem.

5)(lim  

xf x

(b) 3)(lim  

xf x

39. (a) O gráfico de ( )y f x pode interceptar uma

assíntota vertical? E uma assíntota horizontal? Ilustre

com gráficos.

(b) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico

de ( )y f x ? Ilustre com um gráfico as possibilidades.

40. Para a função g, cujos gráficos é dado, determine o

que se pede.

(a) )(lim xg x 

(b) )(lim xg x 

(c) )(lim 3

xg x

(d) )(lim 0

xg x

(e) )(lim 2

xg x 

(f) As equações das assíntotas.

41-42. Esboce os gráficos de um exemplo de uma função

f que satisfaça a todas as condições dadas.

41. ,)(lim 2

 

xf x

,)(lim  

xf x

,0)(lim  

xf x

,)(lim 0

 

xf x

0

e lim ( ) . x

f x 

 

42. (0) 3,f  0

lim ( ) 4, x

f x 

 0

lim ( ) 2, x

f x 

lim ( ) , x

f x 

  4

lim ( ) , x

f x 

  4

lim ( ) , x

f x 

 

e lim ( ) 3. x

f x 

docsity.com

43-44. Calcule o limite e justifique cada passagem

indicando a propriedade apropriada dos limites.

43. 852

43 lim

2

2





 xx

xx

x 44.

32

3

341

2512 lim

xx

xx

x 





45-52. Encontre o limite.

45. 32

1 lim

 xx 46.

72

1 lim

2

2



 x

xx

x

47. 19

2 lim

2

2

 x

x

x

48. 1

9 lim

3

6

 x

xx

x

49. 1

9 lim

3

6

 x

xx

x 50.  xxx

x 39lim 2 



51.  xxx x

2lim 2  

52. tan

π

2

lim x

x

e

     

53-42. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de

cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico

da curva e das estimativas das assíntotas.

53. 4

x y

x  

54. 3

2 3 10

x y

x x   

55. 4 4 1

)( 

x

x xh

56. 234

9 )(

2 

 

xx

x xF

57. Encontre uma fórmula para a função f que satisfaça

as seguintes condições:

,)(lim,)(lim

,0)2(,)(lim,0)(lim

33

0





 



xfxf

fxfxf

xx

xx

58. Encontre uma fórmula para uma função que tenha

por assíntotas verticais 1x  e 3x  , e por assíntota

horizontal 1.y

59. Encontre os limites quando x e quando x

de 2( 2)(1 )y x x x   . Use essa informação , bem

como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico.

60. Calcule

(a) 0

tg lim x

x

x (b)

sen lim x

x

x   (c)

0

tg3 lim

sen 5x

x

x

(d) 2

0

3 lim

tg senx

x

x x (e)

0

1 cos lim x

x

x

(f)

2

1 sen lim

2x

x

x 

 (g)

0

1 lim sen x

x x

(h) 2 2sen( )

lim x p

x p

x p

(i)

2

0

1 1 sen( ) sen

lim x

x x x

x

 

(j) 2

lim 1

x

x x

     

(k)

2 1

lim 1

x

x x



     

(l)

1 2

lim 1

x

x x



     

(m) 2

lim 1

x

x

x

x

     

(n)   0

lim 1 2 x

x x

  (o)  

1

0 lim 1 2 x x

x  

(p) 0

1 lim , 1

x

x

a a

x

  (q)

2

0

1 lim

x

x

e

x

(r)

2

0

1 lim

x

x

e

x

 (s)

2 0

3 1 lim

x

x x

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