Lista de Cálculo - Exercícios - Cálculo II, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8011 de Março de 2013

Lista de Cálculo - Exercícios - Cálculo II, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo, lista de exercicios.
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Microsoft Word - 1a Lista de Cálculo II

 

 

1ª Lista de Cálculo II 2011/2

1. Seja ( ) ( ), ln 1f x y x y= + − . a) Calcule ( )1,1f .

b) Calcule ( ),1f e .

c) Determine e esboce o domínio de f .

d) Determine a imagem de f .

2. Seja ( ) 2 3, xyf x y x e= .

a) Calcule ( )2,0f .

b) Determine o domínio de f .

c) Determine a imagem de f .

3. Determine e esboce o domínio da função

( ) 2, 1f x y x y= + − . Qual é a imagem de f ?

4-10. Determine e faça o esboço do domínio da função.

4. ( ),f x y x y= +

5. ( ),f x y xy=

6. ( ) ( )2 2, ln 9 9f x y x y= − −

7. ( , ) ln( )f x y y x y x= − +

8. ²

( , ) 1 ² y x

f x y x

= −

9. ( , , ) 1 ² ² ²f x y z x y z= − − −

10. ( , , ) ln(16 4 ² 4 ² ²)f x y z x y z= − − −

11. Uma placa fina de metal, localizada no plano xy , tem temperatura ( , )T x y no ponto ( , )x y . As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por

( , ) 100 /(1 ² 2 ²)T x y x y= + +

12. Se ( , )V x y é potencial elétrico de um ponto ( , )x y do plano xy , as curvas de nível de V são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas

equipotenciais de 2 2( , ) / ² 2V x y c r x y= − − , onde c é uma constante positiva.

13-23. Determine o limite, se existir, ou mostre que o

limite não existe. 13.

( ) ( ) ( )

, 6,3 lim cos 2

x y xy x y

→ −

14. ( ) ( ) 2 2, 2,1

4lim 3x y xy

x y→ − +

15. ( ) ( )

4

4 4, 0,0 lim

3x y y

x y→ +  

16. ( ) ( )

2 2

2 2, 0,0 lim

2x y x sen y

x y→ + +

17. ( ) ( ) 2 2, 0,0

coslim 3x y xy y x y→ +

18. ( ) ( )

3

4 4, 0,0

6lim 2x y

x y x y→ +

19. ( ) ( ) 2 2, 0,0

lim x y

xy x y→ +

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1ª Lista de Cálculo II 2011/2

20. ( ) ( )

4 4

2 2, 0,0 lim

x y

x y x y→ − +

21. ( ) ( )

2

4 2, 0,0 lim

4

y

x y

x ye x y→ +

22. ( ) ( )

2 2

2 2, 0,0 lim

2x y x sen y x y→ +

23. ( ) ( )

4

2 8, 0,0 lim

x y

xy x y→ +

24-27. Determine o maior conjunto no qual a função é

contínua.

24. ( ) 2 1,F x y

x y = −

25. ( ) 2 2 , 1 x yF x y x y

= + +

26. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 2 se , 0,02, 1 se , 0,0

x y x y x yf x y

x y

⎧ ≠⎪ += ⎨

⎪ =⎩

27. ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 se , 0,0, 0 se , 0,0

xy x y x xy yf x y

x y

⎧ ≠⎪ + += ⎨ ⎪ =⎩

 

28. Se ( ) 2 2, 4 4f x y x y= − − , determine ( ) ( )1,2 e 1, 2x yf f e interprete esses números como

inclinações. Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador.

29. Se ( ) 2 2, 4 4f x y x y= − − , determine ( ) ( )1,0 e 1,0x yf f e interprete esses números como

inclinações. Ilustre ou com um esboço à mão ou utilizando o computador.

30-43. Determine as derivadas parciais de primeira

ordem da função. 30. ( ) 4, 3 2f x y x y= − 31. ( ) 5 3 2 4, 3 3f x y x x y xy= + + 32. 3 yz xe= 33. ( ), lnf x y x t= 34. ( )102 3z x y= + 35. z tg xy=

36. ( ), x yf x y x y

= +

37. cosw senα β= 38. ( ) ( )2 2, lnf r s r r s= +

39. ( ) ( )2, cos x

y

f x y t dt= ∫

40. ( ) 2 3 4, , 5f x y z xz x y z= − 41. ( ) ( ), ,f x y z xsen y z= − 42. ( )ln 2 3w x y z= + + 43. xyzw ze= 44 e 45. Determine as derivadas parciais indicadas.

44. ( ) ( ) ( )2 2, ln ; 3, 4xf x y x x y f= + + 45. ( ) ( ), , ; 2,1, 1y

yf x y z f x y z = − + +

46-48. Use a derivação implícita para determinar

e z z x y ∂ ∂ ∂ ∂

.

46. 2 2 2 3x y z xyz+ + =

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1ª Lista de Cálculo II 2011/2 47. ( )lnyz x z= + 48. ( ) 2 3sen xyz x y z= + +

49-52. Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem.

49. ( ) 3 5 4, 2f x y x y x y= + 50. ( ) ( )2,f x y sen mx ny= +

51. 2 2w u v= +

52. xyv x y = −

53-55 Determine as derivadas parciais indicadas.

53. 4 3 2 xxy yyy( , ) 3 ; , f x y xy x y f f= +

54. ( , ) ² ; ,ct ttt txxf x t x e f f −=

55. ,( , , ) cos(4 3 2 ); xyz yzzf x y z x y z f f= + +

56. Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace Uxx+Uyy=0.

(a) ² ²u x y= +

(b) 3 3 ²u x xy= +

(c) ln ² ²u x y= +

57. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que:

1P V T V T P ∂ ∂ ∂

= − ∂ ∂ ∂

58. Para o gás ideal do exercício 82, mostre que:

P VT mR T T ∂ ∂

= ∂ ∂

59. O parabolóide 6 ² 2 ²z x x y= − − − intercepta o plano 1x = em uma parábola. Determine as equações

paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto (1,2,-4). Use um computador para fazer o gráfico do parabolóide, da parábola e da reta tangente em uma mesma tela.

60. O elipsóide 4 ² 2 ² ² 16x x z+ + = intercepta o plano 2y = em uma elipse. Determine as equações

paramétricas da reta tangente à elipse no ponto (1,2,2).

61. No estudo de penetração do congelamento achou-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função:

0 1( , ) sen( t ) xT x t T T e xλ ω λ−= + −

Onde 2 365ω π= e λ é uma constante positiva.

(a) Determine T x∂ ∂ . Qual é seu significado físico?

(b) Determine T t∂ ∂ . Qual seu significado físico?

(c) Mostre que T satisfaz a equação do calor

1 xxT kT= para uma certa constante k.

(d) Se 00, 2, 0Tλ = = e 1 10T = use o computador para

traçar o gráfico de ( , )T x t .

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1ª Lista de Cálculo II 2011/2 (e) Qual é o significado físico do termo xλ− na

expressão sen( t x)ω λ− ?

62-63 Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

62. ( , ) ,xf x y ye−= (0,4), 2 3θ π=

63. ( , ) ( ),f x y xsen xy= (2,0), 3θ π=

64-67

(a) Determine o gradiente de f . (b) Calcule o gradiente no ponto P. (c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.

64. 2 3( , ) 5 4 ,f x y xy x y= − (1,2)P , 5 12, 13 13

u =

65. ( , ) lnf x y y x= , (1, 3)P − , 4 3, 5 5

u = −

66. 2( , , ) yxf x y z xe= , (3,0, 2)P , 2 2 1, , 3 3 3

u = −

67. ( , , )f x y z x yz= + , (1,3,1)P , 2 3 6, , 7 7 7

u =

68-71 Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.

68. 2 2( , ) ln( )f x y x y= + , (2,1) , 1, 2v = −

69. 4 2 3( , )g p q p p q= − , (2,1) , v = i + 3j

70. ( , , ) y z xf x y z xe ye ze= + + , (0,0,0) , 5,1, 2v = −

71. ( , , )f x y z xyz= , (3,2,6) , 1, 2, 2v = − −

72-75 Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

72. 2( , )f x y y x= , (2,4)

73. ( , ) ( )f x y sen xy= , (1,0)

74. ( , , ) ( )f x y z x y z= + , (1,1, 1)−

75. ( , , ) ( 2 3 )f x y z tg x y z= + + , ( 5,1,1)−

76. Determine as direções em que a derivada direcional de ( , ) xyf x y ye−= no ponto (0,2) tem valor 1.

77. Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função 2 2( , ) 2 4f x y x y x y= + − − é i + j.

78. Nas proximidades de uma boia, a profundidade de um lago em um ponto com coordenadas ( , )x y é

2 3200 0,02 0,001z x y= + − , onde x , y e z são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto (80,60) em direção à boia, que está localizada no ponto (0,0) . A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique.

79. A temperatura em um ponto ( , , )x y z é dada por 2 2 23 9( , , ) 200 x y zT x y z e− − −= onde T é medido em ºC e x ,

y e z em metros.

(a) Determine a taxa e variação da temperatura no ponto (2, 1,2)P − em direção ao ponto (3, 3,3)− .

(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?

(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P .

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1ª Lista de Cálculo II 2011/2 80. Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

2( , , ) 5 3V x y z x xy xyz= − + .

(a) Determine a taxa de variação do potencial em (3,4,5)P na direção do vetor v = i + j – k.

(b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ?

(c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

81-84 Determine equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.

81. 2 2 22( 2) ( 1) ( 3) 10x y z− + − + − = , (3,3,5)

82. 2 2y x z= − , (4,7,3)

83. 2 2 22 2x y z yz− + + = , (2,1, 1)−

84. ln( )yz x z= + , (0,0,1)

85. Se ( , )f x y xy= , encontre o vetor gradiente (3,2)f∇ e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível

( , ) 6f x y = no ponto (3,2) . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.

86. Se 2 2( , ) 4g x y x y x= + − , encontre o vetor gradiente (1,2)g∇ e use-o para encontrar a reta tangente à curva de

nível ( , ) 1g x y = no ponto (1,2) . Esboce a curva de nível, a reta tangente e o vetor gradiente.

87. Em qual ponto do paraboloide 2 2y x z= + o plano tangente é paralelo ao plano 2 3 1x y z+ + = ?

88-92 Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace

a função com um domínio e um ponto de vista que mostrem os seus aspectos importantes. 88. 2 2( , ) 9 2 4 4f x y x y x y= − + − −

89. 2 24( , ) y x yf x y e − −=

90. 1 1( , )f x y xy x y

= + +

91. ( , ) cosxf x y e y=

92. ( , ) cosf x y y x=

93. Mostre que 2 2( , ) 4 4 2f x y x y xy= + − + tem um número infinito de pontos críticos e que 0D = em cada um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e absoluto) em cada ponto crítico.

94-95 Determine os valores máximo e mínimos absolutos de f no conjunto D .

94. ( , ) 1 4 5f x y x y= + − , D é a região triangular fechada com vértices (0,0) , (2,0) , e (0,3)

95. 2 2( , ) 4 6f x y x y x y= + − − ( ){ }, 0 4,0 5D x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤

96. Para as funções de uma variável, é impossível uma função contínua ter dois pontos de máximo local e nenhum de mínimo local. Para as funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função

2 2 2 2( , ) ( 1) ( 1)f x y x x y x= − − − − − só tem dois pontos críticos, ambos de máximo local. Em seguida, utilize um computador para desenhar o gráfico com uma escolha cuidadosa de domínio e de ponto de vista que ver como isso possível.

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1ª Lista de Cálculo II 2011/2 97. Determine a menor distância entre o ponto (2,1, 1)− e o plano 1x y z+ − = .

98. Determine os pontos da superfície 2 9y xz= + que estão mais próximos da origem.

99. Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.

100. Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 31000cm que tenha a área de sua superfície mínima.

101-105 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à (s) restrição (ões) dada (s).

101. 2 2( , ) ; 1f x y x y xy= + =

102. 3 3( , ) ; 16xyf x y e x y= + =

103. 2 2 2( , , ) ; 2 3 6f x y z xyz x y z= + + =

104. 2 2 2 2 2 2( , , ) ; 1f x y z x y z x y z= + + =

105. 2 2 2 2( , , , ) ; 1f x y z t x y z t x y z t= + + + + + + =

106. Biólogos marinhos determinaram que, quando um tubarão detecta a presença de sangue na água, ele nada na direção em que a concentração de sangue aumenta mais rapidamente. Com base em certos testes na água do mar, sabe-se que a concentração de sangue (em partes por milhão) em um ponto ( , )P x y na superfície e de aproximadamente

2 2 4( 2 ) 10( , ) x yC x y e− +=

Onde x e y são medidos em metros em coordenadas cartesianas com a fonte do sangue como origem

(a) Identifique as curvas de nível da função concentração e esboce vários membros dessa família, junto com a trajetória que o tubarão deve percorrer para chegar à fonte.

(b) Suponha que um tubarão esteja no ponto 0 0( , )x y quando detecta a presença de sangue na

água. Determine a equação da trajetória do tubarão escrevendo e resolvendo uma equação diferencial.

107. Uma longa folha de metal galvanizado de espessura w polegadas deve ser dobrada em uma forma simétrica com três lados planos para fazer uma calha. A secção transversal é mostrada na figura

(a) Determine as dimensões para permitir a máxima vazão, ou seja, determine as dimensões que fornecem a maior área da secção transversal.

(b) Você acharia melhor dobrar a folha de metal em uma calha com secção transversal semicircular do que em uma secção transversal de três lados?

108. Se a elipse 2 2 2 2 1x a y b+ = circunda a

circunferência 2 2 2x y y+ = , quais são os valores de a e b que minimizam a área da elipse?

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