Lista de Cálculo I - Exercícios - Cálculo I, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8011 de Março de 2013

Lista de Cálculo I - Exercícios - Cálculo I, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo, lista de exercicios.
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1. Dado o gráfico de uma função f :

(a) Obtenha o valor de ).1(f

(b) Estime o valor de ).2(f

(c) 2)( xf para quais valores de x?

(d) Estime os valores de x para os quais .0)( xf

(e) Obtenha o domínio e a imagem de .f

(f) Em qual intervalo f é crescente?

2. Uma estimativa anual do número N (em milhões) de

assinantes de telefone celulares no mundo é mostrada na

tabela.

(a) Use os dados da tabela para esboçar o gráfico de

N como uma função de t .

(b) Use seu gráfico para estimar o numero de

assinantes de telefones celulares nos anos de 1995

e 1999.

3-4. Calcule o quociente das diferenças para a função

dada. Simplifique sua resposta.

1 ( ) ( ) 3. ( ) ,

f x f a f x

x x a

 

 .

4. 3( )f x x , ( ) ( )f a h f a

h

 

Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a

curva dada.

5. O seguimento de reta unindo os pontos (-2, 1) e (4, -6).

6. O seguimento de reta unindo os pontos (-3, -1) e (6, 3).

7. A parte de baixo da parábola ( 1)² 0x y   .

8. A parte de cima do círculo ( 1)² ² 1x y   .

9. Uma caixa aberta com volume 2 3m tem uma base

quadrada. Expresse a área da superfície da caixa como

uma função do comprimento de um lado da base.

10. Os gráficos de ef g são mostrados a seguir.

Verifique se cada função é par, impar ou nem par nem

impar. Explique seu raciocínio..

11-17. Determine se f é par, impar ou nenhum dos dois.

Visualize seus gráficos no GeoGebra e use-os para

verificar visualmente sua resposta.

1 docsity.com

11. ( ) 1

x f x

x  

  312. f x x

2 413. ( ) 1 3f x x x  

  2 515. 1 3f x x x    16. senf x x  17. cosf x x

18. O custo mensal do uso de um carro depende do

número de milhas rodadas. Andressa descobriu que em

maio ela gastou R$ 380,00 e guiou 800 km.

(a) Expresse o custo mensal C como uma função da

distância percorrida d , supondo que a relação linear

forneça um modelo apropriado.

(b) Use a parte (a) para predizer o custo quando 1.500 km

foram percorridos por mês.

(c) Esboce o gráfico da função. O que a inclinação

representa?

(d) O que representa o intercepto y ?

(e) Por que uma função é um modelo apropriado nessa

situação?

19. Um retângulo tem um perímetro de 20m . Expresse a

área do retângulo como uma função do comprimento de

um de seus lados.

20. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um

pedaço retangular de papelão com dimensões

12cmpor 20cm . Para isso, devem-se cortar quadrados de

lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a

figura .Expresse o volumeV da caixa como uma função

de x .

21. Um balão esférico com raio de r polegadas tem o

volume   3 4

3 V r r . Encontre uma função que

represente a quantidade de ar necessária para inflar o

balão de um raio r até um raio 1r  polegadas.

22. A função de Heaviside H é definida por

0 se 0 ( )

1 se 0

t H t

t

  



Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para

representar o surgimento repentino de corrente elétrica,

ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente

ligada.

)a Esboce o gráfico da função de Heaviside.

)b Esboce o gráfico da voltagem ( )V t no circuito se uma

chave for ligada no instante 0t  e120volts forem

aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma

fórmula para ( )V t em termos de ( )H t .

)c Esboce o gráfico da voltagem ( )V t em um circuito quando

é ligada uma chave em 5t  segundos e 240 volts são

aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma

fórmula para ( )V t em termos de ( )H t . (Observe que

começar em 5t  corresponde a uma translação.)

23. A função de Heaviside definida no Exercício 22 pode

também ser usada para definir uma função rampa

 y ctH t , que representa um crescimento gradual na

voltagem ou corrente no circuito.

a) Esboce o gráfico da função rampa  y ctH t .

b) Esboce o gráfico da voltagem  V t no circuito se uma

chave for ligada no instante 0t  e a voltagem crescer

gradualmente até 120 volts em um intervalo de 60

segundos. Escreva uma fórmula para  V t em termos de

  para 60.H t t

2

docsity.com

c) Esboce o gráfico da voltagem  V t em um circuito se

em 7t  s for ligada uma chave e a voltagem crescer

gradualmente até 100 volts em um período de 25

segundos. Escreva uma fórmula para  V t em termos de

  para t 32.H t

24-29. Encontre as funções (a) f g (b) g f (c) f f e

(d) g g e seus domínios.

24. ( ) 2 ² , ( ) 3 2f x x x g x x   

25. ( ) 1 ², ( ) 1f x x g x x  

26. ( ) sen , ( ) 1f x x g x x  

27. ( ) 1 3 , ( ) 5 ² 3 2f x x g x x x    

28. 1 1

( ) , ( ) 2

x f x x g x

x x

   

29. ( ) 2 3, ( ) ² 1f x x g x x   

30-35. Expresse a função na forma gf

30. 3

3

1 )(

x

x xF

 

31.   tg

1 tg

t u t

t  

32. ( ) sen( )F x x 33. 5( ) xh x e

34. 5( ) cos( )h x x 35. 2( )u t t

35. Um navio se move a uma velocidade 30 km/h paralelo

a uma costa retilínea. O navio está a 6 km da costa e

passa por um farol ao meio-dia.

(a) Expresse a distancia s entre o farol e o navio como

uma função de d, a distância que o navio percorreu desde

o meio-dia; ou seja, encontre f tal que s )(xf .

(b) Expresse d como uma função de t , o tempo decorrido

desde o meio-dia; ou seja, encontre g tal que ).(tgd

(c) Encontre gf  . O que esta função representa?

36. (a) Se 12)(  xxg e 744)( 2  xxxh , encontre

uma função f tal que f g h : (pense em quais

operações você teria que efetuar na fórmula de g para

chegar à fórmula de .h )

37. (a) Escreva uma equação que defina a função

exponencial com base 0a  .

(b) Qual é o domínio dessa função?

(c) Se a 1 , qual a imagem dessa função?

(d) Esboce a forma geral do gráfico da função

exponencial nos seguintes casos.

1)( ai (ii) 1a (iii) 1a

38. Usando o GeoGebra, faça em uma mesma tela os

gráficos das funções dadas. Como estão relacionados

esses gráficos?

) 2xa y  ) xb y e ) 20

xc y

39. Começando com gráficos de xey  , escreva as

equações correspondentes aos gráficos que resultam ao

(a) deslocamento 2 unidades para baixo

(b) deslocamento 2 unidades para a direita

(c) refletir em torno do eixo x

(d) refletir em torno do eixo y

3

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(e) refletir em torno do eixo x e, depois, em torno do eixo

y

40. Se xxf 5)(  , mostre que

 

  

  



hh

xfhxf hx 155 )()(

41. Sob condições ideais sabe-se que certa população de

bactérias dobra a cada 3 horas. Suponha que inicialmente

existam 100 bactérias:

(a) Quantas bactérias existem após 3 horas?

(b) Quantas bactérias existem após t horas?

(c) Quantas bactérias existem após 20 horas?

(d) Trace o gráfico da função população e estime o

tempo para a população atingir 50.000 bactérias.

42. (a) Como está definida a função logarítmica?

(b) Qual o domínio dessa função?

(c) Qual a imagem dessa função?

(d) Esboce a forma geral do gráfico da função xy alog

se 1a .

43. (a) o que é uma função injetora?

(b) A partir do gráfico, como dizer se uma função é

injetora?

44. (a) Seja f uma função um a um com domínio A e

imagem B. Como é definida a inversa 1f  ? Qual é o

domínio de 1f  ? Qual a imagem de 1f  ?

(b) Se for dada uma fórmula para f , como você

encontrará uma formula para 1f  ?

(c) Se for dado o gráfico de f , como você encontrará o

gráfico de 1f  ?

45-50. Encontre uma fórmula para a função inversa.

45.   10 3f x x  46.   4 1

2 3

x f x

x

 

47.   3xf x e 48. 2 ³ 3y x 

49.  ln 3y x  50. 1

1

x

x

e y

e

  

51. Se   23 tg 2

x f x x

      

  , onde 1 1,x  

a) Encontre  1 3 .f

b) Encontre   1 5 .f f

52-53. Encontre uma fórmula explícita para 1f  e use-a

para fazer na mesma tela os gráficos de 1f  , f e da

reta y x .Para verificar seu trabalho, veja se seus

gráficos de f e 1f  são reflexões em torno da reta.

52. 4( ) 1f x x  , 0x  53.   2

xf x e 

54-38. Encontre o valor exato de cada expressão.

54. (a) 2log 64 (b) 1

6 36 log

55. (a) 8log 2 (b) 2ln e

56. (a) 10 10log 1,25 log 80 (b) 5 5 5log 10 log 20 3log 2 

57. (a)  2 2log 3 log 52

 (b) 3ln 2e

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