Lista de CálculoI - Exercícios - Cálculo II, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8011 de Março de 2013

Lista de CálculoI - Exercícios - Cálculo II, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o cálculo, lista de exercicios.
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1. (a) O que é seqüência?

(b) O que significa dizer que

lim 8n n

a 

 ?

(c) O que significa dizer que

lim n n

a 

  ?

2-3. Encontre uma fórmula para o termo geral

na da sequência, assumindo que o padrão dos

primeiros termos continua.

2.  2,7,12,17,...

3.  82 43 9 271, , , ,... 

4-17.Determine se a sequência coneverge ou

diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

4. 1 (0,2)nna  

5.

2

2

3 5 n

n a

n n

  

6. 1

n

na e

7. 2

tan 1 8

n

n a

n

    

 

8.

1( 1)

² 1

n

n

n a

n

 

9.  2cos nna

10. (2 1)!

(2 1)!

n

n

   

 

11. 2 1

n n

n

e e

e

   

 

12.  ² nn e

13. cos ²

2 n n

n a

14. 1sen( )nna n

15. 2

1

n

na n

      

16. ln(2 ² 1) ln( ² 1)na n n   

17. !

2 n n

n a

18. Se $ 1000 forem investidos a uma taxa de

juros de 6%, compostos anualmente, depois

de n anos o investimento valerá

1000(1,06)nna  dólares.

(a) Encontre os cinco primeiros termos

da sequência  na .

(b) Esta seuquência converge ou

diverge? Explique.

19. Suponha que você saiba que  na é uma sequência decrescente e que todos os termos

estão entre os números 5 e 8. Explique por

que a sequência tem um limite. O que você

pode dizer sobre o valor limite?

20-22. Determine se a sequência dada é

crescente, decrescente ou não monotônica. A

sequência é limitada?

20. 1

2 3 na

n

21. ( 1)nna n 

22. ² 1

n

n a

n  

23. Encontre o limite da sequência

2, 2 2 , 2 2 2 ,...      

24. (a) Qual a diferença entre sequência e

série?

(b) O que é uma série convergente? O

que é uma série divergente?

25. Seja 2

3 1 n

n a

n  

(a) Determine se  na é convergente.

(b) Determine se 1 nn a

 é convergente.

26-30. Determine se a série é convergente ou

divergente. Se for convergente, calcule a

soma.

26. 84 3 9

3 2 ...   

27. 16 64

3 4 ... 3 9

   

28. 1

1

6(0,9)n

n

 

29.

1

1

( 3)

4

n

n n



 

30. 1

0 3

n

n n



 

31-37 Determine se a série é convergente ou

divergente. Se for convergente, calcule sua

soma.

31.

1

1

2n n

32.

1 1n

n

n

  

docsity.com

33.

1

3 2

6

n n

n n

 

34.

1

2n

n

35.

2

2 1

1 ln

2 1n

n

n

   

  

36.

1

n n

arctg

37.  1

1 1

1nn e n n

     

38-40 Determine se a série é convergente ou

divergente expressando ns como uma soma

telescópica. Se for convergente, encontre sua

soma.

38. 2

2

2

1n n

  

39.  1

2

3n n n

  

40.   1 11

1

nn

n

e e



41-43 Expresse o número como uma razão de

inteiros.

41. 0,2 0,2222...

42. 3,417 3,417417417...

43. 0,123456

44-46 Encontre os valores de x para os quais

a série converge. Calcule a soma da série para

esses valores de x .

44.

1 3

n

n n

x

45.

0

4n n

n

x

46.

0

cos

2

n

n n

x

47. Se a n -ésima soma parcial de uma série

1

n

n

a

 for ns = 1

1

n

n

 encontre na e

1

n

n

a

 .

48. Qual é o valor de c se

  2

1 2

n

n

c



 

49. O que está errado com o seguinte cálculo?

     

     

0 0 0 0 ...

= 1 1 1 1 1 1 ...

=1+ 1 1 1 1 1 1 ...

=1 0 0 0 ... 1

   

     

        

    

(Guido Ubaldo pensou que isso provava a

existência de Deus, porque “alguma coisa

tinha sido criada do nada”.)

50. Suponha que uma série na tenha

termos positivos e suas somas parciais ns

satisfaçam a desigualdade 1000ns  para

todo n . Explique por que na deve ser convergente.

51-53 Use o teste da Integral para determinar

se a série é convergente ou divergente.

51. 4

1

1

n n

52.

  3

1

1

2 1n n

  

53.

1

n

n

ne

54-60 Determine se a série é convergente ou

divergente.

54. 0,85

1

2

n n

55. 1 1 1 1

1 ... 8 27 64 125     

56. 1 1 1 1

1 ... 3 5 7 9     

57. 3

1

5 2

n

n

n

 

58. 2

1

1

4n n

  

59. 3

1

ln

n

n

n

60.

2

1

lnn n

61.

1 5n

n

n

  

62.

1

3 2

6

n n

n n

 

63.

1

1 1

( 1)nn e n n

   

  

64. 2

2

2

1n n

  

docsity.com

65. 0,2 0,2222...

66. Suponha que na e nb sejam séries

com termos positivos e que nb seja convergente.

(a) Se n na b para todo n , o que você pode

dizer sobre na ?

(b) Se n na b para todo n , o que você

pode dizer sobre na ?

67. 2

1

1

1n n n

   

68.

1

1

n

n

n n

 

69.

1

9

3 10

n

n n

  

70. 2

1

cos ²

1n

n

n

  

71.

1

1

4nn

n

n

 

72. 1,2

1

arctg n

n n

73.

1

2 ( 1)n

n n n

  

74.

1

1

² 1n n

  

75.

1

1 4

1 3

n

n n

 

76. 2

1

2

2 1n

n

n n

  

77.

1

5 2

(1 ²)²n

n

n

 

78. 2 6

1

1 ²

1n

n n

n n

 

  

79.

2

1

1 1 n

n

e n

 

      

80.

1

1

!n n

81.

1

1

n

sen n

     

82-83 Use a soma dos dez primeiros termos

para aproxima a soma da série. Estime o erro.

82. 4

1

1

1n n

  

83.

1

1

1 2nn

  

84. O significado da representação decimal

de um número 0, 1 2 3, ,d d d . . . (onde o

algarismo id é um dos números 0, 1, 2, . . . ,

9) é que

0, 1 2 3 4, , ,d d d d . . . = 1

10

d + 2

10

d +

3

10

d +

4

10

d + . . .

85. Se na for uma série convergente com

termos positivos, é verdade que ( )nsen a também será convergente?

86-94 Teste a série quanto a convergência ou

divergência.

86. 4 4 4 4 4 7 8 9 10 11

...    

87.

1

1

( 1)n

n n



 

88.

1

3 1 ( 1)

2 1

n

n

n

n

 

 

89.

1

( 1) 10

n

n n

n



90. 1

1

² ( 1)

³ 4

n

n

n

n

 

 

91 -

2

( 1) ln

n

n

n

n



92 - ¾

1

cos

n

n

n



93 -

1

( 1)n

n

sen n



    

  

94 -

1

( 1) !

n n

n

n

n



95 a 96 - Mostre que a série é convergente.

Quantos termos da série precisamos somar

para encontrar a soma parcial com a precisão

indicada?

95 -

1

6 1

( 1)n

n n



  (|erro| < 0,00005)

96 -  

0

1

10 !

n

n n n

  (|erro| < 0,000005)

97 a 98 - Aproxime a soma da série com a

precisão de quatro casas decimais.

97 -  

1

5 1

1 n

n n

 

 

98 -  

1

1

1 ²

10

n

n n

n

 

docsity.com

99 - O que você pode dizer sobre a série

na em cada um dos seguintes casos?

(a) 1lim 8n

n n

a

a

 

(b) 1lim 0,8n

n n

a

a

 

(c) 1lim 1n

n n

a

a

 

100 a 102 – Determine se a série é

absolutamente convergente,

condicionalmente convergente ou divergente.

100 -  

0

10

!

n

n n

 

101 -  

1

4 1

1 n

n n

 

 

102 -

1

2

3

k

n

k

     

103 -    

4 1

1,1 1

n

n

n n



104 -  

1

3 1

1 n

n

n

e

n

 

105 -   2 11

10

1 4

n

n n n

   

106 -  

2 1

1 arctg n

n

n

n

 

107 -  

2

1

ln

n

n n

 

108 -  

1

cos / 3

!n

n

n



109 -

1

² 1

2 ² 1

n

n

n

n

   

  

110 -

²

1

1 1

n

n n

      

111- -

   

  1 1.3.5... 2 11.3 1.3.5 1.3.5.7

1 ... 1 ... 3! 5! 7! 2 1 !

n n

n

        

112 -

1

2.4.6...(2 )

!n

n

n

113 – Os termos de uma série são definidos

recursivamente pelas equações

1 2a  1 5 1

4 3 n n

n a a

n

 

Determine se na converge ou diverge.

114 – Para quais das seguintes séries o Teste

da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá

uma resposta definida)?

(a)

1

1

³n n

(b)

1 2 n

n

n

(c)  

1

1

3 n

n n

 

 

(d)

1 1 ²n

n

n

  

115 - (a) Mostre que 0

/ !n n

x n

 converge para todo x.

(b) Deduza que lim / ! 0nn x n  para

todo x.

116 a 118 – Encontre o raio de convergência

e o intervalo de convergência da série.

116 -

1

n

n

x

n

117 -

1

1

( 1)

³

n n

n

x

n



 

118 -

1 !

n

n

x

n

119 -   1

1 4 n n n

n

n x



120 -  

4 1

2 n n

n

x

n

 

121-   2

1 4 ln

n n

n n

x

n



122-  

2 0

2

1

n

n

x

n

 

123-  

1

3 4 nn

n

x

n

 

124-  

1

2 n

n n

x

n

 

125-   1

, 0 n

n n

n x a b

b

 

126-   1

! 2 1 n

n

n x



docsity.com

127-  

2 1

4 1 n

n

x

n

 

128-  1 1 3 5 ... 2 1

n

n

x

n

      

129-O fato de

0

4nn n

c

 ser convergente

implica que as séries a seguir são

covergentes?

(a)   0

2 n

n

n

c

 (b)

  0

4 n

n

n

c



130-Se k for inteiro positivo, encontre o raio

de convergência da série

 

 0

!

!

k

n

n

n x

kn

131-É possível encontrar uma série de

potências cujo intervalo de convergência seja

 0, ?Explique.

132-Uma função definida por

  2 3 41 2 2 ...f x x x x x      isto

é, seus coeficientes são 2 1nc  e 2 1 2nc  

para todo 0n  . Ache o intervalo de

convergência da série e encontre uma

fórmula explícita para  f x .

133-Mostre que, se lim n n n

c c 

 com

0c  , então o raio de convergência da série

de potências n

nc x é 1R c .

134-Se o raio de convergência da sértie de

potências

0

n

n

n

c x

 for 10, qual é o raio de

convergência da série 1

0

n

n

n

nc x

 ?Por quê?

135-138 Encontre uma representação em

série de potências para a função e determine

o intervalo de convergência.

135-   1

1 f x

x  

136-   2

3 f x

x  

137-   29 x

f x x

 

138-   1

1

x f x

x

  

139 Expresse a função como a soma de uma

série de potências usando primeiro frações

parciais. Encontre o intervalo de

convergência.

  2 3

2 f x

x x   

140-(a) Use derivação para encontrar a

representação em série de potências para

   

2

1

1 f x

x  

Qual é o raio de convergência?

(b)Use o item (a) para encontrar uma série de

potências para

   

3

1

1 f x

x  

(c)Use o item (b) para achar uma série de

potências para

   

2

3 1

x f x

x  

141-142 Encontre uma representação em

série de potências para a função e determine

o raio de convergência.

141-    ln 5f x x 

142-    

3

2 2

x f x

x  

143-144 Calcule a integral indefinida como

uma série de potências. Qual o raio de

convergência?

143- 81

t dt

t

144-

1

3

x tg x dx

x

 

145-Seja

  2 1

n

n

x f x

n



Encontre os intervalos de convergência para

' '', ,f f f .

146-Se     0

5 n

nn f x b x

   para

todo x , escreva uma fórmula para 8b .

147-Se      0 1 !nf n  para n =

0,1,2,…, encontre a série de Maclaurin de

f e seu raio de convergência.

148-150 Encontre a série de Maclaurin de

 f x usando a definição de uma série de

Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão

em uma série de potências. Não mostre que

docsity.com

  0.nR x  ] Também encontre o raio de convergência associado.

148-     2

1f x x

 

149-   cosf x x

150-   5xf x e

151. Encontre a série de Maclaurin de

( )f x usando a definição de uma série de

Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão

em uma série de potências. Não mostre que

( ) 0nR x  .] Também encontre o raio de

convergência associado.

( )f x senhx

152-155 Encontre a série de Taylor de

( )f x centrada no valor dado de a .

[Suponha que f tenha expansão em uma

série de potências. Não mostre que

( ) 0nR x  .]

152. 2( ) 1 , 2f x x x a   

153. ( ) , 3xf x e a 

154. ( ) cos , f x x a  

155. 1( ) , 9f x a x

 

156 -157 Use a série binomial para expandir

a função como série de potência. Diga o raio

de convergência.

156. 1 x

157. 3

1

(2 )x

158-160 Use uma série de Maclaurin para

obter a série de Maclaurin da função dada.

158. ( )f x sen x

159. 2( ) x xf x e e 

160. 21( ) cos( )

2 f x x x

161-162 Encontre a série de Maclaurin de

f (por qualquer método) e seu raio de

convergência. Trace f e seus primeiros

polinômios de Taylor na mesma tela. O que

você observa sobre a relação entre esses

polinômios e f ?

161. 2( ) cos( )f x x

162. ( ) xf x xe

163-164 Use série para calcular o limite.

163.

1

30 lim x

x tg x

x

164.

3

50

1

6lim x

senx x x

x

 

165-168 Encontre o polinômio de

Taylor 3( )T x da função f em a . Trace

f e 3T na mesma tela.

165. ( ) ln , 1f x x a 

166. ( ) cos , / 2f x x a  

167. ( ) , 0f x arcsenx a 

168. 2( ) , 0xf x xe a 

169-172

a) Aproxime f por um polinômio de

Taylor com grau n em a .

b) Use a Desigualdade de Taylor para

estimar a precisão de aproximação

( ) ( )nf x T x quando x estiver no

intervalo dado.

c) Verifique seu resultado na parte (b)

traçando ( )nR x .

169.

( ) , 4, 2, 4 4,2f x x a n x    

170.

2 3( ) , 1, 3, 0,8 1,2f x x a n x    

171.

( ) sec , 0, 2, 0,2 0,2f x x a n x     

172. 2

( ) , 0, 3, 0 0,1xf x e a n x    

173. Um carro está se movendo com

velocidade de 20 /m s e aceleração de 22 /m s em dado instante. Usando um

polinômio de Taylor de grau 2, estime a

distancia que o carro percorre no próximo

segundo. Seria razoável utilizar esse

polinômio pra estimar a distância percorrida

durante o próximo minuto?

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