Lista de Exercícios Álgebra - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Lista de Exercícios Álgebra - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da álgebra.
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EXERCÍCIOS Caṕıtulo 1

1. Dados os vetores ~u e ~v da figura, mostrar num gráfico, um representante do vetor: a) ~u− ~v b) ~v − 2~u c) ~u− 3~v

- * ~v

~u

2. Na figura abaixo, representa-se um cubo. Desenhe a flecha de origem H que representa a) (E − F ) + (B −D) + (C −D); b) −(G−B) + (B − A).

� �

� �

� �

� �

A B

CD

E

H

F

G

3. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e ~v é de 60◦, determinar o ângulo formado pelos vetores −~u e 2~v. Caṕıtulo 2: Vetores no <2 e no <3

(Operações com vetores)

4. Dados os vetores ~u = (4, 1) e ~v = (2, 6), calcular ~u+ ~v e 2~u. Fazer a representação geométrica desses vetores.

5. Demonstre a propriedade ~u+ ~v = ~v + ~u (comutativa).

6. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~w tal que 4(~u−~v)+ ~w = ~u−2~w. (Vetor definido por dois pontos)

7. Dados os pontos A(2,−1), B(−1, 3) e C(4,−2), determinar D(x, y) de modo que ~CD = 3 ~AB. (Decomposição no espaço)

8. Dados os vetores ~u = (−2, 3,−4) e ~v = (−4, 3,−8), verificar se são paralelos.

9. Determinar a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, a, b), B(1, 5, 1) e C(−3, 13, 7). (Outros)

10. Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento da reta de extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2).

11. Na figura abaixo tem-se CM = CA 3 , CN = CB

3 . Prove que os segmentos MN e AB são

paralelos, e que o comprimento do primeiro é 1 3 do comprimento do segundo.

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A A A A A A A A A

A B

M N

C

Caṕıtulo 3: Produtos de vetores

(Distância entre dois pontos)

12. Dados os vetores ~a = 2~i− 3~j + 5~k e ~b =~i− 2~j. Determine ~a ·~b.

13. Dados os vetores ~u = (4, α,−1) e ~v = (α, 2, 3) e os pontos A(4,−1, 2) e B(3, 2,−1), determinar o valor de α tal que ~AB · (~u+ ~v) = 5.

14. Determine o módulo do vetor ~v do exerćıcio 13.

15. Determine o versor do vetor ~v do exerćıcio 13.

16. Sabendo que a distância entre os pontos A(−1, 2, 3) e B(1,−1,m) é 7, calcular m.

17. Determinar α para que o vetor ~u = ( √

11 4 ,−1

2 , α) seja unitário.

(Propriedades do produto escalar)

18. Provar que |~u− ~v|2 = |~u|2 − 2~u · ~v + |~v|2. (Ângulo de dois vetores)

19. Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0,−1) e C(−1, 2, 1).

20. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) são vértices de um triângulo retângulo. (Ângulos diretores e cossenos diretores)

21. Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45◦, 60◦ e 90◦ ?

(Projeção de um vetor em termos do produto escalar)

22. Qual o comprimento do vetor projeção de ~u = (3, 5, 2) sobre o eixo dos y ?

23. Calcule m para que proj~v~u = 1 2 ~v, sendo ~u = (m, 2, 0) e ~v = (2,m, 0) na base ortonormal.

(Produto vetorial)

24. Se ~u = 2~i+ 3~j + 4~k e ~v = −~i+ ~k, determine ~u× ~v e ~v × ~u. (Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial)

25. Calcular a área do triângulo de vértices A(2, 3,−1), B(3, 1,−2) e C(−1, 0, 2).

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26. Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades B(1, 1,−1) e C(0, 1, 2).

27. Mostre que se 3~u− 2~v + 17~w = ~0 então 3~u× ~v = 17~v × ~w. (Duplo produto vetorial)

28. Dado os vetores ~u = (2,−1, 1), ~v = (1,−1, 0) e ~w = (−1, 2, 2), calcular ~u×(~v× ~w) e ~w×(~u×~v). (Propriedades do produto misto)

29. Verificar se são coplanares os pontos A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) e D(0, 1,−1).

30. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: ~a = (2, k, 1), ~b = (1, 2, k) e ~c = (3, 0,−3). (Volume do tetraedro)

31. Os vetores ~a = (3,−1,−3), ~b = (−1, 1,−4) e ~c = (m+1,m,−1) determinam um paraleleṕıpedo de volume 42. Calcular m.

(Outros)

32. Determinar ~u · ~v + ~u · ~w + ~v · ~w, sabendo que ~u+ ~v + ~w = ~0, |~u| = 2, |~v| = 3 e |~w| = √ 5.

33. O vetor ~v é ortogonal aos vetores ~a = (1, 2, 0) e ~b = (1, 4, 3) e forma ângulo agudo com o eixo dos x. Determinar ~v, sabendo que |~v| = 14.

34. Sendo ~u e ~v vetores do espaço, com ~v 6= ~0: a) determinar o número real r tal que ~u− r~v seja ortogonal a ~v e b) mostrar que (~u+ ~v)× (~u− ~v) = 2~v × ~u.

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