Lista de Exercícios de Geometria Analítica - Exercício - Fundamentos de Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Lista de Exercícios de Geometria Analítica - Exercício - Fundamentos de Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre a Geometria Analítica.
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Lista de Exercícios de Geometria Analítica - Parte 1

1. Determine as equações vetorial, paramétricas e simétricas das retas:

(a) que passa por A = (1, 2) e B = (3,−1). (b) que passa por P = (1,−2, 3) e Q = (1,−1, 1). (c) que passa por Q = (1, 1) e é perpendicular a reta y = 2x + 2.

(d) que passa por O = (0, 0, 0) e é paralela a reta

  

x = 23t y = 2 z = 8t

, t ∈ R

Res: (a) (x, y) = (1, 2) + t(2,−3), t ∈ R, {

x = 1 + 2t y = 23t , y =

3 2x +

7 2 .

Res: (b) (x, y, z) = (1,−2, 3) + t(2, 1,−2), t ∈ R,   

12m −2 + m 32m

, m ∈ R, x−12 = y + 2 = z−32 .

Res: (c) (x, y) = (1, 1) + t ( 1,− 12

) , t ∈ R,

{ x = 1 + t y = 112 t

, t ∈ R y = 12x + 32 ,.

Res: (d) (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(3, 0, 8), t ∈ R,   

x = 3t y = 0 z = 8t

, t ∈ R , −x3 = z8 e y = 0.

2. Determinar a equação de duas retas concorrentes no ponto A = (1, 2, 3) sendo uma delas perpen- dicular à reta r : x− 1

2 = y − 2 e z = 0 e a outra reta passa por B = (1,−1,−1).

Res: r : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(0, 3, 4), t ∈ R ou r :   

x = 1 y = 2 + 3t 3 + 4t

ou x = 1 e y−23 = z−34 e

s : (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(2, 1, 0), λ ∈ R ou s :   

x = 1 + 2λ y = 2 + λ z = 3

ou s : x−12 = y − 2 e z = 3.

3. Determine as equações geral, vetorial e paramétricas dos planos:

(a) que passa por A = (1,−1, 0), B = (2,−2, 3) e C = (2, 0, 3). (b) que passa por A = (1, 2, 3), B = (0, 0, 1) e C = (2,−1,−2). (c) que passa por P = (1,−1, 0) e é paralelo ao plano π : 2x + y − 2z − 2 = 0.

Res: (a) 3x + 0y − z − 3 = 0 e (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(1,−1, 3) + λ(1, 1, 3), λ, t ∈ R e  

x = 1 + t + λ y = 1− t + λ z = 0 + 3t + 3λ

t, λ ∈ R.

Res: (b) x − 7y + 4z − 4 = 0 e (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 2) + λ(1,−3,−5), λ, t ∈ R e  

x = 1 + t + λ y = 2 + 2t− 3λ z = 3 + 2t− 5λ

t, λ ∈ R.

Res: (c) 2x + y − 2z − 1 = 0 e (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(1, 0, 1) + λ(1,−2, 0), λ, t ∈ R e  

x = t + λ y = 12λ z = t + λ

t, λ ∈ R.

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4. Dadas as retas r :

x− 2 2

= y

2 = z e s : x− 2 = y = z,

obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. Res: x− y − 2 = 0. 5. Sejam P (4, 1,−1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4− t, 1 + 2t).

(a) Mostre que P /∈ r; (b) Obtenha a equação geral do plano determinado por r e P . Res: 8x + 6y − z − 39 = 0.

6. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano que contém π1 ∩ π2 e é ortogonal ao vetor 〈−1, 1,−1. Res: x− y + z + 1 = 0.

7. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano que contém π1 ∩ π2 e é ortogonal ao vetor 〈−1, 1,−1. Res: x− y + z + 1 = 0.

8. Ache a equação da reta que passa pelo ponto P (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z + 1 = 0 e x− y + z = 0. Res: (x, y, z) = (1 + 4t,−t, 15t).

9. Seja a reta determinada pela intersecção dos planos x + y − z = 0 e 2x − y + 3z − 1 = 0. Ache a equação do plano que passa por A (1, 0,−1) e contém a reta r. Res: 6x + 4z − 2 = 0.

10. Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x − y + 5z − 3 = 0 que passa por P (1,−2, 1). Res: 2x− y + 5z − 9 = 0.

11. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P (2, 1, 0) e é perpendicular aos planos x + 2y− 3z + 2 = 0 e 2x− y + 4z − 1 = 0. Res: 5x− 10y − 5z = 0.

12. Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P (1, 0, 0) e Q (1, 0, 1) e é perpendicular ao plano y = z. Res: −x + 1 = 0.

13. Dadas as retas r :

x− 2 2

= y

2 = z e s : x− 2 = y = z,

obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. Res: x− y − 2 = 0.

14. Sejam P (4, 1,−1) e r : (x, y, z) = (2 + t, 4− t, 1 + 2t).

(a) Mostre que P /∈ r; (b) Obtenha a equação geral do plano determinado por r e P . Res: 8x + 6y − z − 39 = 0.

15. Dados os planos π1 : x − y + z + 1 = 0 e π2 : x + y − z − 1 = 0, determine o plano que contém π1 ∩ π2 e é ortogonal ao vetor 〈−1, 1,−1. Res: x− y + z + 1 = 0.

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