Lista de Exercícios Espaços Vetoriais - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Lista de Exercícios Espaços Vetoriais - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Espaços Vetoriais.
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Lista de Exercícios - Espaços vetoriais

Espaços vetoriais

1. Determine o vetor nulo nos seguintes espaços vetoriais:

 O espaço das matrizes 2 4 .

 O espaço   : 0,1 / é contínuaf f

 O espaço das funções de uma variável com domínio nos números naturais.

 O espaço dos polinômios de grau três com as operações canônicas.

2. Ache o inverso aditivo do vetor dado em seu respectivo espaço vetorial.

 Em 2P do vetor 2( ) 3 2p x x x   

 No espaço das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma de matrizes e multiplicação por escalar do vetor

1 1

0 3

     

.

 No espaço das funções de variável real  / ,x xae be a b  com as operações usuais do vetor ( ) 3 2x xf x e e  .

3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por        a bi c di a c b d i       e defina a multiplicação por um escalar por   biabia   ,  . Mostre que C é um espaço vetorial

em relação a essas operações. É o conjunto dos números racionais em , com as operações usuais, um espaço vetorial?

4.Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais.

 O conjunto dos polinômios  1( ) / ,P x a bx a b   de grau menor ou igual a um, com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.

 O conjunto das matrizes 2 2 com coeficientes reais com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.

 O conjunto dos vetores linha com três componentes com as operações usuais para a soma e a multiplicação por escalar.

 O conjunto 4{ / 0}

x

y L x y z w

z

w

                

com as operações usuais em 4 .

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5 Mostre que os seguintes conjuntos não são espaços vetoriais, indicando qual ou quais axiomas não são satisfeitos.

 com as operações usuais de 2 , o conjunto 3{ / 1}

x

y x y z

z

       

    

 com as operações usuais de 2 , o conjunto 3 2 2 2{ / 1}

x

y x y z

z

       

    

 com as operações usuais para matrizes, o conjunto 1

{ / , , } a

a b c b c

   

 

 com as operações usuais para polinômios, o conjunto 2

0 1 2 0 1 2{ / , , }a a x a x a a a    onde  é o conjunto dos números reais maiores que zero.

 com as operações usuais, o conjunto 2{ / 3 4, 2 - 3 e 6 4 10}

x x y x y x y

y

        

 

6. Mostre que o conjunto das combinações lineares das variáveis x e y é um espaço vetorial com as operações usuais.

7. Seja P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P, com as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial.

8. Determine em ambos os casos se 3 é um espaço vetorial sob as seguintes operaçoes:

1 2

1 2

1 2

0

0 e

0

x x x rx

y y r y ry

z z z rz

                      

                            

1 2

1 2

1 2

0 0

0 e 0

0 0

x x x

y y r y

z z z

                      

                            

9. Determine se os conjuntos das matrizes 2 2 seguintes são espaços vetoriais (com as operações usuais).

 As matrizes diagonais 0

{ / , } 0

a a b

b

   

  .

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 As matrices { / , } a a b

a b a b b

   

 

10. Sejam x, y e z vetores de um espaço vetorial V. Mostre que, se x + y = x + z então y = z.

11. Seja S o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Defina a multiplicação por um escalar e a soma em S por

   2121 ,, xxxx  

     0,,, 112121 yxyyxx 

Usando o símbolo  para denotar a soma nesse sistema para evitar confusão com a soma usual de x + y de vetores linhas. Mostre que S, junto com a multiplicação usual por um escalar e a operação  , não é um

espaço vetorial. Quais dos oito axiomas não são válidos?

12. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais com a soma definida por      22112121 ,,, yxyxyyxx  e a multiplicação por um escalar definida por    2121 ,, xxxx   . Como a

multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação

a essas operações? Justifique sua resposta.

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