Lista de Exercícios Subespaços - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Lista de Exercícios Subespaços - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Subespaços.
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SEÇÃO 2 - Exercícios Subespaços:

1. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R 2 .

a)   0/, 2121  xxxx T

b)   0/, 2121  xxxx T

c)   2121 3/, xxxx T

d)   13/, 2121  xxxx T

2. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R 3 .

a)   1/,, 31321  xxxxx T

b)   321321 /,, xxxxxx T 

c)   213321 /,, xxxxxx T 

d)   22213321 /,, xxxxxx T 

3. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R 2 x 2

.

a) O conjunto de todas as matrizes diagonais 2 x 2.

b) O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores 2 x 2.

c) O conjunto de todas as matrizes 2 x 2 tais que a12 = 1.

d) O conjunto de todas as matrizes 2 x 2 tais que b11 = 0.

e) O conjunto de todas as matrizes simétricas 2 x 2.

f) O conjunto de todas as matrizes singulares 2 x 2.

4. Determine o núcleo de cada uma das matrizes a seguir.

a)  

  

23

12 b) 

  





3642

1321

c)   

  





431

112

431

d)   

  



5011

1322

2111

5. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de P4. (Cuidado!)

a) O conjunto dos polinômios em 4 de grau par.

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b) O conjunto dos polinômios de grau 3.

c) O conjunto dos polinômios p(x) em P4 tais que p(0) = 0.

d) O conjunto dos polinômios em P4 que tem pelo menos uma raiz real.

6. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de C[-1, 1].

a) O conjunto das funções f em C[-1 , 1] tais f (-1) = f (1).

b) O conjunto das funções ímpares em C[-1 , 1].

c) O conjunto das funções não decrescentes em [-1 , 1].

d) O conjunto das funções em f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 e f (1) = 0.

e) O conjunto das funções f em C [-1 , 1] tais f (-1) = 0 ou f (1) = 0.

7. Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto gerador para R 2 .

a)   

  

 

  

  

  

2

3 ,

1

2 b)

  

  

 

  

  

  

6

4 ,

3

2 c)

  

  

 

  

  

  

  

  

 

4

2 ,

3

1 ,

1

2

d)

  

  

 

  

  

  

  

  

 

4

2 ,

2

1 ,

2

1

e)   

  

 

  

   

  

1

1 ,

2

1

8. Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores para R 3 ? Justifique suas

respostas.

a) {(1 , 0 , 0) T , (0 , 1 , 1 )

T , (1 , 0 , 1)

T }

b) {(1 , 0 , 0) T , (0 , 1 , 1 )

T , (1 , 0 , 1)

T , (1 , 2 , 3)

T }

c) {(2 , 1 , -2) T , (3 , 2 , -2 )

T , (2 , 2 , 0)

T }

d) {(2 , 1 , -2) T , (-2 , -1 , 2 )

T , (4 , 2 , -4)

T }

e) {(1 , 1 , 3) T , (0 , 2 , 1 )

T }

9. Sejam   

  

   

  

   

  

   

  



5

2

9

,

6

6

2

,

2

4

3

,

3

2

1

21 yxxx

a)   21, xxx ?

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b)   21, xxy ?

10. Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3? Justifique suas

respostas.

a) {1, x 2 , x

2 – 2}

b) {2, x 2 , 2x + 3}

c) {x + 2, x + 1, x 2 – 1}

d) {x + 2x, x 2 – 1}

11. Em R 2 x 2

, sejam

 

  

 

  

 

 

  

 

  

 

10

00

01

00

00

10

00

01

2221

1211

EE

EE

Mostre que E11, E12, E21, E22 geram R 2 x 2

.

12. Prove que, se S é um subespaço de R 1 , então S = {0} ou S = R

1 .

13. Seja A uma matriz n x n. prove que as seguintes afirmações são equivalentes:

a) N(A) = {0}:

b) A é inversível:

c) Para cada nRb , o sistema Ax = b tem uma única solução.

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