Lista de Exercícios Vetores - Exercício - Fundamentos de Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Lista de Exercícios Vetores - Exercício - Fundamentos de Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Vetores.
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Lista de Exercícios - Fundamentos de Matemática - ECT

Estamos sempre supondo fixado um sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, fixada uma base ortonor- mal positiva quando expressamos vetores e/ou pontos em termos de coordenadas sem explicitar uma base.

1. Encontre a distância entre os pontos A e B:

(a) A = (1, 2) e B = (0, 1)

(b) A = (1, 3, 2) e B = (1, 0, 3)

2. Encontre as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo:

(a) A = (1, 2) e B = (0, 1)

(b) A = (3, 5,−8) e B = (0, 0,−8)

3. Encontre o centro e o raio das circunferências:

(a) (x+ 2)2 +

( z + 32

)2 = 17

(b) x2 + y2 + 6x− 5y − 2 = 0

4. Encontre o centro e o raio da esfera:

(a) x2 + y2 + z2 6y + 8z = 0 (b) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 2y − 2z = 9

5. Encontre o perímetro do triângulo com vértices nos pontos A, B e C:

(a) A = (2, 1), B = (2, 2) e C = (0, 1) (b) A(2, 1, 0), B(2, 2,−3) e C pertence ao eixo z e ao plano 2x+ 3y + z = 4

6. Mostre que o ponto M(3, 1) é equidistante dos pontos P1(2,−1) e P2(4, 3)

7. Verifique se os pontos formam um triângulo A(0, 4), B ( 5 2 ,−2

) e C(0,−2)

8. Ache a soma dos vetores indicados na figura em cada caso:

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9. Dados os pontos A,B,C e X tais que −−→AX = m−−→XB com m ∈ R. Expresse −−→CX em função de −→CA e −−→CB (e m).

10. Encontre um versor no plano, na mesma direção e mesmo sentido que o vetor v

(a) v = 2ij (b) v = 23 i12 j2k

11. João está puxando uma mala com uma força ∣ F⃗ ∣ = 10N cujo o ângulo com a horizontal é 30. determine as componentes perperdicular e paralela ao movimento da força.

12. Um pássaro voa do seu ninho 5 km a 60norte de leste, onde pousa em uma árvore para descançar. então, ele voa 10 km no sentido sudeste e pousa em um poste telefônico. Estabeleça um sistema de coordenadas xy de maneira que a origem seja o ninho do pássaro, o eixo x aponte para leste e o eixo y para o norte. Responda:

(a) Em que ponto está localizada a árvore?

(b) Em que ponto está localizado o poste telefônico?

(c) Qual a distância que o pássaro se deslocou na direção norte?

(d) Qual a distância que o pássaro se deslocou na direção sul?

(e) Qual a distância (total) que o pássaro percorreu?

13. Sejam u⃗ = 2⃗i+ j⃗, v⃗ = −⃗i+ 4⃗j e w⃗ = i⃗− 3⃗j. Encontre, se possível, a, b ∈ R tais que u⃗ = av⃗ + bw⃗. 14. Escreva, se possível, o vetor w⃗ = (2,−3) como combinação linear de v⃗1 = (1, 2) e v⃗2 = (2, 5). 15. Escreva, se possível, o vetor v⃗ = (2,−1, 0) em função dos vetores v⃗1 = (0, 2,−4), v⃗2 = (1, 0,−2) e

v⃗3 = (2, 0, 0) 16. Seja A = (4, 2, 0), B = (1, 3, 0) e C = (1, 2,−1): 17. Suponha A, B e C sejam os vértices de um triângulo e que MA, MB e MC sejam, respectivamente, os

pontos médios dos lados opostos. Mostre que −−−→AMA +−−−→BMB +−−−→CMC = 0⃗ 18. Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não - paralelos de um trapézio é paralelo às

bases do trapézio e sua medida é a semi-soma das medidas das bases.

19. Ache o cosseno do ângulo entre os vetores v⃗ e w⃗:

(a) v⃗ = (2, 0) e w⃗ = (20, 100) (b) v⃗ = (3, 3, 0) e w⃗ = (2,−1, 2)

20. Determine u v, u, v, o cosseno entre u e v e as projeções proj vu e projuv.

(a) u = i+ 2j k e v = 2i+ j 3 k (b) u =

2 2 ,

2 2 ,

2 2

〉 e v =

〈 23 , 2

3 , 2

3

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3

21. Ache x de modo que v⃗ ⊥ w⃗:

(a) v⃗ = (x, 3) e w⃗ = (1,−x) (b) v⃗ = (x, x, 4) e w⃗ = (4, x, 1)

22. Decomponha o vetor u em um vetor paralelo a v e outro vetor perpendicular a v:

(a) u = 4i 3j2 k e v = i j (b) u = i2j +5 k e v = 23 i+ 12 j 15 k

23. Encontre as medidas dos ângulos do triângulo cujo os vértices são A = (2, 0), B = (2, 0) e C =( 0, 2

3

3

) .

24. Obtenha um vetor u⃗ ortogonal a v⃗ = 4,−1, 5e a w⃗ = 1,−2, 3tal que u⃗⋅ ⟨1, 1, 1= 1. 25. Ache v⃗ tal que ∣ v⃗ ∣ = 5, ortogonal a (2, 1) , tal que {v⃗, (1, 1)} seja LD. 26. Uma arma com velocidade de saída de 400 m/s é disparada a um ângulo de 15acima do horizonte.

Encontre as componentes horizontal e vertical da velocidade.

27. Mostre que os quadrados são os únicos retângulos com diagonais perpendiculares.

28. Sendo u⃗ = (1,−1, 3), v⃗ = (2, 1, 3) e w⃗ = (1,−1, 4)

(a) Escreva, se possível, u⃗ como combinação linear de v⃗ e w⃗.

(b) Escreva, se possível, t⃗ como combinação linear de u⃗, v⃗ e w⃗.

29. Ache o número real m para que os conjuntos abaixo sejam LD.

(a) {v⃗ = (m, 1), w⃗ = (1,m)} (b) {v⃗ = (m, 1), w⃗ = (1, 2), u⃗ = (1, 1)} (c) {v⃗ = (m, 1,m), w⃗ = (1,m, 1)} (d) {v⃗ = (1−m2, 1−m, 0), w⃗ = (m,m,m)}

30. Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P , Q e R, e o versor perpendicular a este triângulo.

(a) P = (1, 2, 0), Q = (1, 3, 0) e R = (1, 2,−1)

31. Encontre o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w, e verifique a propriedade cíclica do produto misto (u× v) w =(v ×w) u =(w × u) v.

(a) u = 2i+ j+ k, v = 3jk e w = i+ jk

32. Calcule a área e a altura relativa ao vértice B do triângulo ABC sendo −→AC = (1, 1, 0) e −−→AB = (0, 1, 3). 33. Ache um bvetor unitário ortogonal a v⃗ = (1,−3, 1) e a w⃗ = (5, 5, 5).

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