Lista de Parametrização de Superfícies de Cálculo III - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Lista de Parametrização de Superfícies de Cálculo III - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro sobre o estudo da Lista de Parametrização de Superfícies de Cálculo.
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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matemática

Departamento de Métodos Matemáticos

Lista de Parametrização de Superf́ıcies de Cálculo III

1. Parametrize a porção do cilindro x2 + y2 = a2 compreendida entre os planos z = 2x e z = 4x.

2. Considere o arco γ da parábola z = 3− y2, no plano yz, compreendido entre as semi-retas z = 2y e z = 11y

2 , com y ≥ 0. Seja S a superf́ıcie obtida girando-se γ em torno do eixo z.

Parametrize S.

3. Seja S a superf́ıcie obtida girando-se a curva z = x2, 0 ≤ x ≤ 4, em torno do eixo z.

• parametrize S. • parametrize a superf́ıcie S1, que é a porção de S compreendida entre os cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

4. Parametrize a parte da superf́ıcie x2 + y2 = 2x limitada pelas superf́ıcies z = 0 e z = √

x2 + y2.

5. Parametrize a porção da esfera x2 + y2 + z2 = 12 que não se encontra no interior do parabolóide z = x2 + y2.

6. Parametrize a superf́ıcie x2 + y2 = 1, limitada pelos planos z = 1 e x + z = 4.

7. Parametrize a superf́ıcie obtida girando-se a curva z = 1 − x2, 0 ≤ x ≤ 1, em torno do eixo x.

8. Seja S = S1 ∪ S2, onde S1 obtida rodando-se em torno do eixo z a curva C1: z = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1 e S2 é obtida girando-se a curva z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, em torno de z. Parametrize S1 e S2.

9. Parametrize a porção de (x− 1)2 + (y − 1)2 = 1 entre as superf́ıcies z = 0 e z = 4.

10. Parametrize a superf́ıcie de revolução S obtida girando-se o segmento de reta que liga (1, 0, 1) a (0, 0, 3), em torno do eixo Oz.

11. Parametrize a superf́ıcie S obtida girando-se o ćırculo (x−a)2+z2 = b2, 0 < b < a, em torno de Oz e encontre um vetor normal a S em cada ponto, utilizando-se esta parametrização.

12. Parametrize a porção da esfera x2 + y2 + z2 = a2 limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo-se que o ângulo entre os dois meridianos é α e a distância entre os planos que contêm os paralelos é h. Sugestão: situe um dos paralelos no plano xy e um dos meridianos no plano xz e use a idéia das coordenadas esféricas.

13. Encontre uma parametrização para a superf́ıcie S do hiperbolóide x2+y2−z2 = 1; encontre um vetor normal a S em cada ponto, utilizando esta parametrização e encontre a equação do plano tangente a S no ponto (1/2,

√ 3/2, 0).

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Respostas da Lista:

1. σ1(u, v) = (a cos(u), a sen (u), v), −π2 ≤ u ≤ π2 e 2a cos(u) ≤ v ≤ 4a cos(u); σ2(u, v) = (a cos(u), a sen (u), v), π

2 ≤ u ≤ 3π

2 e 4a cos(u) ≤ v ≤ 2a cos(u)

2. σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 3 − u2), 0 ≤ v ≤ 2π; 1 2 ≤ u ≤ 1.

3. σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), u2),0 ≤ v ≤ 2π; 0 ≤ u ≤ 4 e σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), u2),0 ≤ v ≤ 2π; 1 ≤ u ≤ 2

4. σ(u, v) = (1 + cos(u), sen (u), v); 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 2| cos(u/2)|

5. σ(ϕ, θ) = ( √

12 sen (ϕ) cos(θ), √

12 sen (ϕ) sen (θ), √

12 cos(ϕ)); 0 ≤ θ ≤ 2π; π/6 ≤ ϕ ≤ π.

6. σ(u, v) = (cos(u), sen (u), v); 0 ≤ u ≤ 2π; 1 ≤ v ≤ 4 − cos(u)

7. σ(u, v) = (u, (1 − u2) cos(v), (1 − u2) sen (v)), 0 ≤ v ≤ 2π; 0 ≤ u ≤ 1

8. σ1(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 1−u), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π; σ2(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 0), mesmos intervalos de variação de parâmetros.

9. σ(u, v) = (1 + cos(u), 1 + sen (u), v);0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 4

10. σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 3 − 2u); 0 ≤ v ≤ 2π; 0 ≤ u ≤ 1

11. σ(u, v) = ((a + b cos(u)) cos(v), (a + b cos(u)) sen (v), b sen (u)); 0 ≤ u, v ≤ 2π e ~N = (a + b cos(u))(b cos(u) cos(v), b cos(u) sen (v), b sen (u))

12. σ(ϕ, θ) = (a sen (ϕ) cos(θ), a sen (ϕ) sen (θ), a cos(ϕ)), 0 ≤ θ ≤ α e arccos(h/a) ≤ ϕ ≤ π/2.

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