Lógica Proposicional - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8011 de Março de 2013

Lógica Proposicional - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da Lógica Proposicional.
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Lista de Exercícios 1 Fundamentos da Lógica – Lógica Proposicional

UFMG/ICEx/DCC DCC111 – Matemática Discreta

Ciências Exatas & Engenharias 1o Semestre de 2012

1. Construa a tabela da verdade para a seguinte proposição: E = (p ∨ (¬p ∨ q)) ∧ ¬(q ∧ ¬r)

2. Mostre se as expressões E1 e E2 são equivalentes logicamente:

E1 = (s→ (p ∧ ¬r)) ∧ ((p→ (r ∨ q)) ∧ s) E2 = (p ∧ q ∧ ¬r ∧ s) ∨ ¬(p ∨ s)

3. Faça a simplificação lógica da seguinte expressão usando apenas as leis da lógica:

(p ∧ (¬(¬p ∨ q))) ∨ (p ∧ q)

4. Mostre se o seguinte argumento é válido ou não usando as formas válidas de argumentos. Em cada passo, identifique a razão para se obter a conclusão:

(a) ¬p→ r ∧ ¬s (b) t→ s (c) u→ ¬p (d) ¬w (e) u ∨ w (f) ... ¬t ∨ w

5. O famoso detetive Percule Hoirot foi chamado para resolver um assassinato misterioso. Ele determinou os seguintes fatos:

(a) Lord Charles, o homem assassinado, foi morto com uma pancada na cabeça com um castiçal. (b) Ou Lady Camila ou a empregada Sara estavam na sala de jantar no momento do assassinato. (c) Se o cozinheiro estava na cozinha no momento do assassinato, então o açougueiro matou Lord Charles

com uma dose fatal de arsênico. (d) Se Lady Camila estava na sala de jantar no momento do assassinato, então o motorista matou Lord

Charles. (e) Se o cozinheiro não estava na cozinha no momento do assassinato, então Sara não estava na sala de

jantar quando o assassinato ocorreu. (f) Se Sara estava na sala de jantar no momento do assassinato, então o ajudante pessoal de Lord Charles

o matou.

É possível para o detetive Percule Hoirot deduzir quem matou Lorde Charles? Se sim, quem é o assassino?

6. Construa a tabela da verdade para a seguinte proposição: E = (p⊕ q) ∧ (p⊕ ¬q)

7. Construa a tabela da verdade para a seguinte proposição: E = (¬p↔ ¬q)→ (p→ ¬r)

8. Seja a tabela da verdade do operador :

p q p q V V V V F F F V F F F V

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(a) O operador segue a lei da associatividade com o operador ∧, i.e., (x y) ∧ z ?≡ x (y ∧ z).

(b) O operador segue a lei da distributividade com o operador ∧, i.e., x (y ∧ z) ?≡ (x y) ∧ (x z).

9. Mostre a equivalência lógica da seguinte proposição usando apenas as leis da lógica: (p→ r) ∨ (q → r) ≡ (p ∧ q)→ r

10. Mostre se os seguintes requisitos são consistentes ou não. Caso sejam, para que valores esses requisitos são consistentes.

Se o sistema de arquivos não está travado, então novas mensagens serão enfileiradas. Se o sistema de arquivos não está travado, então o sistema está funcionando normalmente e vice-versa. Se novas mensagens não são enfileiradas, então elas serão enviadas para o buffer de mensagens. Se o sistema de arquivos não está travado, então novas mensagens serão enviadas para o buffer de mensagens. Novas mensagens não serão enviadas para o buffer de mensagens.

11. Mostre se o seguinte argumento é válido ou não:

p ∧ ¬q → r p ∨ q q → p

... r

12. Mostre se o seguinte argumento é válido ou não usando as formas válidas de argumentos. Em cada passo, identifique a razão para se obter a conclusão:

(a) p→ q (b) r ∨ s (c) ¬s→ ¬t (d) ¬q ∨ s (e) ¬s (f) ¬p ∧ r → u (g) w ∨ t (h) ... u ∧ w

13. Sejam duas variáveis lógicas x e y, ou seja variáveis que podem assumir o valor verdadeiro (V ) ou falso (F ). Seja ← o comando de atribuição existente em linguagens de programação como C. Qual é o valor dessas variáveis ao final da execução seqüencial dos três comandos abaixo. Apresente a sua resposta independente dos valores iniciais de x e y.

x← ¬(x y) y ← ¬(x y) x← ¬(x y)

O texto, a seguir, foi retirado do livro texto, página 19: “Lógicas Fuzzy são utilizadas em inteligência artificial. Na lógica fuzzy, a proposição tem um valor-verdade que é um número entre 0 e 1 inclusive. Uma proposição com valor-verdade 0 é falsa e uma com valor-verdade 1 é verdadeira. Valores entre 0 e 1 indicam variantes de grau de verdade. Por exemplo, o valor-verdade 0,8 pode ser indicado para uma proposição "Fred é feliz", porque ele é feliz na maior parte do tempo; e o valor-verdade 0,4 pode ser indicado para a proposição "John é feliz", porque ele é feliz menos que a metade do tempo”.

14. O valor-verdade da negação de uma proposição em lógica fuzzy é 1 menos o valor-verdade da proposição. Quais são os valores-verdade das proposições "Fred não é feliz" e "John não é feliz"?

15. O valor-verdade da disjunção de duas proposições em lógica fuzzy é o máximo dos valores-verdade de duas proposições. Quais são os valores-verdade das proposições "Fred é feliz ou John é feliz" e "Fred não é feliz ou John não é feliz"?

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16. Cada habitante de uma vila longínqua sempre diz a verdade ou sempre mente. Um habitante dela dará apenas como resposta um sim ou um não para a pergunta que um turista fizer. Suponha que você seja um turista que visita essa área e que chegue a uma bifurcação na estrada. Um lado leva até às ruínas que você quer visitar; o outro, às profundezas de uma floresta. Um habitante dessa vila está parado nessa bifurcação. Que pergunta você pode fazer ao habitante para determinar qual lado seguir?

17. Este sistema de especificações é consistente? “O sistema está em um estado de multiuso se e somente se estiver operando normalmente. Se o sistema está operando normalmente, o núcleo do sistema operacional (kernel) está funcionando. O kernel não está funcionando ou o sistema está no modo de interrupção. Se o sistema não está em um estado de multiuso, então está em um modo de interrupção. O sistema não está no modo de interrupção.”

18. Este sistema de especificações é consistente? “O roteador pode enviar mensagens para o sistema principal apenas se ele tratar um novo espaço de endereço. Para o roteador tratar o novo espaço de endereço, é necessário que a última versão do software seja instalada. O roteador pode enviar mensagens ao sistema principal se a última versão do software estiver instalada. O roteador não trata o novo espaço.”

19. Um detetive entrevistou quatro testemunhas de um crime. A partir das histórias das testemunhas, o detetive concluiu que, se o mordomo está dizendo a verdade, então o cozinheiro também está; o cozinheiro e o jardineiro, ambos, não podem estar dizendo a verdade; o jardineiro e o zelador, ambos, não estão mentindo; e se o zelador está dizendo a verdade, então o cozinheiro está mentindo. Para cada uma das quatro testemunhas, o detetive pode determinar se a pessoa está mentindo ou dizendo a verdade?

O texto, a seguir, foi retirado do livro texto, página 29: “O dual de uma proposição composta que contém apenas os operadores lógicos ∨, ∧ e ¬ é a proposição composta obtida pela troca de cada ∨ por ∧, cada ∧ por ∨, cada V por F e cada F por V . O dual de s é representado por s∗”.

20. Encontre o dual de cada uma das seguintes proposições compostas:

(a) s1 : p ∧ ¬q ∧ ¬r (b) s2 : (p ∧ q ∧ r) ∨ s (c) s3 : (p ∨ F ) ∧ (q ∨ V ) (d) Apresente um exemplo de proposição composta formada por pelo menos duas variáveis tal que s ≡ s∗.

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