Matrizes e Determinantes - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Matrizes e Determinantes - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo das matrizes e determinantes, definição, fórmula.
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MATRIZES E DETERMINANTES

MATRIZES

1. Definição: Uma matriz é um arranjo retangular de números variáveis, cada um tendo um lugar ordenado dentro da matriz. Os números ou variáveis chamados elementos da matriz.

As matrizes podem ser representadas das seguintes formas:

Através de parênteses ( ).

Através de colchetes [ ] .

Através de barras duplas || ||.

Os números em cada fila horizontal são chamados linhas; os números em cada fila vertical são chamados colunas.

O número de linhas (m) e o número de colunas (n) define as dimensões da matriz (m x n) que se lê “m por n”.

Representaremos uma matriz de “m” linhas e “n”colunas por:

fórmula , i = linha e j = coluna.

Dessa forma, a matriz é uma tabela retangular de números:

fórmula

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Os elementos de uma matriz são representados por letras minúsculas, acompanhada por índices, i e j , que indicam a linha e a coluna, respectivamente, onde se encontra o elemento da matriz:

a i j coluna

linha

Exemplo: -1 2

3 4

0 3 3 x 2

a matriz é do tipo 3x2, pois tem 3 linhas e 2 colunas.

Exemplo: A matriz -1 0 3 vamos associar a matriz

2 1 4

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

então : a11 = -1, a12 = 0 , a13 = 3, a21 = 2 , a22 = 1 e a23 = 4

Exemplos : escreva a matriz A = (aij ) 3x2 tal que aij = 2i – j.

Solução: a matriz 3 x 2 é do tipo

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a11 a12

a21 a22

a31 a32

para obtermos o valor de cada elemento da matriz, basta substituir os valores de i e j na lei de formação aij = 2 i – j.

Desta forma, teremos :

a11 = 2 . 1 – 1= 1 a21 = 2 . 2 – 1 = 3 a31 = 2 . 3 – 1 = 5

a12 = 2 . 1 – 2 = 0 a22 = 2 . 2 – 2 = 2 a32 = 2 . 3 – 2 = 4

portanto, 1 0

A= 3 2

5 4

Ordem de uma matriz:

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n".

Assim, a matriz A acima é de ordem 3x2.

Por exemplo:uma matriz de ordem 3 tem três linha e três colunas

0 1 23 4 56 7 8Para que uma matriz seja classificada dessa forma, ele deve possuir a mesma quantidade de linhas e de colunas, ou seja, ela deve ser uma matriz quadrada.

Tipos de Matrizes

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Principais Tipos de Matrizes

Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas:

2.1.Matriz Quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).

Ex. A= (fórmula) de ordem 2 onde fórmula = i + j.

Ex.:

a) 2 4

-1 3 2x2 matriz quadrada de ordem 2

b) 1 3 0

2 1 5

4 3 2 3x3 matriz quadra de ordem 3

2.2.Matriz Nula: é aquela em que fórmula=0 para todo i e j.

a) 0 0

0 0 2x2

Ex. A=fórmula onde fórmula = 0 i e j.

2.3.Matriz Coluna: é aquela que possui uma única coluna(n = 1).

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Ex. Vetor coluna.

Ex.:

A = 3 é a matriz coluna ( 2 x 1 )

-2

2.4.Matriz Linha: é aquela que possui uma única linha(m = 1).

Ex. Vetor linha.

Ex.: A = ( 3 -1 2 ) é a matriz linha ( 1 x 3 )

2.5.Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde fórmula = 0 para i  j, isto é, os ele não estão na diagonal principal são nulos.

Diagonal principal

Diagonal secundária

Diagonal principal: formada pelos elementos ( a11, a22, a23 ) com i = j

Diagonal secundária: formada pelos elementos ( a13,a22,a31).

2.6.Matriz Identidade: é uma matriz quadrada onde fórmula = 1 para i = j e fórmula = 0 para i  j.

É uma matriz diagonal onde fórmula

1 0 0

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In = 0 1 0

0 0 1

2.7.Matriz Triangular Superior: é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da

diagonal principal são nulos, isto é, m = n e fórmula = 0 para i > j.

2.8.Matriz Triangular Inferior: é aquela em que m = n e fórmula = 0 para i < j.

2.9.Matriz Transposta: chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas. Se escreve AT.

Propriedades

A transposta da soma de duas matrizes é a soma das matrizes transpostas, isto é, a transposta de uma soma é a soma das transpostas: (A + B)T = AT + BT ;

A transposta da transposta de uma matriz dada é igual à matriz dada: (AT)T = A;

A transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, ou seja, a transposta de um produto é o produto das transpostas na ordem inversa :

(AB)T = BT.AT.

A matriz transposta fórmula é definida para qualquer matriz A e se forma assim: as colunas passam a ser linhas (e vice versa). A matriz A que satisfaz a restrição fórmula = A se chama simétrica.

Seja A quadrada com detA  0. A mudança não muda o resultado: fórmula.

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Para uma matriz A quadrada a transposta tem o mesmo determinante que a própria matriz: detA  = detA.

2.10.Matriz Simétrica: é aquela em que m = n e fórmula = fórmula ou seja A = AT.

É aquela na qual m = n e ai j = aj i.

Ex: fórmulafórmula

Ex. S = ST = fórmula

2.11.Matriz Oposta: chamamos de matriz oposta de A, a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos seus elementos. Se escreve -A.

Dada a matriz A = (aij)m x n, chama-se OPOSTA DE A, (indica-se - A) a matriz A', tal que A + A' = 0.

Exemplo

a) fórmula

2.12. Matriz Antissimétrica: A diagonal principal deve sempre ser zero. A = -AT ou AT = -A

fórmula fórmula

Ex. fórmula

2.13. Matriz Escalar: É a matriz diagonal porém os elementos da diagonal principal são todos iguais.

fórmula a  0

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2.14. Matriz Periódica: Uma matriz quadrada A é periódica se An =A, sendo n  2. É a matriz A que An = A, n  2. Se “n” é o menor -1.

2.14.1. Matriz Idenpotente: Uma matriz Amxn é dita idenpotente se o produto dela por ela mesma resulta ela própria: A.A = A ou A2 = A. É a matriz periódica A tal que A2 = A

Obs. Se A2 = A, então A3 = A4 = A5 = ... = An = A

2.14.2. Matriz Nilpotente: Uma matriz Amxn é chamada Nilpotente se o produto dela por ela mesma resulta a matriz nula: A. A = 0 ou A2 = 0. Uma matriz A é nilpotente se existir um número inteiro positivo “p” tal que Ap = 0. Se “p” é o menor inteiro positivo tal que Ap = 0, diz-se que A é nilpotente de índice “p”.

Se A3 = 0, então A4 = ... = An = 0.

2.15. Matriz Ortogonal: Uma matriz A cuja a inversa coincide com a transposta é denominada ortogonal, ou seja AT=A-1. Uma matriz M é ortogonal quando M-1 = Mt . Ou seja, M . Mt = Mt . M = I

Ex: M = fórmula

2.16. Matriz Singular: É uma matriz que não admite inversa.

4. Operações com Matrizes

4.1. Adição e subtração de matrizes. (A+B ou A-B) requer que as matrizes sejam de iguais dimensões. Cada elemento de uma matriz é então somado ou subtraído ao correspondente elemento da outra matriz.

As matrizes A, B do mesmo tamanho podem ser somadas e a soma C será a matriz cujos elementos são as somas dos elementos respectivos de A, B ou, usando a notação do elemento geral, fórmula

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Propriedades da Adição

ASSOCIATIVA: (A + B) + C = A + (B + C) quaisquer que sejam A, B e C do tipo m x n.

Demonstração: Fazendo (A + B) + C = X e A + (B + C) = Y, temos: xij = (aij + bij) + cij = bij + aij = yij para todo i e todo j.

b) COMUTATIVA: A + B = B + A quaisquer que sejam A e B, do tipo m x n.

Demonstração: Fazendo A + B = X e B + A = Y, temos: xij = a ij + bij = bij + aij = yij

c) ELEMENTO NEUTRO: fórmulaM | A + M = A qualquer que seja A do tipo m x n.

Demonstração: Impondo A + M = A, resulta: aij + mij => mij = 0 => M = 0, isto é, o elemento neutro é a matriz nula do tipo m x n.

d) TODO ELEMENTO TEM SIMÉTRICO: para todo A do tipo m x n: fórmulaA' | A + A´ = M.

Demonstração: Impondo A + A' = M = 0, resulta: aij + (aij)´ = 0 => (aij)` = - aij fórmula isto é, a simétrica da matriz A para a adição é a matriz A' de mesmo tipo que A, na qual cada elemento é simétrico do correspondente em A.

Assim, dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, chama-se soma A + B a matriz C = (cij)mxn tal que cij = aij + bij para todo i e todo j , isto significa que a soma de duas matrizes A e b do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipo em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.

a) fórmulab) fórmula

4.2. Multiplicação por um escalar. A multiplicação de uma matriz por um escalar envolve a multiplicação de cada elemento da matriz pelo número. Este processo é chamado “multiplicação

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escalar”, porque ele altera a matriz para cima ou para baixo de acordo com o tamanho do número.

Propriedades

1. K(A + B) = KA + KB

2. (fórmula

3. 0.A = 0

4. fórmula

4.3. Produto entre duas matrizes.

O produto das matrizes fórmula, onde cada elemento fórmula é obtido através da soma dos produtos dos elementos i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. A definição do produto de duas matrizes consiste de duas partes:

4.3.1) A regra de compatibilidade de dois fatores diz que o produto das matrizes A, B existe se o número das colunas da 1a é igual ao número das linhas da 2a , sendo o tamanho do produto C o número das linhas da 1a vezes o número das colunas da 2a . Na forma compacta: fórmula.

4.3.2) O produto C tem como seus elementos os produtos escalares das linhas da 1a pelas colunas da 2a:

fórmula

(na 1a pegamos linhas, na 2a colunas). Mais exatamente, o elemento fórmula da matriz C é igual ao produto escalar da l-esima linha da A por m-esima coluna da B.

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Sejam A = [ai j]m x n e B = [br s]n x p . Definimos A * B = [Cu v]m x p, onde fórmula

Observações:

O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.

A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas de A com o número de colunas de B.

Propriedades:

Em geral AB  BA. Ex.: , AB  BA.

AI = IA = A

A(B + C) = AB + AC (Distributiva à esquerda)

(A + B)C = AC + BC (Distributiva à direita)

(AB)C = A(BC) (Associativa)

0 . A = A . 0 = 0

4.3.3) Multiplicação das matrizes pelos números reais

Se  for um número Uma idéia que logo passa pela cabeça é que se pode considerar a operação de multiplicação pelos números como o caso particular da multiplicação matricial definindo a matriz B como matriz de tamanho 1 por 1 sendo o único elemento o número dado . A resposta é que a multiplicação pelos números não encaixa na multiplicação matricial porque as matrizes B e A não serão compatíveis (de modo geral). É fácil verificar que as leis distributivas se aplicam: (  + )A = A + A e (A + B) = A + B.

4.4 Diferença Entre Matrizes

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Dadas duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, chama-se DIFERENÇA (A – B) a matriz soma de A com a oposta de B.

fórmula

DETERMINANTE

1. Definição:Determinante é um escalar associado a uma matriz quadrada. Considere o sistema fórmula, resolvendo-o, supondo possível as operações, obtemos:

fórmula e fórmula

Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes do

sistema fórmula

Num sistema 3 x 3 fórmula, os denominadores dos valores de x1, x2,

e x3 são iguais a: a11 a22 a33+ a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33– a13 a22 a31, que

está associado à matriz dos coeficientes do sistema fórmula .

Este número, que aparece nos denominadores das soluções do sistema, associados às matrizes quadradas, são casos particulares do que é chamado determinante de uma matriz quadrada.

O determinante, ou seja, o número associado a uma matriz quadrada A =

[ai j]mxm será representada por: det A ou fórmula ou det [ai j].

Determinante de primeira ordem. Dada uma matriz quadrada de primeira ordem M=[fórmula] chamamos de determinante associado à matriz M o número real fórmula.

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Ex: A = [a5]  det A = 5

B = [4]  fórmula= 4

C = [-3]  det C = -3

1.2. Determinante de segunda ordem. Dada a matriz M=fórmula, de ordem 2, temos por definição que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de segunda ordem é dado por: “produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária”.

det M=fórmula = fórmula

1.3.Determinante de terceira ordem. (Regra de Sarrus).

Seja M=fórmula o seu determinante é dado por:

1 ) repete-se as duas primeiras coluna ao lado da última.

fórmula

2 ) Encontra-se a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos.

3 ) Encontra-se a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal com 3 elementos.

4 ) Realiza-se a diferença entre os dois resultados.

O determinante é definido só para matrizes quadradas e o resultado de aplicação do determinante é um número. Ele permite responder a questão que acabamos de fazer.

Propriedades dos determinantes

Propriedades dos determinantes

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Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

6ª propriedade O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (R t).

det R = ps + qrdet Rt = ps – rq 7ª propriedadeAo trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior. 8ª propriedade O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal. Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

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9ª propriedadeConsiderando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet. 10ª propriedadeAo multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.

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