MCU e seus Fenomenos - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

MCU e seus Fenomenos - Apostilas - Matematica, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do MCU e seus determinantes, definição do MCU, principais equações.
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Introdução

Este trabalho aborda a temática do Movimento circular uniforme (MCU), tendo como tópicos o MCU de maneira geral, dando suas características gerais e critérios para sua existência, as equações do movimento circular, período, frequência, aceleração centrípeta, velocidade linear e angular, junto a suas definições, a analogia do movimento circular uniforme com o movimento harmônico simples e por fim a apresentação de exercícios abordando a temática do MCU.

O conteúdo desse trabalho, de forma geral, mostra de maneira simplificada todas as definições e equações do movimento circular uniforme, sempre se preocupando em exemplificar esses fenômenos físicos em nosso dia a dia.

Definição do MCU

Uma partícula está em movimento circular uniforme num dado referencial quando se movimenta sobre uma circunferência com velocidade linear de módulo constante. O vetor velocidade linear é sempre tangente à trajetória e varia continuamente porque sua direção varia. Para dois instantes genéricos t1 e t2, os módulos das velocidades v(t1) e v(t2) são iguais, mas os vetores velocidade linear v (t1) e v(t2) são diferentes.

Pois apresentam direção e sentidos diferentes a cada ponto, como pode se observar na figura a baixo:

Principais equações

Descrição Equações

Equação linear da posição................................s = so + v.t

Equação angular da posição............................θ = θo + ω.t

Aceleração centrípeta.........................................ac = v² / R

Velocidade linear................................................v = 2πR / T

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Velocidade angular.............................................ω = 2π / T

Relação entre V e ω............................................ω = v / R

Frequência............................................................f = 1 / T , ' , f = n / Δt

Dedução da aceleração

Vetores posição e velocidade para uma partícula se movendo em um circulam com rapidez constante são mostrados na figura abaixo. O ângulo ΔØ entre v(t) e v(t + Δt) é igual ao ângulo entre r(t) e r(t + Δt), porque r e v giram ambos no mesmo ângulo ΔØ durante o tempo Δt. Um triangulo isósceles é formado pelos dois vetores velocidade e o vetor Δv, e um segundo triangulo isósceles é formado pelos dois vetores posição e o vetor Δr.

Por meio da semelhança de triângulos podemos observar que “|Δv|/|Δr| = v/r”

Multiplicando ambos os lados por Δr/Δt, assim temos: |Δv|/Δt= (v|Δv|)/(rΔt), no limite Δt  0,|Δr|/|Δt| se aproxima de v (a rapidez). Assim, no limite Δt  0, assim a equ “ac = v²/r”

A aceleração centrípeta é a componente do vetor aceleração com a orientação centrípeta.

Velocidade Linear (v)

O módulo da velocidade linear da partícula, no referencial em que ela descreve um MCU, é definido como a distância percorrida sobre a trajetória dividida pelo intervalo de tempo levado para percorrê-la. Assim, tomando como intervalo de tempo o período, podemos escrever, para o módulo da velocidade linear:

v= 2πR/T

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Velocidade angular

O vetor velocidade linear é sempre tangente à trajetória da partícula

Se, em vez de considerar a distância percorrida pela partícula sobre sua trajetória, consideramos o ângulo descrito pela linha que une a partícula ao centro da trajetória, podemos definir a velocidade angular.

O módulo dessa velocidade angular é dado pelo cociente do ângulo descrito (em radianos) pelo intervalo de tempo correspondente.

Como o movimento é uniforme a partícula descreve ângulos iguais em tempos iguais, então a velocidade angular “w” é constante. “w = 2π/T”

Onde: “2π” é o ângulo em radianos correspondente a uma volta completa (equivalente a 360º ) e “T” é o período do movimento que corresponde ao “Δt” Como ”f=1/T”, pode-se chegar em: w = 2π f

Quando é calculada a velocidade angular para uma volta, já está determinada para todas as voltas que o móvel possa fazer, pois o movimento é uniforme.

A unidade de velocidade angular no Sistema Internacional é: rad / s.

Para encontrarmos uma expressão para a aceleração de uma partícula em MCU, devemos relacionar a aceleração com a rapidez e o raio do circulo. Os

Período e Frequência

O tempo levado pela partícula para percorrer uma vez a sua trajetória é o período (T) do movimento. O número de voltas dadas pela partícula na unidade de tempo é a frequência (f) do movimento. Assim:

“f= 1/T= n/ Δt” Logo: ”T=1/f”

Onde “n” é o numero de voltas, “Δt” é a variação de tempo em segundos (s) e a unidade de media de ‘f” (frequência) é chamada hertz (Hz).

Também podemos associar a frequência (f) com a velocidade angular onde:

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w = 2π f, e, portanto “f = 2π/w”, o da mesma forma se associa o período(T),

“T = w/2π”

MHS como Projeção do MCU

O movimento harmônico simples (MHS) é um tipo de movimento periódico oscilatório em que a partícula se move, num dado referencial, sobre uma reta, de modo que a intensidade da força que tende a levá-la ao ponto fixo nesse mesmo referencial cresce na mesma proporção em que aumenta o seu afastamento deste ponto fixo.

Podemos associar o movimento harmônico simples como a projeção ortogonal do movimento circular uniforme (MCU) sobre qualquer diâmetro (ou qualquer reta paralela a qualquer diâmetro) da circunferência que constitui a trajetória da partícula no referencial considerado

Como exemplo simples, podemos imaginar uma partícula em MCU num plano vertical, com luz incidindo verticalmente, de cima para baixo. A sombra da partícula, numa superfície horizontal, descreve um MHS.

A grandeza x, que representa a posição da partícula no MHS, é a distância da partícula à origem do eixo X, variando de +A a –A.

À distância A, que vai da origem do eixo X até qualquer um dos pontos de retorno da partícula, é chamada de amplitude. A amplitude do MHS tem o mesmo valor que o raio da trajetória da partícula no MCU correspondente.

Conclusão

O movimento circular uniforme é entre tantos outro, de grande utilidade em nosso cotidiano, pois com ele podemos executar diversos tipos de atividades, e estuda-las de forma simples, a fim de compreendê-las.

O MCU esta intimamente ligada com nossas vidas, pois sem eles não conseguiríamos manter em órbita um satélite, não conseguiríamos medir as horas, teríamos dificuldades em compreender os MHS que são uma projeção do movimento circular uniforme.

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O estudo da física contribui muito com nosso dia a dia mesmo que não a notamos os fenômenos físicos sempre estão presentes.

Bibliografia:

Figura [1]: www.ufsm.br/gef/Dinamica/dinami13.pdf

Figura [2]: Física para Cientistas e Engenheiros Vol. 1 – Paul A. Tipler e Gene Mosca. Pg. 79

Figura [3]: www.ufsm.br/gef/MHS/mhs02.pdf

Conteúdo pesquisado em:

Física para Cientistas e Engenheiros Vol. 1 – Paul A. Tipler e Gene Mosca.

www.sofisica.com.br

www.ufsm.br/gef

EXERCICIOS

01) Os ponteiros do relógio realizam um movimento circular uniforme. Qual a velocidade angular dos ponteiros, (a) das horas, (b) dos minutos (c) e dos segundos?

(a) O ponteiro das horas completa uma volta (2π) em 12 horas (12∙3600s)

ω = 2π f

f = 12*3600 = 43200

ω = 2π*43200 =1,45*10-4 rad/s

(b) O ponteiro dos minutos completa um volta (2π) em uma hora (3600s)

ω = 2π f

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ω = 2π3600 =1,74∙10-3 rad/s

(c) O ponteiro dos segundos completa uma volta (2π) em um minuto (60s)

ω = 2π f

ω = 2π60 = 0,105 rad/s

02) Uma partícula executa um movimento uniforme sobre uma circunferência de raio 20 cm. Ela percorre metade da circunferência em 2,0 s. A frequência, em hertz, e o período do movimento, em segundos, valem, respectivamente:

a) 4,0 e 0,25

b) 2,0 e 0,50

c) 1,0 e 1,0

d) 0,50 e 2,0

e) 0,25 e 4,0

Resolução: sabendo que a partícula leva 2,0 s para percorrer metade da circunferência, logo, ela leva 4,0 s para completar uma volta, ou seja, o período dessa partícula é 4,0 s, e sua frequência ( f = 1/T ),é igual a 0,25 Hz. Letra “e”

03) Um satélite se move com velocidade constante em uma órbita circular em torno do centro da Terra e aproximo à sua superfície. Se a magnitude de sua aceleração é g = 9,81 m/s², encontre (a) sua velocidade e (b) o tempo para uma volta completa, adote o raio igual a 6370 km.

(a) ac = v²/r = g assim v = √(rg)  v = √(6370) * (9,81) = 7,91 km/s

(b) w = 2π/T e w = v/r, sendo w = w ,podemos relacionar a velocidade com o período e o raio da circunferência v =2πr/T, logo T = 2πr/v

T = 2π(6370)/7,91 = 5060 s

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04)Um disco efetua 30 voltas em um minuto. Determine a frequência em Hz.

Resposta: f =30 voltas/ 60segundos = 05 Hz

05) As rodas de uma bicicleta possuem raio igual a 0,50m e giram com velocidade angular constante de módulo igual a 5,0 rad/s.

Qual a distância percorrida, em metros, por esta bicicleta num intervalo de 10 segundos?

Resolução: v = w*r  v = 5 * 0,5 = 2,5 m so+ v * t onde so = 0, assim, s = v * t  s = 2,5 * 10 = 25m

06) Uma partícula descreve um movimento circular uniforme, cuja trajetória é uma circunferência de raio 20 cm, segundo a equação s = 100 + 20t com as unidades no S.I. Calcule:

s = so+ v * t

s = 100 + 20t

podemos associar os valores dados com a equação genérica do espaço assim,

so = 100 e v = 20

a) a velocidade angular

w = v/r  w = 20 / 0,2 = 100rad/ s

b) a frequência

f = w/2π  f = 100/2π = 50/π Hz

c) o período (resp: π/50 s)

T = 1/f = 2π/w  T = 2π/100 = π/50 s

07) Para misturar o concreto, um motor de 3,5 hp tem solidaria ao seu eixo uma engrenagem de 8 cm de diâmetro, que se acopla a uma grande cremalheira em forma de anel com 120 cm de diâmetro, fixa ao redor do tambor misturador.

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Quando o motor é ligado, seu eixo gira com frequência de 3 Hz. Nestas condições, o casco do misturador dá um giro completo em

V e = Vc --> w e * r e = wc * rc --> 2πf e * r e = 2πfc * rc --> f e * r e = fc * rc --> 3 * 4 = fc *60 --> fc = 1/5 Hz Assim, o período do casco é dado por: Tc= 1/ fc = 1/1/5 --> Tc = 5s

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