Mecanica Quantica - Apostilas - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal da Bahia (UFBA)
A_Santos
A_Santos8 de Março de 2013

Mecanica Quantica - Apostilas - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal da Bahia (UFBA)

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Apostilas e exercicios de Física sobre o estudo da Mecanica Quantica, revisão da mecânica quântica, formalização da mecânica quântica através de postulados.
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Revisão da Mecânica Quântica – 1

Revisão da Mecânica Quântica Desde o estabelecimento de suas bases no Séc. XVII por Newton, a Mecânica Clássica foi

sendo testada e aperfeiçoada durante dois séculos com grande sucesso, impulsionando fortemente os programas de pesquisa baseadas nela. Entretanto, no início do Séc. XX, descobriram-se as limitações desta teoria, o que levou a se desenvolver duas novas teorias, a Mecânica Relativística e a Mecânica Quântica. Esta última providencia suporte para descrever o comportamento dos sistemas atômicos e sub-atômicos e, apesar de suas previsões virem sendo confirmadas através dos experimentos, suscita ainda muito debate e dúvidas quanto à sua interpretação.

Provavelmente a grande dificuldade enfrentadas pelas duas mecânicas, a quântica e a relativística, é a incompatibilidade matemática entre si. Apesar de ambas as teorias terem sido bem testadas, partem de bases conceituais bem diversas, e as tentativas de unificá-las ainda estão longe de serem bem sucedidas.

Nesta revisão optou-se por apresentar a Mecânica Quântica formalizada a partir de operadores. Para facilitar a apreensão deste assunto, altamente abstrato, foram inseridos alguns comentários na tentativa de dar uma interpretação para cada um dos postulados.

Formalização da Mecânica Quântica através de postulados Postulado 1: o estado de um sistema é descrito por Ψ (letra grega psi maiúscula), que é função das

coordenadas espaciais e do tempo. Esta função, conhecida como função de estado ou função de onda, contém todas as informações que podem ser determinadas sobre o sistema.

Comentário: este é um postulado bastante geral e abstrato, que delimita quais informações são acessíveis à observação (experimento).

Postulado 2: para cada propriedade física acessível experimentalmente, pode-se associar um operador matemático correspondente.

Exemplos de operadores quânticos para sistemas de uma partícula de massa m:

Propriedade física O Operador Ô

Componentes do vetor posição nos eixos coordenados x=x ; y= y ; z= z

Componentes do vetor momento linear nos eixos coordenados

px=−iℏ ∂∂ x ; p y=−i ℏ ∂ ∂ y ;

p z=−i ℏ ∂∂ z

Energia cinética T= px

2 p y 2 pz

2

2 m =− ℏ

2

2 m [ ∂2∂ x2 ∂ 2

y2  ∂

2

z2 ] Energia potencial V (sua forma depende do sistema)

Energia total (hamiltoniano) H= T V=− ℏ 2

2 m [ ∂2∂ x2 ∂ 2

y2  ∂

2

z 2 ] V Comentário: o operador seria o correspondente matemático de um procedimento experimental de medida. A realização de uma medida ô sobre um estado Ψ é representada formalmente como ôΨ .

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Revisão da Mecânica Quântica – 2

Postulado 3: os únicos valores possíveis que podem resultar de uma medição de uma propriedade física observável O são as constantes o (auto-valores) que são soluções da equação:

Ôφ = oφ Ô é o operador correspondente à propriedade O que, ao ser aplicado a uma função φ (auto-função), resulta na mesma função multiplicada por uma constante o.

Comentário: a quantização não é um postulado em si, mas uma consequência do postulado 3, se a equação acima admitir somente soluções discretas (não contínuas).

Postulado 4: quando se mede uma propriedade O em um sistema, cujo estado é descrito pela função de onda Ψ, se esta função for igual a uma das soluções φi da equação Ôφi = = oiφi, o valor resultante será exatamente conhecido e igual ao auto-valor oi. Caso contrário, a função de onda pode ser representada como uma combinação linear das soluções da equação Ôφi = oiφi:

=∑ i

cii

e a probabilidade de se obter como resultado o valor oi na medição será proporcional a ci* ci. (ou ci2 se estas forem números reais).

Obs: um número complexo c expresso na forma a + bi (a e b são reais e i é a unidade imaginária, definida por i2 = –1), tem associado um complexo conjugado c*, cujo valor é abi. Um número real é o seu próprio conjugado, pois se b=0 então c=c*=a.

Comentário: apesar do princípio de incerteza de Heisenberg não aparecer como um dos postulados, ele está implícito aqui. Em um dado estado Ψ pode-se conhecer exatamente o valor da propriedade O que será medido, ou não; e se não pode, ainda há como se calcular a probabilidade de se encontrar cada valor o.

Postulado 5: se houver um número grande de sistemas idênticos descritos pela função de onda ψ, a média dos valores resultantes das medições da propriedade O é dada por:

O 〉= ∫−∞

∞ ∗ O d 

∫−∞ ∞ ∗ d

= 〈∗∣ O∣〉 〈∗∣〉

Comentário: esta fórmula é uma média aritmética ponderada, só que com índice contínuo.

Postulado 6: o desenvolvimento temporal de um sistema é descrito pela equação de Schrödinger:

H =ℏ i ∂ ∂ t

No caso de sistemas em que a energia é constante (muitos modelos de interesse químico situam-se neste caso), pode-se fatorar a equação anterior e obter uma equação sem a variável temporal, conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo:

H =E  A constante E é a energia do sistema e ψ (letra grega psi minúscula) é uma função das coordenadas. Comentário: as aplicações elementares da M. Q. envolve a elaboração da equação de Schrödinger do sistema e a sua resolução para obter E e Ψ (ou ψ).

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