Mecânica Quântica I - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Potiguar (UnP)
Gisele
Gisele12 de Março de 2013

Mecânica Quântica I - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Potiguar (UnP)

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Apostilas e exercicios de Física sobre o estudo da Mecânica Quântica.
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CF372 – Mecânica Quântica I Segunda Lista de Exerćıcios – Caṕıtulo II

1) Dadas as funções ψ1(q) e ψ2(q), definidas no intervalo −∞ < q < +:

ψ1(q) =

( 2√ π

)1/2 q exp(−q2)

ψ2(q) =

( 1

2

π

)1/2 (2q2 1) exp(−q2)

Calcule: a) (ψ1, ψ2); b)

√ (ψ1, ψ1); c)

√ (ψ2, ψ2)

2) Obtenha as componentes de ψ(x) na base vp(x), onde

ψ(x) = exp (−α|x|) dica: ψ(x) é uma função par. Para calcular a integral, escreva vp(x) em termos de seno e coseno e analise a paridade do integrando

3) Prove as seguintes relações: a) [A,B] + [B,A] = 0 b) [A,A] = 0 c) [A,B + C] = [A,B] + [A,C] d) [A + B,C] = [A,C] + [B, C] e) [A,BC] = [A, B]C + B[A, C] f) [AB, C] = [A,C]B + A[B, C] g) [A, [B,C]] + [C, [A,B]] + [B, [C,A]] = 0 h) [AB, CD] = −AC{D, B}+ A{C,B}D − C{D,A}B + {C,A}DB onde: [X,Y ] = XY − Y X é o comutador de X e Y e {X,Y } = XY + Y X é o anti-comutador de X e Y

4) |ϕn〉 são autoestados de um operador Hermitiano H (H é, por exemplo, o Hamiltoniano de um sistema f́ısico arbitrário). Assuma que os estados |ϕn〉 formam uma base discreta ortonormal. O operador U(m,n) é definido por:

U(m,n) = |ϕm〉 〈ϕn|

a) Calcule o adjunto de U(m,n), U †(m,n) b) Calcule o comutador [H,U(m,n)] c) Prove a relação:

U(m,n)U †(p, q) = δnqU(m, p)

d) Calcule Tr {U(m,n)}, o traço do operador U(m,n) (dica: olhe o complemento BII) e) Seja A um operador, com elementos de matriz Amn = 〈ϕm|A |ϕn〉. Prove a relação:

A = ∑ m,n

AmnU(m,n)

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f) Mostre que Apq = Tr { AU †(p, q)

}

5) Suponha que |un〉 e |um〉 são autokets de algum operador Hermitiano A. Sob quais condições podemos concluir que |un〉+ |um〉 também é um autoket de A? Justifique sua resposta

6) Sejam A e B duas observáveis. Suponha que os autokets simultâneos de A e B {| an, bp 〉} formam um conjunto completo ortonormal de kets de base. Podemos concluir que [A, B] = 0? Se sua resposta for sim, prove a afirmativa. Se sua resposta for não, dê um contra exemplo

7) Dois operadores Hermitianos anti-comutam: {A,B} = AB + BA = 0. É posśıvel haver um autoket simultâneo de A e B? Prove ou ilustre sua afirmação

8) Em um espaço vetorial bidimensional, considere o operador cuja matriz, em uma base ortonormal {| 1 〉, | 2 〉} é escrita como:

σy =

( 0 −i i 0

)

a) σy é Hermitiana? Calcule seus autovalores e autovetores (dando as expansões normalizadas em termos da base {| 1 〉, | 2 〉}) b) Calcule as matrizes que representam os projetores sobre estes autovetores. Verifique então que elas satisfazem as relações de ortogonalidade e fechamento

9) O operador Hamiltoniano para um sistema de dois estados é dado por:

H = a (|1〉 〈1| − |2〉 〈2|+ |1〉 〈2|+ |2〉 〈1|)

onde a é um número com dimensão de energia. Encontre os autovalores de energia e os autokets (como combinações lineares de |1e |2)

10) O espaço de estado de um certo sistema f́ısico é tridimensional. Seja {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉} uma base ortonormal deste espaço. Os kets 0e 1são definidos por:

0= 12 |u1+ i

2 |u2+ 1

2 |u3

1= 13 |u1+ i√

3 |u3

a) Estes kets estão normalizados? b) Calcule as matrizes ρ0 e ρ1 que representam, na base {|u1〉 , |u2〉 , |u3〉}, os operadores de projeção sobre o estado 0e sobre o estado 1. Verifique que estas matrizes são Hermitianas

11) Considere o Hamiltoniano H de uma part́ıcula em um problema unidimensional, definido por:

H = P 2

2m + V (X)

onde X e P são os operadores que satisfazem a relação [X, P ] = ih̄. Os autovetores de H são denotados por |ϕn〉: H |ϕn〉 = En |ϕn〉, onde n é um ı́ndice discreto. a) Mostre que:

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〈ϕn|P |ϕn′〉 = α 〈ϕn|X |ϕn′〉 onde α é um coeficiente que depende da diferença entre En e En′ . Calcule α (dica: considere o comutador [X, H]) b) Do ı́tem anterior deduza, usando a relação de fechamento, a equação

n′ (En − En′)2 |〈ϕn|X |ϕn′〉|2 =

2

m2 〈ϕn|P 2 |ϕn′〉

12) Seja H o operador Hamiltoniano de um sistema f́ısico. |ϕn〉 são autovetores de H com autovalores En: H |ϕn〉 = En |ϕn〉 a) Para um operador arbitrário A, prove a relação

〈ϕn| [A, H] |ϕn〉 = 0 b) Considere um problema unidimensional, onde o sistema f́ısico é uma part́ıcula de massa m e energia potencial V (X). Neste caso, H é escrito como

H = P 2

2m + V (X)

α) Em termos de P , X e V (X), ache os comutadores: [H,P ], [H, X] e [H, XP ] β) Mostre que o elemento de matriz 〈ϕn|P |ϕn〉 (valor médio do momento no estado |ϕn〉) é zero γ) Estabeleça uma relação entre Ek = 〈ϕn| P 22m |ϕn〉 (valor médio da energia cinética no estado |ϕn〉) e 〈ϕn|X dVdX |ϕn〉. Como o valor médio da energia potencial no estado |ϕn〉 〈ϕn|V (X) |ϕn〉, como ele está relacionado com o valor médio da energia cinética quando V (X) = V0X

λ(λ = 2, 4, 6, ...)?

13) Usando a relação 〈x|p〉 = (2πh̄)− 12 e ipxh̄ encontre as expressões 〈x|XP |ψ〉 e 〈x|PX|ψ〉 em termos de ψ(x) (〈x|ψ〉). Estes resultados podem ser encontrados diretamente usando o fato de que na representação {|x〉}, P atua como

i d dx

?

14) Estude os exerćıcios 11) e 12) que estão resolvidos no livro, complemento KI , nas páginas 206, 207, 208 e 209

15) Se A, B e C são operadores Hermitianos, transforme as seguintes expressões de maneira a eliminar as “adagas” a) (ABC), b) (An), c) (AB + BA), d) (AB −BA), e) (i[A,B]), f) (A + B)

16) Dada a matriz

A =

 

1 0 1 1 2 1 2 2 3

 

calcule a) A matriz cofator de A, b) O determinante de A, c) A matriz inversa de A, A1, d) A matriz U que diagonaliza A. U é unitária?

Sugestões para leitura:

1. Caṕıtulo 1, ı́tens 5 e 6, do livro “The Principles of Quantum Mechanics” de P.A.M. Dirac

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