Medidas e Erros - 1° Relatório de Física Experimental , Exercícios de Física Aplicada. Universidade Federal de Roraima (UFRR)
nelsonpoer
nelsonpoer13 de Maio de 2014

Medidas e Erros - 1° Relatório de Física Experimental , Exercícios de Física Aplicada. Universidade Federal de Roraima (UFRR)

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Relatório de Física Experimental I - Medidas e erros. Universidade Federal de Roraima Pró-Reitoria de Graduação Centro De Ciência e Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Curso de Bacharelado em Engenharia Civ...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL

EDNELSON OLIVEIRA SANTOS

NELSON POERSCHKE

PATRICK MATOS MANDULÃO

RAFAEL JOSÉ CAMELO DE SOUZA

WELLINGTON KENNEDY GOMES DA SILVA

TYAGO SÁ RODRIGUES

Física Experimental I

Medidas e Erros

Relatório

Boa Vista

2013

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 03 2. OBJETIVO .......................................................................................................... 04 3. RESUMO ............................................................................................................. 05

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................... 06 5. MATERIAL UTILIZADO .................................................................................. 08 6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS .......................................................... 08 7. RESULTADOS .................................................................................................... 10 8. APRESENTAÇÃO DOS CÁLCULOS ............................................................... 16

CONCLUSÃO ...................................................................................................... 22

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 23

3

1 INTRODUÇÃO

Ao estudar um dado fenômeno físico natural nos interessa entender como certas propriedades ou grandezas associadas aos corpos e seus aspectos participam desse fenômeno. Assim sendo, para a compreensão de certo acontecimento, na natureza está implícito que devemos avaliar quantitativamente uma ou mais grandezas físicas e, portanto, utilizar e realizar medidas físicas.

Nesta experiência, realizamos medidas dos lados de uma face de um paralelepípedo (representado por uma mesa de madeira) utilizando uma régua milimetrada; do diâmetro externo e do diâmetro interno de um cilindro de metal; e do diâmetro e da massa de uma esfera de metal utilizando o paquímetro e a balança, respectivamente.

A régua milimetrada: instrumento de madeira, marfim, celuloide ou metal, de superfície plana e arestas retilíneas, próprio para traçar linhas retas e medir pequenas distâncias. Onde, perto da sua borda há uma escala, nesse caso em milímetros, e apresentando incerteza de ±1 mm.

O paquímetro: (do grego: paqui (espessura) e metro (medida)) é um instrumento usado para medir as dimensões lineares internas, externas e de profundidade de uma peça. Consiste em uma régua graduada, com encosto fixo, sobre a qual desliza um cursor. Segundo a literatura, desenvolvido por um francês chamado Pierre Vierner (1580-1637), o qual inventou o método de subdividir em partes menores uma determinada divisão. Mais preciso que a régua com uma incerteza, nesse caso, de ±0,05 mm.

A balança analítica mecânica tem passado por uma grande revolução nas últimas décadas, e é usada para se obter massas com alta exatidão. A primeira balança analítica de um prato apareceu no mercado em 1946. A velocidade e conveniência de se pesar com ela era muito superior à tradicional de dois pratos. Consequentemente, esta nova balança passou a ser usada na maioria dos laboratórios. Neste experimento sua incerteza é de ±0,01g.

Além das medidas de incertezas, o cálculo da densidade (relação entre a massa de uma substância e o volume que ela ocupa) é de total importância para a análise do experimento.

Nossa experiência foi realizada, em 20 de dezembro de 2012, no Laboratório de Física da UFRR.

4

2 OBJETIVO

Os objetivos deste experimento são:

- aprender a usar á régua milimetrada, o paquímetro e a balança analítica mecânica;

- calcular a área, o volume e a densidade dos objetos utilizados na experiência (esfera, paralelepípedo e cilindro com furo;

- levantar as possíveis fontes de erro numa medida;

- discutir a precisão dos diferentes instrumentos de medida; e

- calcular a propagação de erros nas medidas indiretas.

5

3. RESUMO

Com o intuito de se medir corretamente as grandezas físicas usando instrumentos de medidas e algumas fórmulas matemáticas, este experimento utiliza das medidas primárias, ou diretas, para se encontrar as grandezas físicas indiretas, ou derivadas.

Das medidas diretas foram determinados os desvios a partir das incertezas geradas pelo equipamento utilizado. E para as derivadas, as incertezas foram calculadas através da equação da propagação de incertezas.

As medidas diretas foram realizadas com o uso da régua, paquímetro e balança analítica mecânica. As grandezas derivadas, como a área, o volume e a densidade, foram conceituadas através das suas definições matemáticas.

Foi possível concluir que, apesar de pequena, a incerteza gera certo constrangimento quanto aos resultados finais.

Notações utilizadas:

→ diâmetro

→ raio

→ volume

→ volume da esfera

→ volume do cilindro

→ densidade

→ massa

±→ desvio/incertezas absolutos;

→ considerado 3,14;

→ área da superfície;

̅ → média aritmética simples

→número de elementos da amostra

→valores da variável x

→variância

→desvio padrão

6

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Como tudo o que nos rodeia é provido de alguma medida física; é desde a Antiguidade que se busca métodos para defini-las. Porém, hoje a questão não é só defini-las, mas sim obter um valor próximo do valor teórico ou real.

Por mais simples que pareça, o ato de medir as grandezas físicas não é algo tão simples. Ele está condicionado a muitos fatores, como a precisão dos instrumentos e a habilidade do manipulador, paralaxe, entre outros.

Para a determinação dos valores médios (média aritmética) utilizamos a seguinte equação:

̅ = ∑

Para determinação da variância das medidas, foi utilizada a seguinte equação:

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

Para determinação do erro padrão amostral, foi utilizada a seguinte equação:

= √

Para o cálculo do desvio padrão médio, utilizamos:

≅ √

Para o cálculo da incerteza padrão, utilizamos:

= +

Com as medidas dos lados de uma face do paralelepípedo (um retângulo) foi possível chegar ao valor de sua área, por meio da relação:

= ℎ

A propagação de incerteza no cálculo da área do retângulo se dá conforme a equação:

∆ = ∆ + ∆ℎ

Com os diâmetros medidos, na esfera e no cilindro foi possível chegar ao valor dos raios, conforme a relação:

= 2 → =

Para o cálculo do volume da esfera:

7

=

A propagação de incerteza no cálculo do volume da esfera se dá conforme a equação:

=

Já para conceituarmos a densidade da esfera, obedece-se a equação:

=

e a propagação da incerteza

= =

= + +

Para o cálculo do volume do cilindro com um furo no centro calculamos o volume considerando, primeiramente, o raio do cilindro externo e deste total subtraímos o “volume” do cilindro interno.

= ( = ℎ)− ( = ℎ)

A propagação de incerteza no cálculo do volume do cilindro se dá conforme a equação:

= +

8

5. MATERIAL UTILIZADO

Para este procedimento, foram utilizados os seguintes materiais:

- régua milimetrada;

- paquímetro;

- balança analítica mecânica;

- paralelepípedo (uma mesa);

- esfera; e

- cilindro perfurado longitudinalmente.

6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS

a. Generalidades

- Para o paralelepípedo (mesa) foram realizadas cinco medidas em cada lado da face superior, cuja área será calculada.

- Para o cilindro mediu-se cinco vezes seu diâmetro externo, seu diâmetro interno e sua altura.

- Para a esfera mediu-se cinco vezes seu diâmetro e sua massa.

A partir dos dados coletados, calculou-se o valor médio, o desvio padrão, o desvio padrão da média (a incerteza tipo A, A). Em todas as medições, a incerteza tipo B, B, foi considerada como sendo a precisão do aparelho de medida e será explicitada na tabela fornecida a seguir. Então, determinou-se a incerteza combinada, C, para cada grandeza.

Com isto, pode-se determinar um bom valor para as medidas de cada grandeza e, através do conceito de propagação de incertezas, pode-se também calcular as incertezas relacionadas à área da face do paralelogramo e aos volumes da casca cilíndrica bem como o da esfera. Em seguida, calculou-se a incerteza relativa de cada medida de volume. Isso é muito útil por permitir ter uma boa noção da real qualidade das medições efetuadas.

b. Procedimentos detalhados

No laboratório.

1º passo - medir a largura e o comprimento do tampo da mesa.

Aferir a régua com uma medida conhecida e anotar no Caderno de Laboratório a eventual discrepância.

9

Com a régua milimetrada de acrílico de 50 cm medir cinco vezes a largura e cinco vezes o comprimento do tampo da mesa anotando cada medida no Caderno de Laboratório.

2º passo - medir os diâmetros externo e interno e a altura do cilindro.

Aferir o paquímetro, fechando-o totalmente e verificando se suas escalas estão zeradas e, eventualmente, anotar as discrepâncias no Caderno de Laboratório.

Utilizando o paquímetro medir cinco vezes o diâmetro externo, cinco vezes o diâmetro interno e cinco vezes a altura do cilindro anotando as medidas no Caderno de Laboratório.

3º passo - medir o diâmetro da esfera.

Utilizando o paquímetro medir cinco vezes o diâmetro da esfera anotando as medidas no Caderno de Laboratório.

4º passo – medir a massa da esfera.

Aferir a balança analítica mecânica verificando se suas escalas estão zeradas e realizar a regulagem necessária para zerá-las.

Medir cinco vezes a massa da esfera anotando no Caderno de Laboratório os valores obtidos.

10

7. RESULTADOS

INCERTEZA RESIDUAL – PRECISÃO DOS INSTRUMENTOS

Régua milimetrada

± 1

Paquímetro

± 0,05

Balança analítica mecânica

± 0,01

TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA A MESA

Instrumento: régua milimetrada Medida Largura (mm) Comprimento (mm)

1ª 788 ± 1 1801 ± 1 2ª 787 ± 1 1799 ± 1 3ª 788 ± 1 1800 ± 1 4ª 787 ± 1 1800 ± 1 5ª 788 ± 1 1799 ± 1

TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA A ESFERA DE AÇO

Instrumentos: paquímetro e balança analítica mecânica Medida Diâmetro (mm) Massa (g)

1ª 17,95 ± 0,05 23,85 ±0,01 2ª 18,00 ± 0,05 23,83 ± 0,01 3ª 17,95 ± 0,05 23,85 ± 0,01 4ª 17,95 ± 0,05 23,84 ± 0,01 5ª 18,00 ± 0,05 23,85 ± 0,01

11

TABELA DE MEDIDAS EXPERIMENTAIS REALIZADAS PARA O CILINDRO COM FURO

Instrumentos: paquímetro e balança analítica mecânica

Medida Diâmetro externo (mm) Diâmetro

interno (mm) Altura (mm) Massa (g)

1ª 33,95 ± 0,05 3,25 6,65 49,91 ±0,01 2ª 34,00 ± 0,05 3,20 6,65 49,89 ± 0,01 3ª 33,95 ± 0,05 3,30 6,70 49,91 ± 0,01 4ª 33,95 ± 0,05 3,20 6,60 49,90 ± 0,01 5ª 33,90 ± 0,05 3,15 6,60 49,91 ± 0,01

DETERMINAÇÃO DOS VALORES MÉDIOS (através da média aritmética) DAS MEDIDAS REALIZADAS

Objeto Largura (mm) Comprimento (mm) Mesa 787,6 mm ± 1 1799,8

Objeto Diâmetro (mm) Massa (g) Esfera 17,97 ± 0,05 23,844 ± 0,01

Objeto Diâmetro externo (mm) Diâmetro

interno (mm) Altura (mm Massa (g)

Cilindro 33,95 ± 0,05 3,22 ± 0,05 6,64 ± 0,05 49,904 ± 0,01

DETERMINAÇÃO DA VARIÂNCIA DAS MEDIDAS REALIZADAS Objeto Largura Comprimento Mesa 0,3 0,7

Objeto Diâmetro Massa Esfera 0,00075 0,00008

Objeto Diâmetro externo Diâmetro interno Altura Massa

Cilindro 0,00125 0,00325 0,00175 0,00008

12

DETERMINAÇÃO DO DESVIO PADRÃO DAS VARIÂNCIAS ENCONTRADAS EM CADA DIMENSÃO

Objeto Largura Comprimento Mesa 0,547722557 0,836660026

Objeto Diâmetro Massa Esfera 0,027386127 0,008944271914

Objeto Diâmetro externo Diâmetro interno Altura Massa

Cilindro 0,035355339 0,057008771 0,041833001 0,008944271914

DETERMINAÇÃO DO DESVIO PADRÃO MÉDIO DAS MEDIDAS ( ) Objeto Largura Comprimento

Mesa 0,244948974 0,374165738

Objeto Diâmetro Massa Esfera 0,012247448 0,004000069

Objeto Diâmetro externo Diâmetro interno Altura Massa

Cilindro 0,015005532 0,025495097 0,018708286 0,004000069

DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA PADRÃO Objeto Largura Comprimento

Mesa 1,029563 1,0677078

Objeto Diâmetro Massa Esfera 0,05147814 0,010345142

13

Objeto Diâmetro externo Diâmetro interno Altura Massa

Cilindro 0,052203122 0,05612486 0,05338539 0,010770585

DETERMINAÇÃO DOS RAIOS A PARTIR DO DIÂMETRO MÉDIO Objeto Raio (mm) Esfera 8,985

Objeto Raio do cilindro (mm) Raio do furo (mm)

Cilindro 16,975 1,61

MESA

DETERMINAÇÃO DA ÁREA DA MESA

= ℎ → = 1799,8 ∙ 787,6 = 1417522,48

DETERMINAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DO ERRO DA ÁREA DA MESA

= + ⇒ ,

= , ,

+ , ,

, = 0,0000003519 + 0,0000017088

= (0,0000003519 + 0,0000017088). (1417522,48 ) = 2034,87

0,144% de erro

ESFERA

DETERMINAÇÃO DO VOLUME DA ESFERA

= = . 8,985 = 3038,39 mm

= 3038,39 mm

DETERMINAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DO ERRO DO VOLUME DA ESFERA

= ⇒ ,

= , ,

14

, = 8,206 10

= 8,206 × 10 . (3038,39 mm ) = 8,70399

0,286%

DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DA ESFERA

= = , ,

= .1000 = 7,84758

= 7,84758

DETERMINAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DO ERRO DA DENSIDADE DA ESFERA

= + ⇒ ,

= , ,

+ , ,

= (0,000008206 + 0,00000018824). (7,84758 ) = 0,00227

0,29%

CILINDRO

DETERMINAÇÃO DO VOLUME DO CILINDRO

= ( = ℎ)− ( = ℎ)

= ( 16,975 . 6,64) − ( 1,61 . 6,64) = 5956,80

= 5956,80

DETERMINAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DO ERRO DO VOLUME DO CILINDRO

= + +

5956,80 = 0,06101561

16,975 + 0,05338539

6,64 + 0,02806243

1,61

= (0,00001292 + 0,00006464 + 0,00204128). (5956,80 ) = 274,197

4,6031%

15

DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DO CILINDRO

= = , ,

= .1000 = 8,3776

= 8,3776

DETERMINAÇÃO DA PROPAGAÇÃO DO ERRO DA DENSIDADE DO CILINDRO

= + ⇒ ,

= , ,

+ , ,

= (0,0021188 + 0,00021583). (8,3776 ) = 0,4047

4,832%

16

8. APRESENTAÇÃO DOS CÁLCULOS.

DETERMINAÇÃO DA VARIÂNCIA DAS MEDIDAS REALIZADAS

Medida Largura (mm) Comprimento (mm)

1ª 788 ± 1 1801 ± 1 2ª 787 ± 1 1799 ± 1 3ª 788 ± 1 1800 ± 1 4ª 787 ± 1 1800 ± 1 5ª 788 ± 1 1799 ± 1

Determinação da variância na medida da largura da mesa

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

Determinação da variância na medida do comprimento da mesa

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

6 5

= 6

20

= ∙ 3101570− ( )

= ∙ 3101570−

= ∙ ⇒ = ∙

= 0,3

787 2 1574 1238738

788 3 2364 1862832

∑ 5 3938 3101570

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

14 5

= 14 20

= ∙ 16196403− ( )

= ∙ 16196403−

= ∙ ⇒ = ∙

= 0,7

1799 2 3598 6472802

1800 2 3600 6480000

1801 1 1801 3243601

∑ 5 8999 16196403

17

Determinação da variância na medida do diâmetro da esfera

Medida Diâmetro (mm) Massa (g) 1ª 17,95 ± 0,05 23,85 ±0,01 2ª 18,00 ± 0,05 23,83 ± 0,01 3ª 17,95 ± 0,05 23,85 ± 0,01 4ª 17,95 ± 0,05 23,84 ± 0,01 5ª 18,00 ± 0,05 23,85 ± 0,01

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

Determinação da variância na medida da massa da esfera

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

0,015 5

= 0,015

20

= ∙ 1614,6075− ( , )

= ∙ 1614,6075− ,

= ∙ , , ⇒ = ∙ ,

= 0,00075

17,95 3 53,85 966,6075

18 2 36 648

∑ 5 89,85 1614,6075

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

0,0016 5

= 0,0016

20

= ∙ 2842,682− ( , )

= ∙ 2842,682− ,

= ∙ , , ⇒ = ∙ ,

= 0,00008

23,83 1 23,83 567,8689

23,84 1 23,84 568,3456

23,85 3 71,55 1706,4675

∑ 5 119,22 2842,682

18

Determinação da variância na medida do diâmetro externo do cilindro

Medida Diâmetro externo (mm) Diâmetro

interno (mm) Altura (mm) Massa (g)

1ª 33,95 ± 0,05 3,25 6,65 49,91 ±0,01 2ª 34,00 ± 0,05 3,20 6,65 49,89 ± 0,01 3ª 33,95 ± 0,05 3,30 6,70 49,91 ± 0,01 4ª 33,95 ± 0,05 3,20 6,60 49,90 ± 0,01 5ª 33,90 ± 0,05 3,15 6,60 49,91 ± 0,01

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

Determinação da variância na medida do diâmetro interno do cilindro

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

0,015 5

= 0,025

20

= ∙ 5763,0175− ( , )

= ∙ 5763,0175− ,

= ∙ , , ⇒ = ∙ ,

= 0,00125

33,90 1 33,90 1149,21

33,95 3 101,85 3457,8075

34,00 1 34,00 1156

∑ 5 169,75 5763,0175

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

0,015 5

= 0,025

20

= ∙ 51,855− ( , )

= ∙ 51,855− ,

= ∙ , , ⇒ = ∙ ,

= 0,00325

3,15 1 3,15 9,9225

3,20 2 6,40 20,48

3,25 1 3,25 10,5625

3,30 1 3,30 10,89

∑ 5 16,1 51,855

19

Determinação da variância na medida da altura do cilindro

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

Determinação da variância na medida da massa do cilindro

= ∙ Σ ∙ − ( ∙ )

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

0,015 5

= 0,035

20

= ∙ 220,445− ( , )

= ∙ 220,445− ,

= ∙ , , ⇒ = ∙ ,

= 0,00175

6,60 2 13,2 87,12

6,65 2 13,3 88,445

6,70 1 6,7 44,89

∑ 5 33,2 220,445

xi Fi xiFi ∙

= 1 4 ∙

0,015 5

= 0,0016

20

= ∙ 12452,0464− ( , )

= ∙ 12452,0464− ,

= ∙ , , ⇒ = ∙ ,

= 0,00008

49,89 1 49,89 2489,0121

49,90 1 49,90 2490,01

49,91 3 149,73 7473,0243

∑ 5 249,52 12452,0464

20

DETERMINAÇÃO DO DESVIO PADRÃO DAS VARIÂNCIAS ENCONTRADAS EM CADA DIMENSÃO

Objeto Largura Comprimento

Mesa = 0,3 = 0,7

Objeto Diâmetro Massa

Esfera = 0,00075 = 0,00008

Objeto Diâmetro externo Diâmetro interno

Altura Massa

Cilindro = 0,00125 = 0,00325 = 0,00175 = 0,00008

DETERMINAÇÃO DO DESVIO PADRÃO MÉDIO DAS MEDIDAS Objeto Largura Comprimento

Mesa ≅ 0,547722557

√5 ≅

0,836660026 √5

Objeto Diâmetro Massa Esfera ≅

0,027386127 √5

≅ 0,008944271914

√5

Objeto Diâmetro externo Diâmetro interno Massa

Cilindro ≅ 0,035355339

√5 ≅

0,057008771 √5

≅ 0,008944271914

√5

Altura

≅ 0,041833001

√5

21

DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA PADRÃO Objeto Largura Comprimento

Mesa = 0,244948974 + 1

= 1,06 = 1,029563

= 0,374165738 + 1 = √1,13999999 = 1,0677078

Objeto Diâmetro Massa Esfera

= 0,012247448 + 0,05

= √0,002649999 = 0,05147814

= 0,0026499 + 0,01

= 0,00010702197 0,010345142

Objeto Cilindro

Diâmetro externo

= 0,015005532 + 0,05

= 0,002725165991 = 0,052203122

Diâmetro interno

= 0,025495097 + 0,05

= √0,00314999997 = 0,05612486

Massa = 0,004000069 + 0,01

= 0,000116000552 = 0,010770585

Altura = 0,018708286 + 0,05

= 0,002849999965 = 0,05338539

22

CONCLUSÃO

Apesar de se parecer simples, o ato de medir envolve diversas condições. Pode ser observado que a qualidade do instrumento utilizado influi muito no resultado da experiência.

Para medir adequadamente algum objeto é necessário atentar com o grau de precisão do instrumento utilizado. Observar se o meio ambiente não vai interferir na obtenção do resultado. Além de assumir o erro na hora de manusear os equipamentos, o que vem afetar o resultado do experimento.

O método científico empregado nesse experimento é bem claro e relativamente simples, mas não pode ser ignorado, pois traz maior precisão na coleta dos valores.

Na medição do furo do cilindro houve alguma dificuldade pois o instrumento utilizado (paquímetro) não era o mais adequado para a realização daquela medida, fato comprovado nos resultados e na disparidade que ocorreu no volume e, consequentemente, na densidade do cilindro.

A régua milimetrada mostrou-se eficaz para realizar a medida a ela atribuída, mas quando se tratar de medição que exija um maior grau de precisão, ela não deve ser usada. A medição foi prejudicada, ainda, porque a régua não era menor que o tamanho do objeto, o que demandou medidas continuadas com marcação de início e fim e contagem de quantas réguas foram medidas. Para qualquer trabalho que exija alta precisão o instrumento não pode ter dimensão menor que o objeto a ser medido.

Os resultados foram satisfatórios e condizem com a realidade. Os erros são explicados pela falta de experiência no manuseio dos instrumentos, caso que deverá ser minimizado com o decorrer das novas experiências a serem realizadas.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABNT: NBR 14724: - Apresentação de trabalhos acadêmicos - 2005.

MACEDO, Zélia S.; MAIA, Ana F.; VALERIO, Mário E. G.; Apostila de Laboratório de

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MARTINS, Gilberto de Andrade e DONAIRE, Denis – Princípios de Estatística – Editora

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MORAES, Leandro – Relatório – UFAM – 2012

RASCHNY, J. R. “Aspectos Elementares; Uso em um laboratório de Física Básica”; 2008.

SÁ, Renato Laureano – Apostila de erros e medidas para experimental I. UFRR – 2012.

SÁ, Renato Laureano – Guia de experimento: medidas e erros. UFRR – 2012.

SÁ, Renato Laureano – Modelo de relatório de atividades experimentais. UFRR – 2012.

SUAIDE, Alexandre – Introdução às Medidas em Física – Apostila – Departamento de Física

da USP - 2005

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