Método Simplex - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Método Simplex - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo do método Simplex, Introdução histórica, conceitos básico, desigualdades lineares, conjunto viável, função objetivo.
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FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

CURSO DE ENGENHARIA AERONÁUTICA

Método Simplex

SUMÁRIO

1 Introdução...................................................................................................................... 2

2 Objetivos........................................................................................................................ 3

3 Desenvolvimento........................................................................................................... 4

3.1 Introdução Histórica ...................................................................................... 4

3.2 Conceitos Básicos .......................................................................................... 4

3.2.1 Desigualdades lineares .................................................................... 4

3.2.2 Conjunto Viável .............................................................................. 4

3.2.3 Função Objetivo .............................................................................. 5

3.2.4 Ponto Viável .................................................................................... 5

3.2.5 Variáveis de Folga .......................................................................... 5

3.3 O Método Simplex ......................................................................................... 5

3.3.1 Definição ......................................................................................... 5

3.3.1.1 O Método Simplex passo-a-passo .................................. 11

3.3.1.2 Tableau ........................................................................... 11

4 Conclusão .................................................................................................................. 16

5 Referências Bibliográficas .......................................................................................... 17

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1 INTRODUÇÃO

Em diversos setores, como Engenharia, Economia e Finanças, é comum encontrarmos problemas em que se deve minimizar ou maximizar uma função linear, a qual pode representar os custos ou lucros de determinada área, respectivamente, e estar sujeita a um conjunto de restrições, representadas por equações e inequações lineares. Tais problemas podem ser denominados problemas de Programação Linear (PL).

Na análise destes problemas, o objetivo, ou seja, maximização de lucros ou minimização de custos, é representado por uma função linear denominada “Função Objetivo”. Cada atividade vinculada ao mesmo consome recursos, e estes então se relacionam na forma de equações e/ou inequações lineares. O conjunto destas é denominado “Restrições do Modelo”.

Há, normalmente, diversas formas de distribuir as variáveis atuantes no problema, porém os problemas de PL buscam a melhor delas, a solução ótima. Assim, uma vez definidas a função objetivo e as restrições lineares, a PL visa encontrar tal solução ótima.

A PL tem três formas de abordagem: a intuitiva, por meio da geometria, a computacional, através do método simplex, e a algébrica, por meio da dualidade.

2 OBJETIVOS

Um problema de PL quando analisado pela abordagem intuitiva é solucionado através da na análise gráfica de sua função objetivo e restrições lineares. Portanto, quando o problema apresentar muitas variáveis e restrições esta abordagem se tornará impossível.

Deste modo, é preferível a utilização do Método Simplex, uma forma sistemática de resolver programas lineares.

Este trabalho tem como objetivo a exposição e explanação do Método Simplex, com a apresentação de seus passos assim como de exemplos de sua aplicação.

3 DESENVOLVIMENTO

3.1 Introdução Histórica

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Em 1947 G. B. Dantzig desenvolveu o Método Simplex para resolver problemas envolvendo o planejamento da Força Aérea Norte-Americana, e assim marcou o início da Programação Linear.

Com o passar do tempo a Programação Linear teve aplicações práticas em diversas aéreas de trabalho, desde planejamento e programação de estoques e produção até alocação de recursos em redes de transporte, entre outras. A crescente quantidade de variáveis envolvidas nessas aplicações tornou essencial a utilização de computadores para a resolução desses problemas matemáticos.

A Programação Linear proporcionou o Nobel de Economia para L. V. Kantorovich e T. C. Koopmans em 1975.

3.2 CONCEITOS BÁSICOS

3.2.1 Desigualdades lineares

Uma desigualdade divide o espaço n-dimensional em um semiespaço em que a desigualdade é satisfeita e em outro em que ela não é. Por exemplo, a desigualdade x+y ≥3 tem a reta x+y=3 como limite entre os dois semiespaços, em que a desigualdade é apertada.

Para a PL o par de desigualdades x≥0 e y≥0 constitui uma restrição fundamental.

3.2.2 Conjunto Viável

A interseção dos semiespaços que representam as restrições, representada pela região hachurada da figura 1, é o conjunto viável, composto de soluções para uma família de desigualdades lineares. Consequentemente, quanto maior o número de restrições impostas, menor será o conjunto viável correspondente. Além disso, o mesmo também pode ser vazio, se por exemplo, uma restrição contraditória fosse adicionada ao conjunto representado na figura 1, como x+y ≤ -2.

Figura 1 – Representação das Desigualdades Lineares

3.2.3 Função Objetivo

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É a função que representa o objetivo do problema analisado, e a função a qual busca-se maximizar ou minimizar.

3.2.4 Ponto Viável

Interseção da função objetivo com o conjunto viável.

3.2.5 Variáveis de Folga

Dada uma desigualdade, como x+y ≥3, um modo simples de alterá-la é introduzir a diferença como uma variável de folga w=x+y-3. Desta forma, a restrição x+y ≥3 é convertida para w≥0, que equivale às outras restrições de desigualdade x≥0 e y≥0. Então, tem-se apenas restrições de não negatividade simples em x, y e w.

3.3 O MÉTODO SIMPLEX

Este nome vem do fato do conjunto de restrições lineares representarem geometricamente uma figura chamada simplexo, que é equivalente aos poliedros no espaço e aos polígonos no plano.

3.3.1 Definição

Seja um problema de PL com n incógnitas x ≥ 0 e m restrições Ax ≥ b. A melhor aproximação é colocá-lo na forma de matriz. Então, tem-se A, b, c:

→ uma matriz A, do tipo m por n;

→ um vetor coluna b com m componentes;

→ um vetor linha c (vetor objetivo) com n componentes.

Para ser “viável”, o vetor x deve satisfazer x ≥ 0 e Ax ≥ b. O vetor ideal x* é o vetor viável de objetivo máximo ou mínimo, de acordo com a aplicação do problema, e o valor máximo ou mínimo é cx = c1x1 + ... + cnxn.

A condição x ≥ 0 restringe x para o quadrante positivo no espaço n-dimensional. Um vetor aleatório tem uma chance em 2n de ser não negativo. Ax ≥ b produz m semiespaços, e os vetores viáveis atendem a todas as condições m+n. Este conjunto viável tem lados planos e pode ser ilimitado ou vazio.

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A função objetivo cx leva ao problema uma família de planos paralelos. O x* ocorre no ponto onde os planos tocam pela primeira vez o conjunto viável.

Na primeira parte do Método Simplex localiza-se um vértice do conjunto viável, ou seja, um ponto viável. E a essência deste método é passar de vértice a vértice ao longo das arestas do conjunto viável.

Cada vértice do conjunto viável surge da transformação de n das desigualdades, do tipo n+m em, Ax ≥ b e x ≥ 0 em equações, e da descoberta da interseção desses n planos. Um ponto de interseção entre as n equações x1=0, ..., xn=0 só será um vértice genuíno se também satisfazer as m restrições de desigualdades restantes, caso contrário, nem mesmo estará no conjunto viável.

A partir do primeiro vértice (solução viável) o Método Simplex verifica se a presente solução é ótima. Caso seja, o processo se encerra. Do contrário, significa que um dos vértices adjacentes fornece um valor maior, quando se busca a maximização, ou menor, quando se busca a minimização, que o valor encontrado no atual vértice.

Neste caso, é feita uma mudança do primeiro vértice para outro adjacente que maximize ou minimize a função objetivo, de acordo com a aplicação do problema analisado. Este processo se finaliza quando se obtém um vértice com o valor maximizado ou minimizado, isto é, a solução ótima.

Mas, como escolher o próximo vértice?

Em relação ao primeiro vértice, suponha que um dos n planos de interseção seja removido. Os pontos que satisfazem as n-1 equações remanescentes formam uma aresta que sai do vértice. Esta é interseção dos n-1 planos. Para permanecer no conjunto viável, apenas uma direção ao longo de cada aresta pode ser tomada. Para escolher tal direção usa-se as variáveis de folga.

Sejam as m restrições Ax ≥ b, para reescrevê-las de forma paralela às restrições simples de não negatividade xi ≥ 0, introduzimos as variáveis de folga w = Ax + b. Assim, tais restrições são traduzidas em wi ≥ 0, ..., wm ≥ 0, e adiciona-se uma variável de folga para cada linha de A. A equação w = Ax + b, ou Ax –w = b, entra no forma de matriz:

A-I xw = b

O conjunto viável é governado por essas m equações e pelas desigualdades simples, do tipo n+m, x ≥ 0 e w ≥ 0. Agora tem-se restrições de igualdade e de não negatividade.

O Método Simplex não observa nenhuma diferença entre x e w, então simplifica-se:

A-I é renomeado A xw é renomeado x c0 é renomeado c

Um vértice é agora um ponto onde n componentes do novo vetor x (antigo x e w) são zero. Essas n componentes de x são as variáveis livres em Ax = b. As m componentes restantes

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são as variáveis básicas. Ao definir as n variáveis livres como zero, as m equações Ax = b determinam as m variáveis básicas. A “solução básica” x será um vértice genuíno se as suas m componentes forem positivas. Então, x pertencerá ao conjunto viável.

● Os vértices do conjunto viável são as soluções viáveis básicas de Ax = b. Uma

solução é básica quando n de suas n+m componentes são nulas e é viável quan-

do satisfaz x ≥ 0.

Exemplo 1 Uma variável de entrada e uma de saída conduzem e um novo vértice.

Minimize 7x3 – x4 – 3x5 Sujeito a x1 + x3 + 6x4 + 2x5 = 8 (I)

+ x2 + x3 + 3x5 = 9

Começando a partir do vértice em que x1 = 8 e x2 = 9 são variáveis básicas. No mesmo x3 = x4 = x5 = 0. Este é viável, porém um custo nulo não pode ser o mínimo. Como x5 possui o coeficiente de custo mais negativo: -3, escolhe-se esta variável para tornar positiva. Consequentemente a variável de entrada será x5.

Ou seja, x5 entrará na base, e consequentemente, x1 ou x2 deverá sair. Para descobrir qual destas variáveis será a de saída mantem-se as outras variáveis livres iguais a 0, isto é, x3 = x4 = 0. Assim, x1 + 2x5 = 8 e x2 + 3x5 = 9.

Deste modo, x1 será nulo quando x5 atingir 4 e x2 será nulo quando x5 atingir 3. Como x2 pode receber um aumento de x5 menor do que x1, sem tronar-se negativo, a variável de saída será x2.

Voltando à I, teremos:

x3 = x4 = 0

x2 = 9 – 3x5 ≥ 0 => x5 ≤ 3

Fazendo x5 = 3 e substituindo em I:

x1 = 8 – 2.3 = 2

x2 = 9 – 3.3 = 0

x3 = x4 = 0

x5 = 3

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Portanto o novo vértice será (2, 0, 0, 0, 3), e o custo será:

7.0 – 0 – 3.3 = -9

Ainda há uma solução que minimize mais o custo?

Para descobrir devemos reescrever as equações de I em função da variável de entrada, x5, que agora é uma variável básica, ao passo que a variável x2 é uma variável livre.

x5 = 13 (9 – x2 – x3)

x1 = 8 – x3 – 6x4 -2[ 13 (9 – x2 – x3)] = 8 – x3 – 6x4 – 6 + 23 x2 + 23 x3 =

2 - 13 x3 – 6x4 + 23 x2

7x3 – x4 - (9 – x2 – x3) = 8x3 – x4 + x2 – 9

Então, teremos o sistema associado a essa solução:

Minimize 8x3 – x4 + x2 – 9 Sujeito a x5 = 13 (9 – x2 – x3) (II)

x1 = 2 - 13 x3 – 6x4 + 23 x2

Como o único coeficiente negativo da função objetivo é o da variável x4 está será a variável de entrada. Mantendo x3 = x2 = 0 tem-se x5 = 3 e x1 = 2 – 6x4. Logo, conclui-se que a variável x1 será a variável de saída, já que x5 não poderá ser reduzido à zero. Isto implica em:

x4 = 1/3

x3 = x2 = 0

x5 = 3

x1 = 2 – 6.1/3 = 0

Portanto o novo vértice será (0, 0, 0, 1/3, 3), e o custo será:

8.0 – 1/3 + 0 – 9 = -28/3

Este custo é o mínimo?

Se reescrevermos as equações de II em função da variável de entrada, x4, que agora é uma variável básica, ao passo que a variável x1 é uma variável livre, teremos o sistema associado a essa solução:

x4 = 16 (2 - 13 x3 + 23 x2 – x1) = 13 - 118 x3 + 19 x2 - 16 x1

x5 = 13 (9 – x2 – x3)

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8x3 – ( 13 - 118 x3 + 19 x2 - 16 x1) + x2 – 9 = 14318 x3 + 89 x2 + 16 x1 - 283

Como todos os coeficientes das variáveis livres, x3, x2 e x1, são positivos, não há como minimizar mais o custo sem tornar tais variáveis negativas, o que vai contra as restrições de não negatividade do problema. Assim, este é o custo mínimo.

Exemplo 2 Encontrando o lucro máximo.

Um fabricante de móveis obtém um lucro de R$5,00 com a venda de cada cama, R$4,00 com cada guarda-roupa e R$3,00 com cada mesa de cabeceira. Uma cama gasta 2 tábuas de madeira, demora 4 horas para ser pintada e 3 para ser acabada. Um guarda-roupa gasta 3 tábuas de madeira, passa 1 hora sendo pintado e 4 no acabamento. E uma mesa de cabeceira gasta 1 tábua de madeira, leva 2 horas sendo pintada e 2 horas no acabamento. Com 5 tábuas de madeira, 11 horas de trabalho para pintura e 8 horas para acabamento, que quantidade de camas, guarda-roupas e mesas de cabeceiras devem ser fabricadas para obter o lucro máximo?

A resolução deste problema é análoga a do exemplo anterior, com a diferença de que neste busca-se a maximização.

Primeiramente vamos definir a função objetivo e as restrições do modelo.

A função objetivo representará o lucro total do fabricante. Portanto, sejam x1, x2 e x3 a quantidade de camas, guarda-roupas e mesas de cabeceira, respectivamente, deveremos maximizar:

5x1 + 4x2 + 3x3

As restrições por sua vez serão referentes a quantidade de madeira e horas de trabalho para pintura e acabamento dos móveis. Assim:

2x1 + 3x2 + x3 ≤ 5

4x1 + x2 + 2x3 ≤ 11

3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 8

x1, x2, x3 ≥ 0

Ao acrescentar as variáveis de folga, x4, x5 e x6, tem-se:

Maximize 5x1 + 4x2 + 3x3 sujeito a x4 = 5 - 2x1 - 3x2 - x3

x5 = 11- 4x1 - x2 - 2x3 (I)

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x6 = 8 - 3x1 - 4x2 - 2x3

Para obter uma solução inicial podemos fazer x1 = x2 = x3 = 0, e:

x4 = 5; x5 = 11; x6 = 8

Entretanto um lucro nulo não será a solução ótima. Então, qual variável livre terá um aumento mais rentável?

Ao olhar os coeficientes das variáveis livres percebe-se que o aumento de x1 será o mais rentável, e será a variável de entrada. Então manteremos x2 = x3 = 0. Com isso as variáveis básicas assumirão:

x4 = 5 - 2x1; x5 = 11- 4x1; x6 = 8 - 3x1

Mas x4, x5, x6 ≥ 0, então:

x1 ≤ 5/2; x1 ≤ 11/4; x1 ≤ 8/3

respectivamente.

Assim devemos ter x1 ≤ 5/2, e consequentemente pode-se concluir que a variável de saída será x4. Se fizermos x1 = 5/2 e substituirmos em I:

x4 = 5 – 2.5/2 = 0

x5 = 11- 4.5/2 = 1

x6 = 8 – 3.5/2 = 1/2

E o novo lucro será:

5.5/2 + 4.0 + 3.0 = 25/2

Ao reescrever as equações de I em função da variável de entrada, x1, que agora é uma variável básica, ao passo que a variável x4 é uma variável livre teremos o sistema associado a essa solução:

x1 = 5/2 - 3/2x2 - x3/2 – x4/2

x5 = 11- 4(5/2 - 3/2x2 - x3/2 – x4/2) - x2 - 2x3 = 1 + 5 x2 + 2 x4

x6 = 8 – 3(5/2 - 3/2x2 - x3/2 – x4/2) - 4x2 - 2x3 = 1/2 + x2/2 - x3/2 + 3/2 x4

5(5/2 - 3/2x2 - x3/2 – x4/2) + 4x2 + 3x3 = 25/2 – 7/2 x2 + x3/2 – 5/2 x4

Portanto:

Maximize 25/2 – 7/2 x2 + x3/2 – 5/2 x4 sujeito a x1 = 5/2 - 3/2x2 - x3/2 – x4/2

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x5 = 1 + 5 x2 + 2 x4 (II)

x6 = 1/2 + x2/2 - x3/2 + 3/2 x4

Como os coeficientes de x2 e x4 são negativos seus aumentos não serão vantajosos. Logo, se x2 = x4 = 0, implica em:

x1 = 5/2 - x3/2; x5 = 1; x6 = 1/2 - x3/2

Desta forma, x1, x6 ≥ 0, implicam, respectivamente em x3 ≤ 5 e x3 ≤ 1. Fazendo x3 = 1:

x1 = 5/2 - 1/2 = 2; x5 = 1; x6 = 1/2 -1/2 = 0

E o novo lucro:

25/2 + 1/2 = 13

Ao reescrever as equações de II em função da variável de entrada, x3, que agora é uma variável básica, ao passo que a variável x6 é uma variável livre teremos o sistema associado a essa solução:

x3 = 1 + x2 + 3 x4 - 2x6

x1 = 5/2 - 3/2x2 – (1 + x2 + 3 x4 - 2x6 )/2 – x4/2 = 2 – 2x2 – 2x4 + x6

x5 = 1 + 5 x2 + 2 x4

25/2 – 7/2 x2 + (1 + x2 + 3 x4 - 2x6 )/2 – 5/2 x4 = 13 – 3x2 – x4 – x6

Como todos os coeficientes das variáveis livres, x2, x4 e x6, são negativos, não há como maximizar mais o custo sem tornar tais variáveis negativas, o que vai contra as restrições de não negatividade do problema. Assim, este é o lucro máximo, conseguido com x2 = x4 = x6 = 0 e x1 = 2, x3 = 1 e x5 = 1, o que significa a produção duas camas e uma mesa de cabeceira, ainda com uma hora de pintura restante.

3.3.1.1 O Método Simplex passo-a-passo

1. Introduza as variáveis de folga;

2. Encontre uma solução inicial e monte o sistema associado a ela;

3. Encontre uma variável livre para ser aumentada, se o objetivo for a maximização, ou diminuída, se o mesmo for a minimização – variável de entrada. Se isto não for possível, a solução atual é ótima;

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4. Verifique o quanto esta variável pode ser aumentada ou diminuída, e consequentemente qual das variáveis básicas será a variável de saída;

5. Escreva as variáveis básicas em função das variáveis livres e volte ao passo 2.

3.3.1.2 Tableau

O Método Simplex a cada passo envolve decisões seguidas por operações de linhas – as variáveis de entrada e de saída devem ser escolhidas e deve-se fazer com que elas venham e vão. Assim, o problema organizado matricialmente, implica no encaixe de A, b e c em uma matriz grande, ou tableau, m+1 por m+n+1:

T = Abc0

Inicialmente, sejam x1, ..., xm as variáveis básicas, as primeiras m colunas de T formam uma matriz quadrada B (a matriz base para esse vértice). As últimas n colunas fornecem uma matriz N, do tipo m por n. O vetor objetivo c se divide em [cB cN], e a incógnita x se divide em (xB, xN).

No vértice:

As variáveis livres são xN = 0, e Ax = b se transforma em BxB = b.

T = BNbcBcN0 xN = 0 xB =B-1b objetivo =cBB-1b

Ao multiplicar a linha superior por B-1 as variáveis básicas permanecerão sozinhas e:

T’ = IB-1NB-1bcBcN0

Ao multiplicar a linha superior por cB e subtraí-la da linha inferior obtém-se a matriz linha totalmente reduzida à forma escalonada R = rref(T):

R = IB-1NB-1b0cN- cBB-1N-cBB-1b

Aqui tem-se:

Restrições xB + B-1NxN = B-1b

Vértice xB = B-1b, xN = 0

Objetivo cx = (cN- cBB-1N)xN + cBB-1b

Objetivo neste vértice cBB-1b

Ao analisar r = cN- cBB-1N no meio da linha inferior, pode-se concluir que:

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→ Para a minimização do problema: se cada valor em r for negativo, o objetivo ainda pode ser reduzido, mas, se r ≥ 0, o melhor vértice foi encontrado;

→ Para a maximização do problema: se cada valor em r for positivo, o objetivo ainda pode ser aumentado, mas, se r ≤ 0, o melhor vértice foi encontrado.

Este é o chamado teste de parada ou condição de idealidade.

Quando se deseja minimizar o problema a solução é ótima quando r = cN- cBB-1N ≥ 0. O valor obtido pela função é cBB-1N. Componentes negativos de r correspondem às arestas em que o custo é reduzido. A variável de entrada xi corresponde ao componente mais negativo de r. Ao aumentar xi, o xk que atinge zero primeiro torna-se a variável se saída. Quando um componente de xB cai para zero o próximo vértice foi alcançado.

Seja xi a variável de entrada, e u a coluna i de N:

xi = α = menor razão (B-1b)j(B-1u)j = (B-1b)k(B-1u)k

Tal mínimo é tomado apenas sobre os componentes positivos de B-1u. A k-ésima coluna do antigo B sai da base e a nova coluna u entra.

Exemplo 3 Seja a função objetivo x + y e as restrições x + 2y ≥ 6 e 2x + y ≥ 0, com a adição das variáveis de folga, o tableau será, no ponto de interseção de x = 0 e Ax = b = (6,6):

Abc0 = 12-1210110 06-1600

Para colocar as variáveis básicas antes das variáveis livres, trocamos as colunas 1 e 3:

-121012011 06-1600

Multiplicando a primeira linha por -1 para formar um pivô unitário:

1-2-1012011 0-6-1600

Somando o dobro da segunda linha na primeira:

10301200-1 -26-161-6

Pode-se observar que r = [-1 1] na linha inferior. Como ela tem um valor negativo na coluna 3 a terceira variável irá entrar na base. A coluna acima deste valor é B-1u = (3, 2), e suas razões com a última coluna são 6/3 e 6/2. Como a primeira delas é menor, a primeira incógnita é a expelida da base.

O novo tableau troca as colunas 1 e 3, e por meio de operações elementares fornece:

301210-100 -26-161-6 → 101/301-2/3001/3 -2/321/321/3-4

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Aqui r = [ 1/3 1/3] é positivo. Logo, passou o teste de parada, portanto o vértice com x = y =2 e correspondente custo +4 são ideais.

A partir destas análises é possível perceber que o vetor r e sua razão α são decisivos. Seu cálculo é a essência do Método Simplex e pode ser organizado de 3 modos distintos:

1. Em um tableau, como já exposto.

2. Atualizando B-1 quando a coluna u proveniente de N substitui a coluna k de B.

3. Calculando B = LU e atualizando esses fatores LU ao invés de B-1.

Com o primeiro modo percebe-se que em problemas maiores, centenas de colunas seriam calculadas repetidamente, apenas esperando por sua vez para entrar na base. Portanto é mais rápido verificar quais cálculos são realmente necessários.

Cada passo simplex troca uma coluna de N para uma coluna de B. Essas colunas são decididas por r e α. Este passo começa com a matriz base atual B e a solução atual xB = B-1b.

Assim, teremos:

1. Cálculo do vetor linha λ = cB B-1 e os custos reduzidos r = cN – λN, por exemplo.

2. Se r ≥ 0, pare: a solução atual é a ótima. Caso contrário, se ri é o componente mais negativo, escolha u =coluna i de N para entrar na base.

3. Calcule as razões de B-1b para B-1u, admitindo somente os componentes positivos de B-1u. Quando a menor razão ocorre no componente k, a k-ésima coluna de B atual sairá.

4. Atualize B, B-1, ou LU, e a solução xB = B-1b. Retorne ao passo 1.

Este conjunto de passos também pode ser chamado de Método Simplex Reduzido, para distingui-lo das operações em um tableau.

Muitos códigos simplex usam a forma de produto da inversa, que conserva simples matrizes E-1 em vez de atualizar diretamente B-1.

E-1 = 1v1. .vk . .vn =1-v1/vk. .1/vk . .-vn/vk

Quando a coluna k da matriz identidade é substituída por u, a coluna k de B-1 é substituída por v = B-1u.

Quando necessário, estes códigos são aplicados a b e a cB. Em intervalos regulares, B-1 é recalculado e os E-1 são apagados.

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Uma abordagem mais recente usa os métodos comuns da álgebra linear numérica, com relação as equações provenientes dos passos enumerados a pouco:

λ = cB B-1, v = B-1u e xB = B-1b

De modo a chegar em 3 equações que dividem a mesma matriz B:

λB = cB, Bv = u, BxB = b

A fatoração usual B = LU leva às 3 soluções. L e U podem ser atualizados em vez de recalculados.

4 CONCLUSÃO

Simples situações do dia-a-dia podem se voltar a problemas de maximização, dos lucros, por exemplo, ou minimização, dos custos. Para resolvê-los mais facilmente podemos nos valer do Método Simplex, um conjunto de passos baseados em operações simples em equações lineares ou matrizes.

Problemas mais complexos com a interação de diversas variáveis também podem ser resolvidos com esse método. Para tanto, a utilização de recursos computacionais é vantajosa para poupar tempo e esforço, de forma a otimizar a resolução dos mesmos. Em geral, estes recursos são o MATLAB, Mathematica, Maple, Derive ou Mathcad.

Em suma, criado em 1947 por Dantzig, o Método Simplex se provou uma das ideias mais célebres da matemática computacional. Com base na abordagem geométrica dos problemas, esteve fazendo seu trabalho durante todo esse tempo, e pode ser considerado propício para problemas que não envolvam os raros conjuntos viáveis ruins, escondidos na geometria de poliedros multidimensionais, como o cubo assimétrico inventado por Klee e Minty, os quais podem forçá-lo a tentar todos os vértices, com um custo de tempo exponencial.

5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

STRANG, Gilbert, Álgebra Linear e suas aplicações, tradução da 4ª edição norte-americana, All Tasks, São Paulo, 2009

SHINE, Carlos Yuzo, 21 Aulas de Matemática Olímpica, 1ª edição, 2010

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