Métodos de Fisica Téorica II - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Métodos de Fisica Téorica II - Exercícios - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal de Sergipe, sobre o estudo dos Métodos de Fisica Téorica II.
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Universidade Federal de Sergipe – Departamento de F́ısica

Métodos de Fisica Teórica II - peŕıodo 2012/2 - turmas 104549 M1, T1

Lista de Exerćıcios 2 - parte 1

1. Considerar o processo de oscilação de uma corda infinita. A velocidade da propagação de

perturbações na corda é a. Determinar o perfil da corda u (x, t) se: a) deformação inicial é dada pela

função

ϕ (x) =

0, x < −l/2

A cos (

π l x )

, −l/2 ≤ x ≤ l/2

0, l/2 < x

e a velocidade inicial é nula; b) velocidade inicial é dada pela função

ψ (x) =

0, x < −δ/2

v0 cos (

π δ x )

, −δ/2 ≤ x ≤ δ/2

0, δ/2 < x

e a deformação inicial é nula. Indicar regiões no plano (x, t) onde deslocamento da corda não é nulo.

2. Considerar o processo de oscilação de uma corda na forma de anel de comprimento l com

deformação inicial ϕ (x) e velocidade inicial ψ (x). A velocidade da propagação de perturbações na

corda é a. Receber a solução na forma geral.

3. No instante t = 0 uma corda infinita é sujeita a deformação inicial mostrada na Fig. 1. A

velocidade da propagação de perturbações na corda é a. No qual instante t > 0 e na qual posição x

o deslocamento da corda é máxima? Qual é amplitude deste deslocamento?

4. A corda do comprimento l com as extremidades fixas recebe a deformação inicial mostrada na

Fig. 2, velocidade inicial da corda é nula. A tensão da corda é T , a densidade linear da corda é ρ.

Encontrar a função u (x, t) que determina o processo da oscilação da corda.

5. A corda de comprimento l com as extremidades fixas sofre uma colisão de um martelinho com

superf́ıcie plano e duro tal que a corda recebe uma velocidade inicial da forma: a) retnagular (ver

Fig. 3); b) parábola quadrada (ver Fig. 4). Determinar oscilações da corda u (x, t) supondo que sua

deformação inicial é nula. A tensão da corda é T , a densidade linear da corda é ρ.

Fórmula de D’Alambert

Solução do problema

∂2u

∂t2 = a2

∂2u

∂x2 , −∞ < x <∞

u (x, 0) = ϕ (x) , ∂u (x, 0)

∂t = ψ (x)

1

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Figure 1: Deformação inicial da corda

Figure 2: Deformação inicial da corda

é dada pela fórmula de D’Alambert

u (x, t) = 1

2 [ϕ (x− at) + ϕ (x+ at)] +

1

2a

∫ x+at

x−at

ψ (ξ) dξ

Exemplo 1. Propagação de perturbações na corda no caso de ϕ (x) tem forma de triângulo e

ψ (x) = 0 é mostrada na Fig. 5. A solução tem forma

u (x, t) = 1

2 [ϕ (x− at) + ϕ (x+ at)]

Exemplo 2. No caso ψ (x) tem forma de retângulo

ψ (x) =

0, x < x1

ψ0, x1 ≤ x ≤ x2

0, x2 < x

e ϕ (x) = 0 a solução tem forma

u (x, t) = 1

2a

∫ x+at

x−at

ψ (ξ) dξ = Ψ(x+ at)−Ψ(x− at)

onde

Ψ (x) =

0, x < x1

ψ0 2a

(x− x1) , x1 ≤ x ≤ x2

ψ0 2a

(x2 − x1) , x2 < x

é mostrada na Fig. 6. Propagação de perturbações na corda é mostrada na Fig. 7.

2

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Figure 3: Velocidade inicial da corda

Figure 4: Velocidade inicial da corda

Método de Fourier

Solução do problema

∂2u

∂t2 = a2

∂2u

∂x2 , 0 < x < l

u (x, 0) = ϕ (x) , ∂u (x, 0)

∂t = ψ (x)

u (0, t) = 0, u (l, t) = 0

é dada na forma de série de Fourier

u (x, t) = ∞ ∑

n=1

[

An cos (aπn

l t )

+Bn sin (aπn

l t )]

sin (πn

l x )

onde

An = 2

l

∫ l

0

ϕ (x) sin (πn

l x )

dx, Bn = 2

aπn

∫ l

0

ψ (x) sin (πn

l x )

dx

3

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Figure 5: Propagação de perturbações na corda infinita. Caso de velocidade inicial nula.

Figure 6: Função Ψ (x)

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Figure 7: Propagação de perturbações na corda infinita. Caso de deformação inicial nula.

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