Modelagem Matemática de Sistema de Engenharia Química - Apostilas - Matemática_Parte1, Notas de estudo de Matemática. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
Paulo89
Paulo895 de Março de 2013

Modelagem Matemática de Sistema de Engenharia Química - Apostilas - Matemática_Parte1, Notas de estudo de Matemática. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)

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Apostilas de matematica sobre o estudo da modelagem matemática de sistema de engenharia química, definição do problema, modelagem matemática do problema, simulação computacional, interpretação dos resultados.
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MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA

MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA

Modelagem e simulação de processos tem demonstrado ser uma ferramenta poderosa no projeto e otimização de equipamentos. Um modelo é qualquer objeto concreto ou abstrato utilizado para explicar algum fenômeno. Normalmente, em ciências humanas, utilizam-se modelos abstratos, mas em engenharia química os modelos concretos são chamados de planta piloto. Por outro lado, o mais comum em Engenharia, é utilizar um certo conjunto de dados (parâmetros) e idéias abstratas para explicar um fenômeno de interesse relacionando-os as variáveis do problema, e este tipo de modelo chama-se modelo matemático. Para modelar um processo ou equipamentyo, o engenheiro precisa dos seguintes conhecimento:

- Estar familiarizado com os aspectos físicos do seu equipamento ou processo, dessa forma, ele poderaá avaliar quais variáveis são importantes, e quais ele poderá desprezar;

- Ser capaz de fazer um balanço de massa e/ou enegia no seu equipamento ou processo, afim de obter um sistema de equaçoes diferenciais que o represente;

-Resolver essas equações através de um método computacional. A estratégia geral para a simulação de processos complexos, segue os seguintes

passos:

Definição do problema ↔ Modelagem matemática do problema ↔ Simulação computacional ↔ Interpretação dos resultados

-A definição do problema consiste em delimitar o equipamento ou processo de interesse e as condições operacionais do mesmo;

- A modelagem matemática refere-se a escrever as equações de balanço apropriada para o seu equipamento ou processo. Experimentos laboratoriais são requeridos para determinação de parametros e mecanismos de reação. Nessa etapa, o engenheiro deverá verificar quais os efeitos são importantes para o seu processo e quais podem ser desprezados. A análise de ordem de grandeza poderá ajudá-lo nesse sentido;

- A simulação computacional consiste em resolver através de um método numérico, um conjunto de equações deferenciais e/ou algébricas.

- A interpretação dos resultados deverá verificar se o seu modelo está coerente com a realidade física de seu equipamento, e onde o mesmo precisa de ajuste.

CLASSIFICAÇÃO E HIPÓTESES BÁSICAS DOS MODELOS MATEMÁTICOS

Modelos matemáticos podem ser classificados genericamente como teóricos ou empíricos. Modelos teóricos são desenvolvidos a partir de pressupostos teóricos (balanço de massa, energia, conservação de quantidade de movimento, etc.) que tentam descrever de forma mais fundamentais os vários aspectos envolvidos no problema. Modelos empíricos são aqueles que não estão baseados em quaisquer pressupostos teóricos, mas apenas são utilizados para descrever um certo conjunto de pontos experimentais conhecidos.

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A principio os modelos empíricos são tão bons quantos os modelos teóricos, embora os modelos empíricos sejam mais limitados que os teóricos. Por exemplo, imagine a operação de uma certa solução consiste em adicionar uma massa conhecida de reagente, M, a um tanque de seção transversal A= πR2 e depois diluí-la com uma certa quantidade de solvente. A questão é determinar até que altura deve-se encher o tanque para se atingir uma concentração pré-especificada. Solvente h

Sólido

h K

hR M

V MC === 2π

F

F C Kh

R MK =∴= 2π

Experimentalmente essa operação poderia ser feita com o seguinte tabelamento:

Amostra Dados da amostra durante diluição H (m) C ( Kg/ m2)

1 2 1 2 4 0,5 3 6 0,33 4 8 0,25

Caso um novo tanque seja completo com diâmetro duas vezes maior os dados obtidos com o tanque de menor volume não podem ser usados para aferir o novo tanque.

As hipóteses fundamentais para os modelos teóricos são: 1- A massa se conserva (Princípio de Lavoisier); 2- A energia se conserva (1º lei da termodinâmica); 3- A quantidade de movimento se conserva (3° lei de Newton);

De uma forma prática, os Princípios de conservação podem ser expressos da seguinte forma:

[Grandeza acumulada = Grandeza adicionada – Grandeza removida] onde Grandeza é a massa, a energia ou a quantidade de movimento numa determinada região do espaço.

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Os modelos podem ser dinâmicos ou estacionários. Modelos dinâmicos consideram as variações temporais das variáveis envolvidas, enquanto os modelos estacionários são aqueles que admitem que as variáveis não se modificam com o tempo. Os modelos estacionários operam continuamente, enquanto os dinâmicos são mais complexos e utilizados em operação descontínua ou batelada.

Uma outra classificação útil é a que define modelos a Parâmetros concentrados ou distribuídos. Modelos a Parâmetro concentrado são aqueles nos quais admite-se que as propriedades são uniformes no espaço, ou seja, não variam com as coordenadas de posição. Por exemplo, o tanque bem misturado, onde se admite que em qualquer lugar do tanque as propriedades são as mesmas. Modelos a Parâmetros distribuídos, por sua vez, são aqueles nos quais as propriedades variam com as coordenadas espaciais. Por exemplo, o reator tubular, no qual as propriedades variam continuamente, ao longo do comprimento do reator.

UM MODELO A PARÂMETRO CONCENTRADO- (O TANQUE AGITADO EXOTÉRMICO COM REAÇÃO DE 1º ORDEM)

Será considerado balanço para o componente A, componente B e o solvente.

BALANÇO DE MASSA GLOBAL:

Grandeza acumulada = Grandeza adicionada – Grandeza removida

M | t+ ∆ t - M | t = qeρs∆t - qsρs∆t

Onde, M→ massa no interior do reator num instante qualquer.

qe → vazão volumétrica da alimentação

qs → vazão volumétrica da saída ρe → densidade da corrente de entrada

Saída do fluido refrigerante

Saída de produto

A B

R B = – R

A = KC

A QS,ρS

Entrada do fluido refrigerado

Alimentação

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ρS→ densidade da corrente de saída

Então,

SSee ttt qq

t MM

ρρ −= ∆

−∆+

No limite quando ∆t→ 0 tem-se:

SSee qqdt dM ρρ −= (*)

Admitindo-se o reator é bem misturado e, que o fluido é incompressível, dessa forma, ρe = ρs = ρ = cte e que M = ρ V

Dessa forma, a equação (*) fica:

SeSe qqdt dVqq

dt dV −=⇒−= ρρρ

Observe que a equação acima só é válida para fluidos incompressíveis e tanque agitador, ou seja, bem misturado.

BALANÇO DE MASSA DO COMPONENTE A:

tVRtCqtCqMM AASSAeetAttA ∆+∆−∆=−∆+

Dividindo-se por ∆t e tomando-se o limite em que ∆t→0, chega-se a:

VKCCqCq dt

dM AASSAee

A −−=

Supondo-se que o volume do reator é mantido constante, então:

qqq dt dV

Se ==⇒= 0 e que AA VCM =

Então, VKCqCqC dt

dC V ASASAe

A −−=

Essa relação expressa o balanço de massa do componente A, consumido num reator de 1º ordem, num tanque contínuo bem agitado.

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BALANÇO DE MASSA DO COMPONENTE B:

Procedendo da mesma forma para o componente B fica:

tVRtCqtCqMM BBSSBeetBttB ∆+∆−∆=−∆+

Então, VRCqCq dt

dM BBSSBee

B +−=

MB = VCB → e dessa forma: VKCqCdt dC

V AB B +−=

Essa equação expressa balanço de massa do componente B, produzido do componente A numa reação de 1º ordem, num tanque contínuo bem agitado.

BALANÇO DE MASSA DO SOLVENTE (S)

Diz-se que o último balanço é redundante, pois como a soma dos balanços individuais tem que dar o balanço global, este último balanço pode sair simplesmente como uma diferença dos demais. Como a concentração molar total deve ser a densidade da mistura, então:

CSPMS + CAPMA + CBPMB = ρ

Onde PM é o peso molecular do componente. Dessa forma,

MS

MBBMAA S

CC C

ρ ρρρ −−

=

BALANÇO DE ENERGIA:

Aplicando-se um balanço de energia no reator tem-se:

[Energia acumulada] = [Energia adicionada] – [Energia removida] ±[Energia produzida ou consumida pela reação]

0

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tVRtWtQtCqtCqEE TTSSSTeeetTttT ∆+∆+∆+∆−∆=−∆+ ρρ

Onde: ET → Energia térmica do reator num determinado instante; CTe→ Energia da corrente de entrada por unidade de massa; CTs→ Energia da corrente de saída por unidade de massa; Q → taxa de calor fornecido ao sistema pelo trocador de calor (J/s); W → Taxa de trabalho executado sobre a massa do fluido pelo agitador (J/s); R T→ Taxa de liberação de energia térmica pela reação química.

No limite quando ∆t→0 tem-se que:

VRWQCqCq dt

dE TTSSSTeee

T  +++−= ρρ

Por outro lado, como o fluido é incompressível, reator bem misturado e volume constante, tem-se que: ET =ρVCT → Fluido incompressível

qeρeCTe = qρCTe Reator bem misturado, Fluido incompressível e volume constante. qsρsCTs = qρCTs

Por outro lado, da termodinâmica, o conteúdo energético de um material é dado por:

CT = Cp (T – TR) onde TR é uma temperatura de referência.

Dessa forma,

(( ) ( ) ( ) VRWQTTCqTTCqTTVC dt d

T R

P R

eP R

P  +++−−−=− ρρρ

Então,

( ) VRWQTTCq dt dTVC TePP  +++−= ρρ

O calor cedido ou retirado pelo trocador de calor é dado por: Q = UA (Tc - T) Onde Tc é a temperatura da camisa. Caso Tc > T, calor é ganho pelo sistema. U é o coeficiente global de transferência de calor ( W/m2K).

O trabalho mecânico executado sobre o sistema é desprezado quando comparado com os demais termos do balanço. Porém, para alguns sistemas com alta viscosidade, o mesmo poderá ser computado. O calor proveniente da reação será:

RT = KCA (-∆HR)

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Dessa forma, quando ∆HR é negativo há liberação de calor ( reação exotérmica) e quando é positivo há absorção de calor ( reação endotérmica). Substituindo-se essas expressões na equação do balanço de energia, fica:

( ) ( ) ( )VHKCTTUATTCq dt dTVC RAeePP ∆−+−+−= ρρ

Onde K = Koexp( -∆E/RT) Ko→ fator pré-exponencial de Arrhenius ∆E→ Energia de ativação

A dimensionalização das equações:

Como procedimento geral de modelagem, é conveniente redefinir as variáveis de forma a torná-las adimensionais, evitando problemas com as dimensões dos diferentes parâmetros. Além disso, esse procedimento permite agrupar os parâmetros num conjunto menor de agrupamentos paramétricos. Por exemplo, podem-se definir as concentrações dos componentes em função das concentrações da corrente de alimentação na forma:

Ae

A A C

C X = ;

Ae

B B C

C X = ;

AS

S S C

C X =

Pode-se definir um tempo admensional na forma:

V tq=τ ; onde q

V é o tempo de residência do fluido no reator, θ.

Pode-se também, definir uma temperatura adimensional dada por:

γ = eT

T

Agora substitui-se essas expressões nas equações do modelo, então tem-se: Para a substância A:

AAAe A

AAAe A KCC

V qC

V q

dt dC

VKCqCqC dt

dC V −−=⇒−−=

Como: Ae

A A C

C X = ; γ =

eT T

; θ = q V

e θ τ t=

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Tem-se: A AAeA KC

CC dt

dC −−=

θθ (*) e ττ d

dt dt

dC dC dX

d dX A

A

AA ××=

Onde A

A

dC dX

= ; 1

AeC τd

dt = θ

Então, τd

dX A = AeC 1

× dt

dC A × θ → dt

dC A = θ

AeC × τd

dX A

Substituindo esses valores em (*) fica:

θ AeC ×

τd dX A =

θ AeC

θ AC –KCA com K = Koexp( -∆E/RT)

τd dX A =1– XA– K0XAθexp( -∆E/RγTe)

Procedendo-se da mesma forma para a substância B fica:

τd dX B = – XB– K0XAθexp( -∆E/RγTe)

Agora admensionaliza-se a concentração do solvente:

S

BBAA S M

MCMC C

ρ ρρρ −−

=

Com, Ae

A A C

C X = ;

Ae

B B C

C X = ;

Ae

S S C

C X =

BAeBAAeAAeSS MCXMCXCXM ρρρρ −−=

( ) AeS

BBAAAe S CM

MXMXC X

ρ ρρρ −−

=

Para admensionalizar a equação da energia procede-se da seguinte forma:

( ) ( ) ( )VHKCTTUATTCq dt dTVC RAcePP ∆−+−+−= ρρ

γ = eT

T ; θ = q

V e θ

τ t=

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( ) ( ) ( ) P

RA c

P e

p

p

VC VHKC

TT VC UATT

VC Cq

dt dT

ρρρ ρ ∆−

+−−−=

( ) ( ) ( ) P

RA c

P e C

HKC TT

VC UATT

V q

dt dT

ρρ ∆−

+−−−=

τ γ

τ γ

d dt

dt dT

dT d

d d ××= onde

eTdT d 1=γ e θ

τ =

d dt

θ τ γ x

dt dTx

Td d

e

1= e θτ

γ eT d d

dt dT ×=⇒

Então,

( ) −−=× TT V qT

d d

e e

θτ γ ( ) ( )

P

RA c

P C HKC

TT VC UA

ρρ ∆−

+−

( )R ep

A

ee

C

pe

H TC

KC T T

T T

VC UA

T T

d d ∆−+

 

 −−

 

 −=

ρ θ

ρ θ

τ γ 1

( ) ( ) ( ) ep

RA c

p TC HKC

qC UA

d d

ρ θ

γγ ρ

γ τ γ ∆−+−−−= 1

Com, K = Koexp( -∆E/RTe) e Ae

A A C

C X =

Com isto chega-se a :

( ) ( ) ( ) ep

RAeAo c

p TC HXCK

qC UA

d d

ρ θ

γγ ρ

γ τ γ ∆−+−−−= 1

Dessa forma, o sistema adimensionalizado torna-se:

−−= A A X

d dX

1 τ 

 

 

 ∆−

e

Ao

TR EXK

γθ θ

exp

−= B B X

d dX

τ   

 

 ∆−

e AO TR

EXK γ

exp

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( ) AeS

BBAAAe S CM

MXMXC X

ρ ρρρ −−

=

( ) ( )γγ ρ

γ τ γ −+−= c

pqC UA

d d 1 +

( ) θργ eP

RA

e O TC

HCX TR EK A

∆− 

 

 ∆−exp

Um modelo a Parâmetro Distribuído – O reator tubular tipo Plug-Flow:

O mesmo é apresentado esquematicamente na figura abaixo:

Nesse tipo de reator diz que se estabelece um escoamento empistonado ou plug- flow, ou seja, não há varição radiais de propriedades e o perfil radial de velocidade é uniforme. L y

z ∆z

As equações para esse reator torna-se:

VKCqCqC dt

dC V AAAe

A −−=

Alimentação Do reagente

Remoção De produto

Entrada do fluido refrigerante

Saída do fluido refrigerante

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