Modelagem Matemática de Sistema de Engenharia Química - Apostilas - Matemática_Parte2, Notas de estudo de Matemática. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
Paulo89
Paulo895 de Março de 2013

Modelagem Matemática de Sistema de Engenharia Química - Apostilas - Matemática_Parte2, Notas de estudo de Matemática. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)

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Apostilas de matematica sobre o estudo da modelagem matemática de sistema de engenharia química, balanço térmico, problema proposto.
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MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMA DE ENGENHARIA QUÍMICA

Onde q = vπR2 onde “v” é a velocidade do escoamento e V o volume, então:

ZRKCvCRvCR dt

dC zR AzzAZA

A ∆−−=∆ ∆+ 2222 ππππ

Dividindo-se tudo por zR ∆2π fica:

( ) A

ZZAZAA KC Z

CCv

dt dC

− ∆

− = ∆+

A AA KC

z C

v dt

dC

∆ ∆

−=

Procedendo-se da mesma forma paro o componente B fica:

A BB KC

z C

v dt

dC +

∆ ∆

−=

Para o componente S tem-se:

S

BBAA S M

MCMCC ρ

ρρρ −−=

Balanço térmico:

A equação do balanço térmico é dada por:

( ) ( ) ( )VHKCTTUATTCq dt dTVC RAcePP ∆−+−+−= ρρ

Utilizando-se o mesmo procedimento anterior, tem-se que:

( ) ( ) ( ) ZRHKCTTZRUTTCvR dt dTzCR RACZZZPP ∆∆−+−∆+−=∆ ∆+

222 2 ππρπρπ

Dividindo-se tudo por πR2∆Z e tornando-se o limite quando ∆Z→ 0 tem-se que:

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( ) ( )RAcPP HKCTTR U

dZ dTCv

dt dTC ∆−+−+−= 2ρρ

Para a adimensionalização do sistema, defini-se as sequintes variáveis:

Ae

A A C

C X = ;

Ae

B B C

C X = ;

Ae

S S C

C X = ; K = Koexp( -∆E/RTe)

γ = eT

T ;

L tv=τ ;

L Z

Fazendo-se esse processo para a equação do componente A, tem-se que:

A AA KC

Z C

v t

C +

∂ ∂

−= ∂

Como, ττ d dt

dt dC

dC dX

d dX A

A

AA ××= e ξξ d dZ

dZ dC

dC dX

d dX A

A

AA ××=

Então, τd

dX A = AeC 1

× dt

dC A × v L

⇒ τd

dX L

vC dt

dC AAeA ×=

e ξξ d dX

L C

dZ dCL

dZ dCx

Cd dX AAeAA

Ae

A ×=⇒×= 1

Então, AAeAAeAAe XKC X

L vCX

L vC

+ ∂

∂− =

∂ ∂

× ξτ



 

 ∆−+ ∂ ∂−

= ∂

e

AAA

TR E

v XK

L XX

γξτ exp0

Procedendo da mesma forma para as outras equações, chega-se a:



 

 ∆−+ ∂ ∂−

= ∂

e

ABB

TR E

v XK

L XX

γξτ exp0

( ) ( )  



 ∆−∆−+−+ ∂ ∂−=

∂ ∂

e A

eP

AeR C

P TR EX

TC CH

v LK

CRU UL

γρ γγ

ρε γ

τ γ exp2 0

Problema Proposto:

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Considere a transferência de calor em uma placa quadrada bidimensional, 0<x<L e 0<y<L, de condutividade térmica constante, k, com condições de contorno adiabáticas em duas faces (x=0 e y=0), de terceiro tipo em outra face (y=2, com coeficiente de convecção h) e de primeiro tipo na última face (x=2). Além disso, o meio gera uma taxa volumétrica de calor proporcional à diferença entre a sua temperatura e a do meio externo, T∞. Este problema de contorno é descrito pelas seguintes equações.

( ) 02 2

2

2

=−+ 

  

 ∂ ∂+

∂ ∂

TTgy T

X Tk 0 < x ; y < L

X=0, 0= ∂ ∂ X T

Y=0, 0=∂ ∂

y T

Y=L, ( )∞−=∂ ∂− TTh X Tk x=L, T=T1

Sendo q e T1 constante. Adimensionalize a s equações ( sugestão: consulte o Bird para ver as novas variáveis admensionais).

4. Modelagem da Cristalização: Problema de Stefan Aplicado ao Crescimento de Cristais

Problemas em que o domínio da condição de contorno da

equação diferencial parcial não é conhecido a priori, mas deve ser

determinado como parte da solução do problema, são denominados de

problema de fronteira móvel. Os problemas de fronteira móvel são

aqueles em que a posição da fronteira depende do tempo e do espaço.

Problema de fronteira móvel é, freqüentemente, chamado de

problema de Stefan, com referência ao trabalho de Stefan (1889) nessa

área. No esforço de se obter um modelo teórico para o crescimento do

cristal, esse processo de separação é associado ao problema de

Stefan. Aparentemente, o primeiro trabalho que pode ser associado ao

docsity.com

problema matemático da fronteira móvel foi proposto por Lamé e

Clapeyron em 1831. Nesse trabalho, eles determinaram a espessura

do sólido gerado pelo resfriamento do líquido. Em 1889, Stefan resolve

um problema mais geral para o crescimento de um sólido pelo

resfriamento do líquido.

Normalmente, o problema de Stefan é associado à cristalização

de sólidos fundidos, um caso no qual a difusão de calor ou a

transferência de energia é importante (Stefan,1889; Myers e

Hammond,1999). No presente trabalho, é proposta a resolução de um

problema de Stefan para o caso onde a transferência de massa é o

fator determinante do fenômeno, por isso, o mesmo é associado à

cristalização de solução.

Deriva-se um modelo unidimensional por dois motivos:

primeiramente, por gerar um problema matemático com solução

analítica, o que possibilita uma interpretação física instantânea para o

mesmo e segundo por que o crescimento do cristal em solução é da

ordem de alguns milímetros (Nyvlt, 1985), o que permite uma

abordagem unidimensional. Considere-se um cristal crescendo

conforme Figura 4.1 abaixo:

Figura 4.1 Esquema do Cristal Crescendo na Solução

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Considere o crescimento unidimensional do cristal com as seguintes

variáveis:

A → Área da face do cristal

B0 → Velocidade de nucleação

C → Concentração molar na solução

Cas → Concentração na superfície do cristal

Cass → Concentração de super-saturação da solução

C0 → Concentração do cristal

DAB → Difusividade da substância

JA → Fluxo difusivo em relação a um referencial móvel

Kgl → Coeficiente global de transferência de massa

K → Constante de Boltzman

LC → Raio crítico do núcleo

N → Número de moles do cristal

NA →Fluxo difusivo em relação a um referencial inercial

RA → Taxa de reação

VA → Velocidade

XA → Fração molar do soluto

δ → Espessura da camada limite

ρc → Densidade do cristal

σ → Tensão superficial

A equação da continuidade para uma mistura binária ou pseudobinária

(Bird et al.,1960) é:

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( ) AABA RX CDVC

t C

+  

  ∂ ∂

∇=∇+ ∂ ∂ .

  

∞== +==

X LX CC Ca s

a s sCC ε 4.1

Considerando-se que não há reação química (RA=0) e que a difusão

seja constante, a equação acima pode ser simplificada para:

( )   

  ∂ ∂∇=∇+

∂ ∂

X CDVC

t C

ABA.

  

∞== +==

X LX CC Ca s

a s sCC ε 4.2

Para a determinação da condição de Stefan, deve-se partir da

concentração do cristal dada por :

X.A.CN 0= 4.3

Derivando-se essa expressão com relação ao tempo, tem-se:

dt dX.A.C

dt dN

0= 4.4

Essa variação é igual à taxa difusiva que chega à parede do

cristal (-NA.A), de forma que se obtém a seguinte relação (Bird et

al.,1960):

( ) dX dC

x D.AA.N

A

AB A −

−= 1

4.5

Combinando-se as equações anteriores, tem-se que :

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( ) dX dC

x1 D.A

dt dX.A.C

A

AB 0 −

= 4.6

e, finalmente, chega-se à condição de Stefan:

( ) dX dC

xC D

dt dX

A

AB

− =

10

4.7

Desta forma, o problema com as condições de contorno é dado por :

X CV

X CD

t C

AAB ∂ ∂−

 

  ∂ ∂∇=

∂ ∂

  

∞== ε+==

X CC LX CC

a s s

Ca s

( ) ε=

∂ ∂

− =

xA0

AB

X C

x1C D

dt dX

esse problema é definido para todo

0t > .

4.8

Este problema de Stefan, para cristalização de solução, que

considera a transferência de massa como força motriz do fenômeno, é

inédito na literatura. Para o caso unidimensional, o mesmo apresenta

solução analítica e, desta forma, será buscada a solução para o

problema. Vale ainda salientar que, do ponto de vista industrial, o

problema unidimensional é uma boa aproximação, haja vista que o

crescimento do cristal é da ordem de milímetros (Nyvlt, 1985).

4.1 Solução do Problema de Stefan

Definindo-se concentração e comprimento adimensional,

respectivamente, tem-se:

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CC

CC U

asass

as

− −

=

  

== ==

1 UCC 0 UCC

a s s

a s 4.9

L

LX

C

C ε−−=ξ

  

∞=ξ∞= =ξε+=

X 0 LX C

4.10

e, rescrevendo-se as equações nas variáveis adimensionais, tem-se que:

CL 1

dX d =ξ 4.11

asass CC 1

dC dU

− = 4.12

dt dX*

dX d

dt d ξ=ξ 4.13

Substituindo-se a eq.(4.11) na eq.(4.13) tem-se :

CL*dt d

dt dX ξ= 4.14

Procedendo da mesma forma para a concentração obtém-se as seguintes

relações:

t U*

U C

t C

∂ ∂

∂ ∂=

∂ ∂ 4.15

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( ) t U*CC

t C

asass ∂ ∂−=

∂ ∂ 4.16

ξ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂=

ξ∂ ∂ X*

X C*

C UU 4.17

Substituindo a eq.(4.11) e a eq.(4.12) na eq.(4.17), tem-se:



 

 − ξ∂

∂= ∂ ∂

C

asass

L CCU

X C 4.18

  

   

 − ξ∂

∂= ∂ ∂

2 C

asass 2

2

2

2

L CCU

X C 4.19

Substituindo-se as eqs.(4.14),(4.16),(4.18) e (4.19) na eq.(4.8),

tem-se o problema adimensionalizado:

e fazendo-se: C

AB

L Da 2

2 = ; ( )

( )AC asassAB

xLC CCD

− −=

120 γ e

C

X

L V

4.21

( ) ( ) ( )22 2

2 C

asass Xasass

C

AB asass L

CCUVCCU L D

t UCC

∂ ∂−−

∂ ∂



 

 =

∂ ∂−

ξξ

( ) ( ) ξ

ξ ∂ ∂

− −= U

xLC CCD

dt d

AC

asassAB

120

  

=∞=ξ ==ξ

1 U 0 U0

4.20

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-Apresentar seminário sobre solução numérica de sistemas lineares e não lineares de equações algébricas.

Métodos Diretos: Eliminação Gaussiana Eliminação de Gauss-Jordan: inversão matricial- decomposição LU- etc.

Métodos iterativos: -Iteração de jacobi -itereção de Gauss-Seidel -Sobrerelaxação sucessiva -Relaxação por linhas(LSOR) -Método implícito de direção alternada.

Bibliografia:

• Numerical Methods and Modeling for chemical engineers Mark E. Davis, John Wiley & Son

• Numerical Analysis (Fourth edition) Richard L. Burden , J. Douglas Faires

ξ µ

ξ ∂ ∂−

∂ ∂=

∂ ∂ UUa

t U

2

2 2

  

=∞= ==

1U 0U 0

ξ ξ

ξ γξ

∂ ∂= U

dt d

4.22

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