Momento Angular - Apostilas - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Botafogo
Botafogo8 de Março de 2013

Momento Angular - Apostilas - Física, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física Geral sobre o estudo do Momento Angular na Mecânica Quântica, as auto-funções do momento angular, níveis de energia do átomo de hidrogénio.
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MOMENTO ANGULAR EM MECÂNICA QUÂNTICAConsideremos uma partcula em 3 dimens~oes, sendo q1; q2; q3 os operadores deposic~ao e p1; p2; p3 os operadores de momento:[pk; q`] = hi k` ; k; ` = 1; 2; 3 : (1)O vetor de momento angular, classicamente de nido por ~L = ~q  ~p tem comocomponentesL3 = q1 p2 � q2 p1 ; L2 = q3 p1 � q1 p3 ; L1 = q2 p3 � q3 p2 : (2)(Note que n~ao ha nenhuma ambiguidade com relac~ao a ordem dos diversos fatores poisso aparecem termos da forma qk p` com k 6= `).Os operadores L1; L2 e L3 satisfazem as relac~oes de comutac~ao:h~L1; L2i = ihL3 ; h~L2; L3i = ihL1 ; h~L3; L1i = ihL2 (3)como consequência de (1).E interessante novamente comparar com os colchetes de Poisson na Mecânica Classica:n~L1; L2o = L3 ; n~L2; L3o = L1 ; n~L3; L1o = L2 (4)que s~ao consequências de fqk; p`g = 1 .As relac~oes de comutac~ao entre os Li's i = 1; 2; 3 tem consequências notaveis paraas propriedades do momento angular em Mecânica Quântica, que passamos a analisar.Notemos inicialmente que os operadores L1; L2 e L3 s~ao hermiteanos (por que?)e portanto s~ao observaveis.Introduzimos agora o operador~L2 = L21 + L22 + L23 ; (5)1 docsity.com

o modulo ao quadrado do vetor (operador) ~L !O operador ~L2 tambem e hermiteano (por que?) e comuta com todos os Lj ,j = 1; 2; 3: h~L2; L1i = h~L2; L2i = h~L2; L3i = 0 ; (6)o que ja se sugeria pelo colchete de Poisson n~L2 ; Ljo = 0 ; j = 1; 2; 3 .Observac~ao ImportanteAs relac~oes de comutac~ao (3) e (6) ja foram encontradas por nos no contexto dossistemas de 2 nveis. De fato de nindo: S1 = h2 1 , S2 = h2 2 , S3 = h2 3 , onde1 ; 2 e 3 s~ao as matrizes de Pauli, temos [S1; S2] = ihS3 e permutac~oes cclicas.O operador ~S = h2 ~ , satisfaz~S2 = h24 h21 + 22 + 23i = 3h24 = h2 12 12 + 1(lembre-se que 2j = 1 ; j = 1; 2; 3).Consideremos agora o problema da determinac~ao e propriedades dos autovalores eautovetores de ~L2 . Se ' e um autovetor, com autovalor  :~L2 ' = ' (7)ent~ao L1 ' ; L2 ' e L3 ' tambem s~ao autovetores de ~L2 com o mesmo autovalor ! Isto e consequência da relac~ao de comutac~ao (6):~L2 (Lj ') = Lj ~L2 ' =  (Lj ') j = 1; 2; 3 : (8)A relac~ao (8) implica na degenerescência de  , se  6= 0 . De fato se  for n~aodegenerado ent~ao, de (8) concluimos queLj ' = j ' ; j = 1; 2; 32 docsity.com

onde 1 ; 2 ; 3 s~ao numeros (reais!) i.e. ' e autovetor simultâneo de L1; L2 eL3 . Isto implica em 1 = 2 = 3 = 0 ! (Por que?)Portanto~L2 ' = L21 ' + L22 ' + L23 ' =  21 + 22 + 23 ' = 0i.e.  = 0 .Determinemos agora a dimens~ao do subespaco:H = n' : ~L2 ' = 'o : (9)A relac~ao (8) tem como consequência, se ' 2 H ent~ao L1 ' ; L2 ' e L3 'tambem est~ao em H .Podemos portanto considerar o problema de achar os autovetores de L3 em H ,i.e. procuramos vetores ';m satisfazendo~L2 ';m = ';m (10a)L3 ';m = hm';m (10b)ou seja ';m e um autovetor simultaneamente de ~L2 e L3 , com autovalor  e hmrespectivamente.Vamos introduzir agora os operadoresL+ = L1 + i L2 (11a)L� = L1 � i L2 (11b)que desempenhar~ao com relac~ao ao operador L3 o mesmo papel dos operadores ae a com relac~ao ao operador N = aa como discutido no oscilador harmônico. Issose vê atraves das relac~oes de comutac~ao:[L3; L+] = hL+ (12a)[L3; L�] = � hL� (12b)(Compare com [N; a] = a; [N; a] = �a).3 docsity.com

Como consequência de (12) temosL3 (L+ ';m) = h(m+ 1) (L+ ';m) (13a)L3 (L� ';m) = h(m� 1) (L� ';m) (13b)de onde concluimos que se L+ ';m 6= 0 ent~ao ele continua autovetor de ~L2 comautovalor  , e continua tambem autovetor de L3 mas com autovalor h(m + 1)!Analogamente, se L� ';m 6= 0 ent~ao e autovetor de ~L2 com autovalor  e de L3com autovalor h(m� 1)!Os operadores L satisfazem tambemL+ L� = L21 + L22 + hL3 = ~L2 � L23 + hL3L� L+ = L21 + L22 � hL3 = ~L2 � L23 � hL3 (14)Note que os operadores L+ e L� n~ao s~ao hermiteanoshL+ ji = h jL� i ; i.e. (L+) = L� :Restric~oes a  e ama) Tomemos ';m normalizado, h';mj';mi = 1 ent~ao = D';mj~L2 ';mE = hL1 ';mjL1 ';mi++ hL2 ';mjL2 ';mi+ hL3 ';mjL3 ';mi :Portanto,   0 (como soma de 3 numeros n~ao negativos).b) Das relac~oes (14) seguem:0  hL� ';mjL� ';mi =  � h2m2 + h2m (15a)e0  hL+ ';mjL+ ';mi =  � h2m2 � h2m (15b)4 docsity.com

Como   0 podemos escrever = h2`(` + 1) (16)com `  0 univocamente determinado.De (15a) e (15b) tiramos ent~ao:h2 [`(` + 1)�m(m� 1)]  0 (17a)h2 [`(` + 1)�m(m+ 1)]  0 (17b)As relac~oes (17a) e (17b) s~ao equivalentes ajmj  ` (18)Passaremos a indexar ';m por ` e m , i.e. '`;m com~L2 '`;m = h2`(` + 1)'`;m (19)~L3 '`;m = hm'`;m (20)com as restric~oes `  0 , jmj  ` .Incidentalmente, tomando h'`;mj'`;mi = 1 as formulas (15a) e (15b) fornecemhL+ '`;mjL+ '`;mi = h2 [`(` + 1) �m(m+ 1)] (21a)hL� '`;mjL� '`;mi = h2 [`(` + 1) �m(m� 1)] (21b)Em particular L+ '`;m = 0 se e somente se m = ` ; e L� '`;m = 0 se e somentese m = �` . PortantoL+ '`;m = h [`(` + 1)�m(m+ 1)]1=2 '`;m+1 se m < ` (22a)L� '`;m = h [`(` + 1)�m(m� 1)]1=2 '`;m�1 se m > �` (22b)L+ '`;` = 0 e L� '`;�` = 0 (23)5 docsity.com

Portanto considerac~oes analogas as que levaram a determinac~ao dos autovalores deN = aa nos levam, para evitar a violac~ao de (18) por aplicac~ao sucessiva de L+ queos autovalores de L3 devem ser h`; h(`�1); h(`�2); : : : . Analogamente para evitara violac~ao de (18) por aplicac~ao sucessiva de L� os mesmos autovalores dever~ao ser:�h`; h(�` + 1); h(�` + 2); : : : . Portanto a unica possibilidade e ` ser inteiro ousemi-inteiro e m = �`; �`+ 1;    ; ` � 1; ` . Basta portanto conhecer o vetor '`;` ,caracterizado por ~L2 '`;` = h2`(` + 1)'`;` (24a)L+ '`;` = 0 (24b)para construir '`;`�1 atraves de'`;`�1 = 1h [`(` + 1)� `(` � 1)]1=2 '`;` (25a)'`;`�2 = 1h [`(` + 1)� `(` � 1)(` � 2)]1=2 L� '`;`�1 (25b)etc..

6 docsity.com

As autofunc~oes do momento angular | Harmônicos esfericos1) Para a construc~ao das autofunc~oes do momento angular comecaremos por ex-pressar os operadores L1; L2 e L3 em coordenadas esfericas.Dada uma func~ao g(x; y; z) ela se expressa em coordenadas esfericas atraves def(r; ; ') = g(r sen  cos'; r sen  sen'; r cos )A regra da derivac~ao em cadeia nos da:@f@' = x @g@y � y @g@x (1)e @f@ = cotg  x @g@x + y @g@y! � tan  z @g@z (2)Ora L+ = L1 + i L2 = hi y @@z � z @@y + i z @@x � i x @@z != hc (y � ix) @@z + hz @@x + i @@y != � h(x+ iy) @@z � hz @@x + i @@x2 !Ora z = r cos  = ei' cotg (x� iy) = e�i' cotg (x+ iy)e portanto L+ = h ei' "cotg (x� iy) @@x + i @@y !# � h ei' tg  z @@z= h ei' cotg  x @@x + y @@y ! � h ei' tan  z @@z+ h ei' i x @@y + y @@x ! cotg 7 docsity.com

Comparando (1) e (2) vemosL+ = h ei' @@ + i cotg  @@' ! (3)Analogamente ou diretamente de (L+) = L�� obtemosL� = h e�i' � @@ + i cotg  @@' ! (4)De (1) tiramos tambem L3 = hi @@' (5)2) Chamando de Y`;m(; ') as autofunc~oes de ~L2 e L3 :~L2 Y`;m = h2`(` + 1)Y`;m (5a)L3 Y`;m = hmY`;m (5b)podemos determina-las atraves das equac~oes diferenciais correspondentes.A dependência na variavel ' pode ser facilmente obtida a partir de (5b):hi @ Y`;m@' = hmY`;m (6)de onde conclumos que Y`;m(; ') = g`;m() eim' (7)onde g`;m e uma func~ao de  que poderia ser determinada a partir de (5a). Umaconsequência importante de (7) e do fato de que Y`;m(theta; '+2) = Y`;m(; ') (i.e.da periodicidade na variavel angular 'i note x = r cos' sen  e y = r sen' sen s~ao func~oes periodicas de '!) e queeim2 = 1 i:e: m inteiro!8 docsity.com

Note que as relac~oes de comutac~ao entre os Lj's impunha que `  0 , jmj  `fossem numeros em inteiros ou semi-inteiros. Essa ultima possibilidade esta assimexcluda para os Y`;m!Em lugar de resolver (5a) para determinar Y`;m , usaremos os fatos:L+ Y`;` = 0 (8)L� Y`;m = h [`(` + 1)�m(m� 1)]1=2 Y`;m�1 (9)onde supomos hY`;mjY`;m0i = mm0 (10)Como Y`;m e uma func~ao apenas das variaveis  e ' (n~ao depende de r !) acondic~ao de normalizac~ao (10) deve ser entendida.Z Y ̀;m0(; ')Y`;m(; ') d = mm0 (100)com d  sen  d d' , 0     , 0  '  2 .Substituindo (7) em (8) obtemos (usando (3))g 0̀`()� ` cotg  g``() = 0 (11)(A equac~ao (8) e analoga a equac~ao a'0 = 0 usado para a determinac~ao do estadofundamental do oscilador harmônico. La como ca, transforma-se por considerac~oesalgebricas, i.e. que envolvem apenas as relac~oes de comutac~ao, uma equac~ao de se-gunda ordem numa equac~ao simples de primeira ordem. A equac~ao hp2m '00(x) +rm2 !'0(x) = 0 la, equivale a equac~ao (11) aqui!)A equac~ao (11) pode ser resolvida imediatamente:g``() = C`(sen )` (12)onde a constante C` e determinada a menos de um fator de fase pela condic~ao denormalizac~ao (100). Nossa escolha de fase junto com a condic~ao de normalizac~ao nosda: 9 docsity.com

Y`;m(; ') = (�1)m " 2` + 14 (` �m)!(` +m)! #1=2 P m̀(cos ) eim' (13)com P m̀(u) = (�1)`+m (`+m)!(` �m)! (1� u2)�m=22` `! ddu !`�m 1 � u2` (14)(Para m < ` determina-se Y`;m aplicando-se (L�)`�m e usando-se (9)!).

10 docsity.com

NIVEIS DE ENERGIA DO ATOMO DE HIDROGÊNIOSoluc~ao algebrica (W. Pauli, Z. Phys. 36, 336 (1926); M. Bander and C. Itzykson,Rev. Mod. Phys. 38, 330 (1968))H = ~P 22 � Ze2rCampo Central ) [H;Li] = hH; ~L2i = 0 i = 1; 2; 3 (1)O vetor de Lenz ~A = ~P  ~L � Ze2 ~rr (2)classicamente e uma grandeza conservada: f ~A;Hg = 0 . (Veri que!)Quanticamente o operador ~A n~ao e hermiteano (por que?) mas o operador~M = 12  ~A ~A = 12 h~P  ~L� ~L ~P i � Ze2 ~rr (3)e hermiteano e satisfaz: [H; Mi] = 0 (4)[Mj; Mk] = hi "jk` L` 2! H (5)[Lj; Mk] = i h "jk`M` (6)~L  ~M = ~M  ~L = 0 (7)M2 � k2 = 2! H L2 + h2 (8)k = Ze211 docsity.com

Consideremos o subespacof' : H' = E'g = HEassociado ao autovalor E < 0 de H .Nesse subespaco o operadorfMi =  �2E 1=2 Mi (9)e tal que os operadores ~J1 = ~L+ f~M2 (10)e ~J2 = ~L� f~M2 (11)satisfazem relac~oes de momento angular e comutam entre si:[J1j; J2k] = 0[J1j; J1k] = i h "jk` J`[J2j; J2k] = i h "jk` J2`Portanto os autovalores de ~J21 s~ao h2j1(j1 + 1) , j1  0 semi-inteiro ou inteiro eos autovalores de ~J22 s~ao h2j2(j2 + 1) com j2  0 , semi-inteiro ou inteiro.Devido a (7) ~L f~M = ~L f~M = 0 e portanto ~J21 = ~L� f~M2! =4 = ~L + f~M2! =4 =~J22 ou seja j1 = j2 = j (12)Da equac~ao (8) segue em HE que2E f~M2 + ~L2 + h2! = � k2 (13)Porem 12 docsity.com

f~M2 + ~L2 + h2 = 4  ~J21+ h2 (pois ~M  ~L = 0)= 4  ~J22+ h2 = h2 (4j(j + 1) + 1)Portanto E = � Ze2h ! 12 1(2j + 1)2onde 2j + 1 que e um inteiro  0 e o numero quântico principal!!

13 docsity.com

Exercicios1. Veri que as relac~oes de comutac~ao[L1; L2] = i hL3 ; etc.h~L2; L1i = h~L2; L2i = h~L2; L3i = 0h~L3; Li =  hL ; h~L+; L�i = : : : ; etc.2. Considere as matrizes de Pauli 1;2; 3 e os operadores S1 = h2 1 ; S2 = h2 2 ; S3 = h2 3 . Mostre queS1; S2 e S3 satisfazem as relac~oes de comutac~ao de momento angular. Se~S2  S21 + S22 + S23 = h2s(s+ 1) , qual e o valor de s . Determine S+ ; S� e osautovetores de S3 e a ac~ao de S nesses autovetores.3. Considere as matrizes 3 3 :L3 = h 0BBBBB@ 1 0 00 0 00 0 �1 1CCCCCA ; L+ = h 0BBBBB@ 0 1 00 0 10 0 0 1CCCCCAL� = (L+) . Se L = L1  iL2 , veri que as relac~oes de comutac~ao de momentoangular para L1; L2 e L3 . Determine os autovetores de L3 e a ac~ao de Lnesses autovetores. Qual e o valor de ` ?4. Construa de maneira analoga a dos exerccios 2) e 3) acima, matrizes 5  5 querepresentem L3; L1; L2; L com suas relac~oes de comutac~ao de momento angulare com ~L2 = h2`(` + 1) ; ` = 32 .5. Uma partcula se encontra no estado (x; y; :z) = C(xz + yz + zx) e� r2 . Quala probabilidade de que uma medida do momento angular total dê o valor zero?Qual a probabilidade de dar o valor 6h2 ? Se o valor encontrado para ` for iguala 2, quais s~ao as probabilidades relativas para m = 2; 1; 0;�1;�2 ?14 docsity.com

6. Em 4 dimens~oes os operadores de momento angular s~ao:Ljk = qj pk � qk pj ; j; k = 1; 2; 3; 4 j 6= kDe nindo ~J = (J1; J2; J3) = (L23; L31; L12)e ~K = (K1; K2; K3) = (L14; L24; L34)veri que que os operadores~J+ = ~J + ~K e ~J� = ~J � ~Kcomutam entre si e suas componentes obedecem as relac~oes de momento angular(em 3 dimens~oes!). A partir disso determine os possveis autovalores de ~J2 J3e construa os multipletos de autoestados simultâneos de ~J+2 e ~J�2 .7. Mostre que se um sistema esta em um autoestado de L3 ent~ao o valor medio deL1 e L2 s~ao nulos.8. Se um sistema esta em um autoestado '`m de ~L2 e L3 , mostre que a menorincerteza em medidas de L1 e L2 se da para jmj = ` .9. Veri que as relac~oes de comutac~ao:a) [Lj; qk] = i h "jk` q`b) [Lj ; pk] = i h "jk` p` j; k; ` = 1; 2; 3c) h~L; ~p 2i = h~L; ~r 2i = 0("jk` = 0 se dois ndices quaisquer forem iguais, "123 = "312 = "231 = 1 ;"132 = "213 = "321 = �1 ; "ijk e um tensor totalmente antisimetrico).15 docsity.com

Exercicios | Potenciais Centrais1. Considere o estado fundamental do atomo de Hidrogênio (r; ; ') = 1p e�r edetermine a densidade de probabilidade de o eletron ter momento ~p .2. Interpretando � j (r; ; ')j2 e como a densidade de carga da nuvem eletrônica deum eletron no atomo de hidrogênio, calcule o potencial eletrostatico (r) produz-ido pelo nucleo e pelo eletron no seu estado fundamental. Discuta a blindagempara r h2me2 e o comportamento de (r) quando r! 0 .3. Mostre que para um potencial coulombianoH = ~P 22 � kro operador de Lenz: ~A = 12 h~P  ~L � ~L  ~P i � k ~rrsatisfaz hH; ~A i = 0 (i.e. ~A e uma constante do movimento!)(A existência dessa lei de conservac~ao adicional e responsavel pela chamada de-generescência acidental do atomo de hidrogênio).4. Discuta a existência de um estado ligado com ` = 0 no potencial \delta de casca":V (r) = � (r � a) ;  > 0 ; a > 0 :5. Discuta a existência de um estado ligado com ` = 0 no poco nito:V (r) = 8><>: �U0 ; r < a ; U0; a > 00 ; r > a :16 docsity.com

6. Considere a parte radial Rk`(r) da autofunc~ao de uma partcula livre com energiaE = h2k22m : Rk` = (�1)` s2 `k` 1r ddr !` sen krrMostre que para r ! 1 Rk`(r) = s2 sin kr � `2 !re r ! 0 Rk`(r) = s2 k`+1(2` + 1)!! r`(2`+ 1)!! = 1; 3; 5 : : : (2` + 1) :7. Calcule a degenerescência dos nveis de energia do atomo de hidrogênio dados porEN = � Z2N2 me42h2 ! .

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