Ondas Gravitacionais e o espetro de anisotropia tensorial na presença de neutrinos cosmológicos
JonasF
JonasF25 de Abril de 2013

Ondas Gravitacionais e o espetro de anisotropia tensorial na presença de neutrinos cosmológicos

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Nesta dissertação trabalhamos com a influência causada pelos neutrinos cosmológicos na propagação das ondas gravitacionais primordiais e também sobre as anisotropias de temperatura da radiação cósmica de fundo.
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Jonas Floriano Gomes dos Santos

Ondas gravitacionais e o espectro de

anisotropia tensorial na presença de

neutrinos cosmológicos

São Carlos – SP

Julho / 2012

Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em F́ısica

Ondas gravitacionais e o espectro de

anisotropia tensorial na presença de

neutrinos cosmológicos

Dissertação apresentada ao Departamento de F́ısica da Universidade Federal de São Car- los para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em F́ısica.

Jonas Floriano Gomes dos Santos

Orientador:

Prof. Dr. Alex Eduardo de Bernardini

São Carlos – SP

Julho / 2012

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

S237og

Santos, Jonas Floriano Gomes dos. Ondas gravitacionais e o espectro de anisotropia tensorial na presença de neutrinos cosmológicos / Jonas Floriano Gomes dos Santos. -- São Carlos : UFSCar, 2012. 61 f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2012. 1. Física. 2. Cosmologia. 3. Ondas gravitacionais. 4. Neutrinos. I. Título. CDD: 530 (20a)

Dedico esta dissertação aos meus pais,

cujo esforço que fizeram para

que eu estivesse aqui hoje é incomensurável.

Agradecimentos

Dedico meus sinceros agradecimentos para:

– o Professor Doutor Alex Eduardo de Bernardini, pela orientação, incentivo e paciência

comigo durante esses dois anos de trabalho. Agradeço a ele também por sempre exigir de

mim uma postura profissional, o que enriqueceu muito minha formação;

– todos meus amigos e colegas da pós-graduação em F́ısica, em especial ao André Luis

Rossi Melzi, por toda ajuda que me forneceu durante meu peŕıodo de mestrado;

– os meus pais e meu irmão, que sempre se preocuparam comigo;

– a minha namorada Joana, pela paciência e carinho que dedica a mim.

– a CAPES, pelo suporte financeiro do trabalho.

Todo trabalho é digno de respeito,

e a humildade em reconhecer isso

é um passo importante para qualquer

nação ou comunidade.

Resumo

Neste trabalho nós estudamos a evolução de ondas gravitacionais primordiais aco- pladas ao tensor de stress anisotrópico dos neutrinos cosmológicos. Assim como em um universo dominado por radiação, em um universo composto de radiação e matéria os neu- trinos podem agir como um meio dispersivo efetivo para ondas gravitacionais, além de introduzir pequenas variações sobre a contribuição tensorial das anisotropias de tempe- ratura da radiação cósmica de fundo. Nossos resultados são obtidos em um cenário de transição radiação-matéria (RMD), tal que contemplamos modos que entram no horizonte de Hubble, seja na era de domı́nio de radiação (RD), seja na era de domı́nio de materia (MD). Usando a variável de evolução , foi posśıvel escrever nossas soluções independen- tes da frequência da onda. Nossos resultados ratificam que CTl decai abruptamente após l ∼ 100 com pequenas modificações no termo de quadrupolo da variância de temperatura, CT2 , devido ao acoplamento de neutrinos e a inclusão de termos de colisões nas equações dinâmicas.

Abstract

In this work we have studied the evolution of primordial gravitational waves coupled to anisotropic stress tensor of cosmological neutrinos. As in a radiation dominated universe, in a universe dominated by radiation and matter the neutrinos can work as an effective dispersive medium for the gravitational waves, besides introduce small modifications over the tensor contribution to the cosmological microwave background anisotropy. Our results are obtained in a radiation-matter transition scenario (RMD), so that we contemplate modes that cross the horizon in the radiation era and matter era. Using the evolution variable , it was possible to write our solutions independent from the frequency of the wave. Our results ratify that CTl die out after l ∼ 100 with small modifications on the quadrupole term, CT2 , due to the coupling to neutrinos and the inclusion of collision terms into the dynamical equations.

Sumário

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

1 Introdução p. 12

2 O universo plano, homogêneo e isotrópico em expansão p. 16

2.1 Fundamentos Algébricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 16

2.2 Conteúdo energético do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.3 A equação de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

3 Perturbações p. 25

3.1 Perturbações tensoriais na métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

3.1.1 O tensor momento-energia perturbado . . . . . . . . . . . . . . p. 28

3.1.2 Componentes da equação de Einstein para perturbações tensoriais p. 29

3.1.3 A equação de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

4 Algumas soluções simples p. 34

4.1 Universo dominado por radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

4.2 Universo dominado por matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

5 Interação de ondas gravitacionais com neutrinos p. 37

5.1 Regime de free-streaming dos neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

5.2 Regime relevante para colisões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

6 Contribuição do stress anisotrópico dos neutrinos na temperatura

da RCF p. 47

6.1 Cl para perturbações tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48

6.1.1 CTl para o domı́nio RMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

6.1.2 Discussão sobre o termo de quadrupolo CT2 e o fator r . . . . . . p. 52

7 Conclusões p. 55

Referências p. 57

Apêndice I p. 59

Apêndice II p. 60

Lista de Figuras

1 Expansão do universo para os tempos η1 < η2 < η3, respectivamente.

Enquanto a distância comóvel entre os pontos independe do tempo, a

distância f́ısica é a distância comóvel multiplicada pelo fator de escala no

respectivo tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2 Evolução da amplitude das ondas normalizadas hij/h (0) ij como função

de para o cenário cósmico de fundo RD (curvas vermelhas) e RMD

(curvas pretas). Os resultados são para stress anisotrópico nulo (curvas

pontilhadas), para = 0.4052 (curvas tracejadas), e para = 1 (cur-

vas cont́ınuas). Note que as curvas no regime RMD são descritas para η

como múltiplo de ηeq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

3 Mesmo gráfico como na Fig. 2, mas agora para η como múltiplo de 0.1ηeq

(figura à esquerda) e para η como múltiplo de 0.01ηeq (figura à direita).

Note a modificação na diferença de fase entre os três gráficos. . . . . . . p. 41

4 Média temporal de ()2|kij()|2 como função de k[Mpc]1 para a era de domı́nio da radiação (curvas vermelhas) e para um peŕıodo de transição

radiação-matéria (curvas pretas). Os resultados são para a ausência do

stress anisotrópico (curvas pontilhadas), para = 0.4052 (curvas trace-

jadas), e para = 1 (curvas cont́ınuas). Note a existência de um valor

para o qual tanto na RD quanto RMD a curva cont́ınua cruza com as

outras duas curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

5 Evolução da amplitude das ondas normalizadas hij/h (0) ij como função de

para era RMD no caso em que consideramos termos de colisão. Os

resultados são para = 0.01, 0.1, 1, e 10 e para o caso sem colisões de

acordo com a legenda, com τ em unidades de η0 e k em unidades de

10. Nossos resultados são para três famı́lias de neutrinos, = 0.4052

(curvas vermelhas), e para o caso extremo de um grande número de

famı́lias de neutrinos, = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

6 Média temporal de ()2|hij()|2 como função de k[Mpc]1 para o cenário RMD em que levamos em conta termos de colisão. Os resul-

tados são para = 0.01 e 10 e para os casos sem colisões de acordo com

a legenda, com τ em unidades de η0 e k em unidades de 10. . . . . . p. 46

7 Contribuição tensorial para o espectro de potência angular para o caso

anaĺıtico sem a função transferência (curva pontilhada) e com a função

transferência para levar em conta modos que entraram no horizonte na

era da radiação (curva cont́ınua). Note que para baixos valores de mul-

tipolo as curvas são aproximadamente as mesmas. . . . . . . . . . . . . p. 50

8 Contribuição tensorial para o espectro de potência angular no cenário

RMD. Os resultados são para o stress anisotrópico nulo (curva pon-

tilhada), para = 0.4052 (curva tracejada), e para = 1 (curva

cont́ınua). Comparamos ainda com a solução anaĺıtica para = 0

(curva azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51

9 Contribuição tensorial para o espectro de potência angular para o cenário

RMD considerando termos de colisão. Os resultados são para =

0.01, 0.1, 1, e 10. Os casos sem colisões são mostrados de acordo com a

legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

Lista de Tabelas

1 Valores de CT2 e as respectivas razões entre a contribuição escalar e ten-

sorial para o termo de quadrupolo, para stress anisotrópico dos neutrinos

nulo (= 0), para = 0.4052 e para diversas famı́lias de neutrinos

(= 1). Os resultados são para o domı́nio RMD. . . . . . . . . . . . . p. 54

2 Valores de CT2 e as respectivas razões entre a contribuição escalar e tenso-

rial para o termo de quadrupolo, para o caso em que consideramos termos

de colisão, para o valor padrão de três famı́lias de neutrinos, = 0.4052,

e para = 1. Os resultados são para um universo RMD. . . . . . . . p. 54

12

1 Introdução

Nos últimos anos um grande volume de dados observacionais foram usados para veri-

ficar modelos ou restringir intervalos de valores para parâmetros em cosmologia a partir

de observações provenientes de inomogeneidades da distribuição da matéria e anisotro-

pias na radiação cósmica de fundo. Do ponto de vista teórico, esse tratamento é feito

através de perturbações na métrica e no tensor momento-energia, tendo um universo de

fundo plano, homogêneo, e isotrópico em expansão. O modelo cosmológico padrão ΛCDM

(Lambda-Cold Dark Matter), estuda a evolução destas perturbações a partir da equação

de Einstein, onde é posśıvel decompor as perturbações de acordo com a sua influência na

evolução do universo.

De forma completamente análoga ao eletromagnetismo, a relatividade geral prevê o

surgimento de ondas gravitacionais devido a oscilação de corpos massivos. No contexto

cosmológico, o rápido crescimento de massas primordiais e flutuações na densidade de

energia são identificadas como o mecanismo mais simples para produzir estruturas cos-

mológicas e anisotropias na temperatura da radiação cósmica de fundo. Em particular,

ondas gravitacionais primordiais são propostas em diversos modelos inflacionários sim-

ples como consequências da rápida expansão do universo durante a inflação. Devido ao

caráter extremamente fraco da interação gravitacional quando comparada com outras

forças, ondas gravitacionais a prinćıpio propagam-se livremente pelo espaço. Desse modo,

a detecção direta destas ondas poderia fornecer a capacidade de estudar o universo du-

rante o peŕıodo inflacionário, assim como a radiação cósmica de fundo permite analisar o

universo quando este possúıa apenas 300 mil anos.

Enquanto anisotropias na temperatura da radiação cósmica de fundo (RCF) vem

sendo observadas [1], experimentos atuais estão aptos apenas a estipular limites superi-

ores para a polarização da RCF que podem ter sido causada por ondas gravitacionais

primordiais [2, 3, 4, 5, 6]. Entretanto, a detecção direta é dificultada devido a raridade

de fenômenos capazes de gerar ondas gravitacionais detectáveis pelos aparelhos de me-

dida atuais, de tal modo que a medida que a sensibilidade dos aparelhos de medida é

1 Introdução 13

aprimorada, a taxa de eventos por ano que podem gerar ondas gravitacionais detectáveis

torna-se maior. Nesse ponto, é importante destacar os esforços brasileiros em desenvolver

um detector direto de ondas gravitacionais, que deverá operar no intervalo de frequências

entre 3.03.4KHz [7].

Todos esses fatos possibilitam a inclusão de elementos extras no conjunto de consti-

tuintes do universo de forma a avistar uma melhor concordância entre as predições teóricas

e os dados observáveis de anisotropias na RCF. Neste contexto, a interação de ondas gra-

vitacionais primordiais com a componente de stress anisotrópico dos neutrinos pode ser

de interesse teórico para a cosmologia. Dependendo do peŕıodo da história térmica dos

neutrinos cosmológicos, o stress anisotrópico pode atuar como uma viscosidade efetiva,

absorvendo parte das ondas gravitacionais em baixas frequências. Este ponto é detalha-

damente explorado do ponto de vista teórico em [8, 9, 10], onde a possibilidade de ondas

gravitacionais acopladas a neutrinos cosmológicos em um cenário de domı́nio de radiação

(RD) foi considerada.

A história térmica dos neutrinos cosmológicos tem como temperatura de desacopla-

mento T ≈ 1MeV que é aproximadamente obtida igualando-se a taxa de interação dos neutrinos com a taxa de expansão do universo. Podemos dividir a história dos neutrinos

em três peŕıodos [9]:

Para T ≫ 1MeV , os neutrinos estão fortemente acoplados ao plasma, tal que eles podem ser considerados como um flúıdo perfeito. Neste caso, a evolução das ondas

gravitacionais não é alterada pelo stress anisotrópico dos neutrinos;

Quando T ∼ 1MeV , os neutrinos estão desacoplando do plasma. Então, o regime de flúıdo perfeito encerra-se e o stress anisotrópico deve ser levado em conta.

Para T ≪ 1MeV , os neutrinos se comportam como part́ıculas livres, não interagindo mais com outros constituintes do plasma.

Neste trabalho, estudamos a influência causada pelo stress anisotrópico dos neutri-

nos sobre a propagação de ondas gravitacionais primordiais em um peŕıodo de transição

radiação-matéria, o qual denominaremos RMD. Além disso, analisamos o impacto cau-

sado nas anisotropias de temperatura na RCF quando neutrinos são inclúıdos ao plasma

cosmológico através do cálculo da variância de temperatura relativa a perturbações tenso-

riais na métrica (espectro de potência angular), CTl . O fato de considerarmos um peŕıodo

composto de radiação e matéria nos permite trabalhar com modos gravitacionais num

intervalo amplo de frequência, indo desde k ≫ 0.1[Mpc]1 (era de domı́nio da radiação)

1 Introdução 14

até k ∼ 0.1[Mpc]1 (ińıcio da era da matéria). Além disso, o tratamento perturbativo segue alguns métodos teóricos abordados em [8, 9, 11, 12].

Este trabalho foi organizado como se segue:

No segundo caṕıtulo são abordadas as caracteŕısticas de um universo plano, ho-

mogêneo e isotrópico em expansão. Fundamentos de álgebra tensorial são introduzidos,

além da noção de um sistema de coordenadas comóveis. Obtemos expressões para as

densidades de energia dos constituintes do universo no modelo ΛCDM. Determinamos

expressões para o fator de escala do universo para três peŕıodos diferentes: domı́nio da

radiação, domı́nio da matéria, e um peŕıodo de transição radiação-matéria (RMD), o qual

consideramos para obter nossos resultados. Apresentamos também a equação de Einstein,

que será a equação básica para nosso trabalho.

O caṕıtulo 3 apresenta com certo detalhe a teoria de perturbações cosmológicas, tra-

tando a métrica e o tensor momento-energia perturbativamente até primeira ordem. É

desenvolvido o formalismo de multipolos, no qual expandimos algumas funções relevantes

em polinômios de Legende para construir um sistema de equações acopladas conveniente

para ser resolvido numericamente. Por fim, apresentamos a equação dos modos tensoriais

contendo uma parte devido ao stress anisotrópico dos neutrinos, onde deve ser ressaltado

que ela foi constrúıda considerando-se um peŕıodo de domı́nio radiação-matéria.

Soluções simples da equação dos modos tensoriais são apresentadas no caṕıtulo 4,

onde desenvolvemos soluções anaĺıticas para dois casos especiais: um universo dominado

por radiação e um universo dominado por matéria, onde assumimos as condições η ≪ ηeq e η ≫ ηeq, respectivamente, onde ηeq corresponde a escala de tempo conforme de igualdade entre as densidades de energia de radiação e de matéria. Mostramos que na ausência

de qualquer tensor de stress anisotrópico, o único efeito sobre a propagação de ondas

gravitacionais é causado pela expansão do universo. Além disso, uma breve analogia com

o oscilador harmônico simples é feita, onde nota-se que o fator de amortecimento é duas

vezes maior quando consideramos um universo dominado por matéria.

No caṕıtulo 5 mostramos nossa análise do acoplamento do stress anisotrópico dos

neutrinos às ondas gravitacionais primordiais. Avaliamos a evolução das ondas gravita-

cionais através da amplitude e também calculamos uma média temporal em função da

frequência, D(k)2, para três valores de um parâmetro , isto é, a razão entre a densidade

de neutrinos e a densidade total de radiação. Obtemos nossos resultados para o regime de

free-streaming dos neutrinos, quando eles se comportam como part́ıculas livres e o tensor

de stress anisotrópico pode afetar a propagação das ondas. Além disso, consideramos in-

1 Introdução 15

terações de neutrinos através de um termo de colisões parametrizado por um tempo médio

entre colisões τ , e mostramos que para τ ≪ 1 conseguimos representar o peŕıodo em que os neutrinos estavam fortemente acoplados ao plasma, muito antes do desacoplamento,

T ≫ 1MeV .

Para completar nosso estudo dos efeitos do stress anisotrópico dos neutrinos, no

caṕıtulo 6 analisamos seu impacto sobre anisotropias na temperatura da radiação cósmica

de fundo através do cálculo do espectro de potência angular, CTl . Primeiramente avaliamos

a influência da adição de neutrinos ao plasma, na ausência de colisões, onde comparamos

nossos resultados com uma função anaĺıtica descrevendo um universo de radiação mais

matéria através da solução para o regime de domı́nio da matéria mais uma função trans-

ferência para considerar modos que entraram no horizonte na era da radiação. Então,

consideramos colisões e recalculamos os resultados da variância da temperatura em um

peŕıodo de domı́nio RMD. Por fim, fizemos uma breve discussão sobre a razão entre a

contribuição tensorial e escalar sobre anisotropias na temperatura, em particular para o

termo de quadrupolo CT2 /C S 2 .

As conclusões e discussões sobre nossos resultados são apresentadas no caṕıtulo 7, em

particular para o peŕıodo de domı́nio RMD. Discutimos também sobre a consideração de

neutrinos exóticos como um meio de validar nossos resultados.

Por todo o trabalho, por conveniência, utilizaremos unidades naturais tal que c =

h/2π = kB = 1, e iremos resolver nossas equações no espaço de Fourier, onde ∂/∂x i → iki.

Finalmente, iremos adotar a seguinte assinatura para a métrica: (−,+,+,+).

16

2 O universo plano, homogêneo e isotrópico em expansão

Neste caṕıtulo, iremos introduzir os elementos fundamentais que são a base do modelo

cosmológico padrão, a saber, o modelo ΛCDM. A teoria base que será utilizada é a

relatividade geral de Einstein, onde particularmente iremos partir da equação de Einstein

para obter alguns resultados importantes. No modelo ΛCDM, temos que os constituintes

básicos são os fótons, neutrinos (iremos considerar apenas neutrinos ultra-relativ́ısticos,

que se comportam como neutrinos sem massa), bárions, matéria escura fria e energia

escura modelada como constante cosmológica.

Sendo que a relatividade geral é fundamentalmente descrita em termos de tensores,

vamos introduzir inicialmente algumas propriedades de álgebra tensorial que irão ser úteis

no desenvolvimento deste trabalho. Logo após, uma descrição da densidade de energia

dos constituintes do universo será feita, sempre considerando o caráter de expansão do

nosso modelo de universo.

2.1 Fundamentos Algébricos

Toda a formulação da relatividade geral é feita em um espaço Riemanniano quadri-

dimensional (três dimensões espaciais e uma temporal), onde cada ponto é denotado

através do conjunto de coordenadas xµ ≡ (x0, x1, x2, x3). De acordo com a notação convencional, ı́ndices gregos são usados para as quatro coordenadas 0, 1, 2 e 3 e ı́ndices

latinos para as três coordenadas espaciais 1, 2 e 3. Ainda de acordo com o comumente

usado, ı́ndices gregos ou latinos iguais são somados sobre as respectivas coordenadas.

Todo o formalismo de álgebra tensorial pode ser detalhadamente encontrado em [13, 14].

Dessa forma, um tensor genérico é definido como

T ′µ1µ2...ν1ν2... = ∂x′µ1

∂xα1

∂x′µ2

∂xα2 ... ∂xβ1

∂x′ν1

∂xβ2

∂x′ν2 ...Tα1α2...β1β2... , (2.1)

2.1 Fundamentos Algébricos 17

sob uma transformação de coordenadas xµ → x′µ.

Em especial, o tensor métrico gµν contém toda informação geométrica do espaço de

Riemann, pois define o intervalo espaço-temporal entre dois eventos que se localizam em

e + dxµ e estão infinitesimalmente separados:

ds2 = gµνdx µdxν . (2.2)

Algumas propriedades importantes do tensor métrico são que ele é um tensor simétrico

gµν = gνµ, tendo sua forma contravariante g µν definida por gµλg

σµ = δσλ , onde δ σ λ é o delta

de Kronecker (igual à unidade se λ = σ e zero no caso contrário).

A derivada covariante, generalização da derivada parcial no espaço de Riemann, é

difinida como

1α2...β1β2...;σ = T α1α2... β1β2...,σ

+(Γα1σνT να2... β1β2...

α2σνT α1ν... β1β2...

+ ...)µβ1σT α1α2... µβ2...

µβ2σT α1α2... β1µ..

+ ...), (2.3)

onde Γασν é um pseudo-tensor conhecido como śımbolo de Christoffel. A notação utilizada

acima é de que a v́ırgula denota derivada parcial ao passo que ponto e v́ırgula denotam

derivada covariante.

No caso da relatividade geral, o simbolo de Christoffel pode ser escrito em função do

tensor métrico como

Γµαβ = 1

2 gµν [∂βgαν + ∂αgβν − ∂νgµν ] , (2.4)

onde definimos a notação ∂ ∂xα

= ∂α.

Além disso, para qualquer vetor covariante é posśıvel demonstrar a relação ;ν;λ − Tµ;λ;ν = TσR

σ µνλ onde R

σ µνλ é o tensor curvatura ou tensor de Riemann e é definido por

Rσµνλ ≡ Γσµλ,ν − Γσµν,λ + ΓσανΓαµλ − ΓσµλΓαµν . (2.5)

Devido à sua importância em geometria diferencial, algumas propriedades do tensor

de Riemann são:

Rσµνλ = −Rµσνλ = −Rσµλν ,

Rσµνλ = Rνλσµ, (2.6)

Rσµνλ +Rσλµν +Rσνλµ = 0.

2.1 Fundamentos Algébricos 18

O tensor de Riemann obedece ainda a identidade de Bianchi:

Rσµνλ;ρ +Rσµρν;λ +Rσµλρ;ν = 0. (2.7)

A forma contráıda do tensor de Riemann

Rµν = g λσRλµσν = R

σ µσν , (2.8)

é conhecida como tensor de Ricci e pode ser escrita como

Rµν = Γ α µα,ν − Γαµν,α + ΓβµαΓανβ − ΓβµνΓααβ, (2.9)

e, por fim, contraindo o tensor de Ricci, obtemos o chamado escalar de Ricci:

R = gµνRµν . (2.10)

Uma vez que o escalar de Ricci é um invariante, vale a pena ressaltar que ele não

depende do sistema de coordenadas inercial escolhido.

A expansão do universo

Segundo o modelo cosmológico padrão, o universo está em expansão isotrópica, o

que significa que ele se expande da mesma maneira em todas direções do espaço-tempo.

Assumindo isso, a distância entre duas galáxias, por exemplo, é maior hoje do que foi no

passado. Assim, partindo da suposição de uma expansão uniforme, podemos traçar uma

rede imaginária que cresce uniformemente conforme o universo se expande, ou evolui no

tempo. Chamaremos esta rede imaginária de sistema de coordenadas comóveis, sendo que

de acordo com essa definição a distância entre duas galáxias não é alterada em função

do tempo. Podemos definir também um ponto comóvel como sendo a localização de um

observador que mede densidade de momento zero. Por outro lado, a distância f́ısica entre

dois objetos é a distância comóvel multiplicada por um parâmetro de expansão (fator

de escala), que iremos chamar de a. Desse modo, obtemos a seguinte relação entre as

coordenadas comóveis = (η, x⃗) e as coordenadas f́ısicas = (t, r⃗):

a(η) ≡ ∂r µ

∂xµ =

∂t

∂η =

∂r⃗

∂x⃗ , (2.11)

onde η é chamado de tempo conforme.

Em um universo plano, é conveniente normalizar o fator de escala para a unidade para

a época presente. Desse modo, ao longo de todo o texto o subscrito 0 indicará o valor

2.1 Fundamentos Algébricos 19

Figura 1: Expansão do universo para os tempos η1 < η2 < η3, respectivamente. Enquanto a distância comóvel entre os pontos independe do tempo, a distância f́ısica é a distância comóvel multiplicada pelo fator de escala no respectivo tempo.

presente de qualquer grandeza.

Uma vez que o universo está se expandindo uniformemente, a chamada lei de Hubble

prevê que as velocidades instantâneas das galáxias distantes aumentam linearmente con-

forme a distância ao observador, onde o parâmetro de proporcionalidade é chamado de

parâmetro de Hubble:

H(η) 1 a

da

dt =

1

a2 da

dη ≡ ȧ

a2 , (2.12)

onde pontos denotam derivadas em relação ao tempo conforme.

Por fim, assumimos que em nosso modelo o universo é plano. Partindo disso, podemos

escrever a métrica para um universo plano em expansão uniforme como

ds2 = a2(η)[−dη2 + δijdxidxj], (2.13)

ou, retornando ao tempo f́ısico como variável temporal:

ds2 = −dt2 + a2(t)δijdxidxj, (2.14)

que na forma matricial é escrita como:

gµν =



1 0 0 0 0 a2 0 0

0 0 a2 0

0 0 0 a2

 . (2.15)

2.2 Conteúdo energético do universo 20

2.2 Conteúdo energético do universo

Na relatividade geral, as propriedades de energia e momento de uma dada part́ıcula

são descritas pelo tensor momento-energia, definido formalmente para um flúıdo ideal

como [12]

T µν = Pgµν + (ρ+ P)UµU ν , (2.16)

onde é a quadri-velocidade das part́ıculas, ρ e P são, respectivamente, a densidade e a pressão do flúıdo, medidos no sistema de coordenadas comóveis.

Em coordenadas comóveis e para velocidades peculiares zero o tensor momento-energia

é escrito como

T µν =



−ρ 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P 0 0 0 0 P

 . (2.17)

Para um flúıdo que interage apenas gravitacionalmente, a derivada covariante do

tensor momento-energia é zero, correspondendo à equação de conservação de T µν :

T µν;µ ≡ ∂T µν ∂xµ

+ ΓµαµT α ν − ΓανµT µα = 0. (2.18)

Tomando a componente tempo-tempo do tensor momento-energia, a Eq. (2.18) leva

a ∂ρ

∂η +

a [3ρ+ 3P ] = 0. (2.19)

Assim, a Eq. (2.19) juntamente com a equação de estado de cada tipo de flúıdo

considerado nos fornece a solução para a pressão e densidade de energia dos flúıdos que

compõem o universo (radiação, matéria e energia escura) em função do fator de escala.

Será mostrado agora o comportamento da densidade de energia para cada tipo de flúıdo

do universo.

Radiação

No caso da radiação, que possui uma equação de estado independente do tempo e é

dada por Pr = ρr/3, temos que a equação de conservação do tensor momento-energia leva diretamente à

∂ρr ∂a

+ 4ρr a

= 0 ⇒ ρr ∝ a−4. (2.20)

A relação acima assume a caracteŕıstica de igualdade quando escrevemos a densidade

2.2 Conteúdo energético do universo 21

de energia de radiação em termos da densidade cŕıtica para um universo plano no modelo

FRW (Fredmann-Roberston-Walker), de modo que obtemos:

ρ̄r = Ω0 a4

. (2.21)

Matéria

O comportamento do tensor momento-energia associado a matéria e a matéria escura

fria é o mesmo, assim como suas equações de estado. Ambas são consideradas não re-

lativ́ısticas. Sendo que nestes casos temos Pm = 0, a equação de conservação do tensor momento-energia toma a forma

∂ρm ρm

= 3∂a a

⇒ ρm ∝ a−3. (2.22)

Analogamente, podemos escrever a densidade de energia de matéria em termos da

densidade cŕıtica do universo, de modo que obtemos:

ρ̄m = Ω0 a3

. (2.23)

Energia escura

Por fim, temos outro constituinte do universo, a energia escura, que no modelo ΛCDM

é modelada como constante cosmológica. A equação de estado neste caso é simples e dada

por PΛ = −ρm. Do mesmo modo como nos outros casos, a equação de conservação do tensor momento-energia para energia escura leva a

∂ρΛ ∂η

= 0 ⇒ ρΛ = cte. (2.24)

Escrevendo a densidade de energia da costante cosmológica em função da densidade

cŕıtica:

ρ̄Λ = ρ0ΩΛ. (2.25)

No modelo assumido neste trabalho, assume-se que inicialmente a densidade de energia

de radiação era dominante, sendo muito maior que a densidade de energia de matéria, que

por sua vez era muito maior que a densidade de energia da constante cosmológica (ρr ≫ ρm ≫ ρΛ). Esta última, dado que nos preocupamos com a fase RMD, será desconsiderada para todos os efeitos em nossa análise.

Os respectivos peŕıodos acima são chamados de peŕıodo de domı́nio da radiação,

2.3 A equação de Einstein 22

peŕıodo de domı́nio da matéria e peŕıodo de domı́nio da constante cosmológica. Iremos

definir aqui o tempo conforme no qual o universo passa do domı́nio da radiação para o

domı́nio da matéria por ηeq, correspondendo a igualdade entre as densidades de energia

da radiação e da matéria.

2.3 A equação de Einstein

A principal ferramenta da teoria da relatividade geral é a equação de Einstein. Esta

teoria descreve como a curvatura do espaço-tempo atua sobre a matéria para se mani-

festar na forma de gravidade e como as energias dos flúıdos que estamos considerando

influenciam na estrutura do espaço-tempo, modificando sua curvatura. A equação de

Einstein relaciona de forma dinâmica as duas componentes básicas do universo: o tensor

momento-energia, Tµν , que diz respeito ao conteúdo energético do universo, e o tensor

de Einstein, que leva a informação sobre a geometria do universo. Assim, a equação de

Einstein é escrita como

Rµν − 1

2 Rgµν = 8πGTµν , (2.26)

sendo o tensor de Einstein definido como o lado esquerdo da Eq. (2.26).

Uma forma de se obter a equação de Eisntein é através da seguinte ação S:

S = 1

16πG

d4x

√ −gR+ SM , δS = 0, (2.27)

sendo SM a ação responsável a originar o tensor momento-energia.

Para o nosso modelo de universo considerado plano, homogêneo e isotrópico em ex-

pansão juntamente com a expressão do tensor momento-energia de um flúıdo perfeito, a

componente tempo-tempo da equação de Einstein assume a forma:

8πGa2

3 ρ =

(

a

)2 . (2.28)

Esta equação é conhecida como equação de Friedmann. Já a componente espaço-

espaço do traço da equação de Einstein, nas mesmas considerações acima, tem a forma

dada por:

8πGa2P = 2 ä a −

(

a

)2 . (2.29)

As outras componentes da equação, a saber, as componentes espaço-tempo e espaço-

espaço sem traço são nulas nas condições de homogeneidade e isotropia.

2.3 A equação de Einstein 23

Fazendo uso da Eq. (2.28) e das equações para as densidades de energia de radiação

e de matéria, iremos agora determinar as expressões para alguns fatores de escala em

função do tempo conforme η.

Domı́nio da radiação

No peŕıodo de domı́nio da radiação, quando a densidade de energia de radiação era

muito maior do que as demais, ou seja, para um dado tempo conforme η ≪ ηeq, podemos obter uma solução aproximada para o fator de escala a em função de η. Escrevendo então

a densidade de energia como sendo ρ ≈ ρr na Eq.(2.28) e com ρr dado pela Eq. (2.21) obtemos

ȧ2 ∝ cte, (2.30)

e em termos das contantes em questão, temos então a expressão para o fator de escala na

era de domı́nio da radiação:

ar(η) √ 8πGρ0Ωr

3 η. (2.31)

Domı́nio da matéria

Segundo o modelo ΛCDM, após o peŕıodo de domı́nio da radiação, o universo entra

no peŕıodo de domı́nio da matéria, sendo então a densidade de energia de matéria muito

maior que as densidades de energia de radiação e da constante cosmológica. Aproximando

a densidade de energia para ρ ≈ ρm na equação de Friedmann e usando a Eq. (2.23) para ρm, obtemos

ȧ2 ∝ a, (2.32)

que em termos das constantes apropriadas pode ser escrita como:

am(η) 2πGρ0Ωm

3 (η + ηeq)

2. (2.33)

Para valores de η ≫ ηeq podemos escrever:

am(η) 2πGρ0Ωm

3 η2. (2.34)

Domı́nio conjunto radiação e matéria

Uma vez que em nosso trabalho queremos estudar o comportamento das ondas gravi-

tacionais num peŕıodo composto dominantemente de radiação e matéria, seria interessante

se tivéssemos uma solução para o fator de escala em função de η que envolvesse ao mesmo

tempo estes dois constituintes. Assumindo então que a soma das densidades de energia de

2.3 A equação de Einstein 24

radiação e matéria é muito maior do que a densidade de energia da constante cosmológica

(ρ ≈ ρr + ρm ≫ ρΛ) conseguimos uma expressão geral para o fator de escala num peŕıodo de transição radiação-matéria dada por:

a(η) 2πGρ0Ωm 3

η2 +

√ 8πGρ0Ωr

3 η. (2.35)

25

3 Perturbações

No caṕıtulo anterior apresentamos as equações necessárias para descrever a evolução

temporal para um universo plano, homogêneo e isotrópico em expansão. Com base nisso, e

dadas as condições iniciais, podemos saber como as densidades de energia dos constituintes

do universo, no modelo ΛCDM, evoluem, além de conseguirmos também as expressões

para o fator de expansão do universo para as diversas épocas que consideramos. No caso

de um universo homogêneo as soluções para o tensor momento-energia e para as equações

de Einstein, em alguns casos particulares, podem ser resolvidas analiticamente [15].

As evidências observacionais [16] mostram que o universo evoluiu de um estado que

pode ser caracterizado por um fluido muito homogêneo e isotrópico em alt́ıssima tempe-

ratura, para o estado atual em que conhecemos bem, caracterizado por uma temperatura

de fundo baixa e com estruturas gravitacionais complexas formadas. Além disso, embora

nosso universo atualmente apresente um caráter muito alto de homogeneidade e isotropia,

pequenas flutuações na temperatura de fundo cósmico são registradas. Uma maneira de

representar essas flutuações é através da teoria de perturbações cosmológicas lineares. Em

termos matemáticos, isso se resume em resolver as equações de Einstein perturbadas em

primeira ordem, tendo como base não perturbada o modelo de universo plano, homogêneo

e isotrópico em expansão.

Ao longo deste caṕıtulo, iremos apresentar algumas consequências da inserção de

perturbações na métrica. Embora pareça simples, o uso de perturbações somente em

primeira ordem nos permite explicar diversos dados observacionais, como flutuações na

temperatura de fundo cósmico. A única dificuldade é a liberdade de calibre que a teoria

possui. Como quantidades f́ısicas não devem depender da escolha de coordenadas, deve-

mos usar uma formulação chamada de invariante de calibre. Em teorias de perturbações

cosmológicas existem vários tipos de calibres, cada um mais compat́ıvel com o problema

que se quer resolver.

Pelo caráter tensorial da métrica, logo a teoria de perturbações em primeira ordem

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 26

também deve ser descrita como um tensor

gµν = g (0) µν + δgµν . (3.1)

Isso leva a inclusão de três tipos diferentes de perturbações: escalares, vetoriais e tensoriais

δgµν = δg escalar µν + δg

vetor µν + δg

tensor µν . (3.2)

As perturbações escalares são responsáveis pela formação de estruturas, como galáxias

e aglomerados de galáxias, além de influenciarem na temperatura de fundo cósmico [16].

Já as perturbações vetoriais são responsáveis por efeitos gravitomagnéticos [17]. Por fim,

perturbações tensoriais na métrica irão produzir ondas gravitacionais. Neste trabalho,

estamos interessados no último tipo de perturbação.

3.1 Perturbações tensoriais na métrica

A métrica perturbada de Friedmann-Robertson-Walker para um universo plano (K

=0), em coordenadas Cartesianas, pode ser escrita na sua forma mais geral como:

ds2 = a2(η)[−dη2 + δijdxidxj + hµνdxµdxν ]

= a2(η)[(1 + 2Ψ)2 + 2Bidηdxi + (δij − 2Φ + hij)dxidxj], (3.3)

onde o tensor de perturbação hµν foi decomposto em outras funções: Ψ, Φ, Bi e hij.

Separando as componentes da métrica, podemos escrevê-las como

g00(x i, η) = −a2(η)1 + 2Ψ(xi, η),

gi0(x i, η) = a2(η)2Bi(x

i, η), (3.4)

gij(x i, η) = a2(η)δij[12Φ(xi, η)] + hij(xi, η).

Uma vez que o tensor hµν é simétrico e de ordem 2, ele terá no máximo 10 componentes

que podem ser escritos em termos de duas funções escalares (Ψ e Φ) somando 2 graus de

liberdade, um tri-vetor (Bi)com mais 3 graus de liberdade, e um tensor (hij) simétrico e

com traço nulo contendo 5 graus liberdade.

Desacoplamento EVT

Uma ferramenta muito importante em teoria de perturbações cosmológicas é o de-

sacoplamento EVT, que permite, em primeira ordem de perturbação, trabalhar com as

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 27

perturbações de forma independente uma da outra.

componentes escalares

Para as duas funções escalares presentes no tensor de perturbação, Ψ e Φ, o desaco-

plamento é trivial, uma vez que são escalares. Assim, temos uma componente para cada

uma destas funções.

componentes vetoriais

Já o vetor Bi pode ser decomposto como

Bi = B || i +B

⊥ i , onde ∇⃗ ×B

|| i = ∇⃗ ·B⊥i = 0. (3.5)

Uma vez que podemos escrever B || i = ∇B, onde B é uma função escalar, o tri-vetor

assume a forma

Bi = ∇B +B⊥i . (3.6)

Desse modo Bi passa a ser escrito em termos de uma função escalar mais uma parte

vetorial que é irredut́ıvel.

componentes tensoriais

De modo análogo ao feito para a parte vetorial, podemos decompor o tensor simétrico

hij em funções escalares, vetoriais e tensoriais:

hij = h || ij + h

⊥ ij + h

T ij, (3.7)

onde h || ij é chamada parte longitudinal, h

⊥ ij é a parte solenoidal e h

T ij recebe o nome de

parte transversal. Além disso, estas componentes estão sujeitas às seguintes condições:

ϵijk∂j∂ lh

|| lk = 0, ∂

i∂jh⊥ij = 0, ∂ ihTij = 0. (3.8)

Desse modo, a decomposição EVT nos permite escrever o tensor de perturbação

métrico inicial hµν em termos de funções escalares, vetoriais e tensoriais, sendo que a

única componente tensorial, após a decomposição, é o tensor transverso hTij de ordem 2 e

sem traço.

Existem dois calibres convenientes para se estudar perturbações tensoriais, o calibre

sincrônico e o calibre de Poisson. Em ambos, as perturbações tensoriais são invariantes.

Por todo o trabalho, iremos usar o calibre sincrônico, no qual as perturbações tensoriais

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 28

na métrica podem ser escritas como

gij = a 2(η)[δij +Hij], (3.9)

onde Hij é a matriz associada à perturbação tensorial, expressa por:

Hij =

 h+ 0

h× −h+ 0 0 0 0

 . (3.10)

Vemos acima que a matriz Hij satisfaz as condições descritas da decomposição EVT.

3.1.1 O tensor momento-energia perturbado

Lembremos que para um flúıdo ideal o tensor momento-energia é expresso por

T µν = Pgµν + (ρ+ P)UµU ν , (3.11)

onde as componentes neste caso são dadas por:

T 00 = −ρ̄, T i0 = 0, T ij = P̄ , (3.12)

onde a as barras superiores indicam quantidades não perturbadas e T µν = gνλT µλ.

Entretanto, se o flúıdo apresenta uma pequena variação em sua quadrivelocidade, de

modo que ele não se comporte exatamente como ideal, podemos tratar essa alteração

como uma pequena perturbação na densidade de energia e pressão. Assim, teŕıamos

então ρ = ρ̄ + δρ e P = + δP , onde δρ e δP são pequenas perturbações introduzidas, respectivamente, na densidade de energia e pressão do flúıdo. Desse modo passamos a ter

as seguintes componentes tempo-tempo e espaço-espaço do tensor momento-energia:

T 00 = −(ρ̄+ δρ), (3.13)

T ij = (P̄ + δP)δij + Σij, Σii = 0, (3.14)

onde Σij é a parte anisotrópica com traço nulo da componente espacial do tensor momento-

energia.

A parte anisotrópica da componente espaço-espaço do tensor momento-energia, Σij,

representa efeitos dissipativos do flúıdo considerado quando este não se comporta como

ideal. Em relação aos fótons, sua componente de stress anisotrópico pode ser desconside-

rada até o desacoplamento destas part́ıculas do plasma cósmico [15]. Em alguns modelos

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 29

inflacionários, são previstos o surgimento da componente anisotrópica devido ao inflaton

e ao campo de Higgs [18]. Neste trabalho, restringimos nossa atenção para a componente

de stress anisotrópico devido apenas aos neutrinos cosmológicos.

3.1.2 Componentes da equação de Einstein para perturbações tensoriais

Apresentamos agora as componentes da equação de Einstein para perturbações tenso-

riais na métrica. Lembremos que a equação de Einstein é dada pela Eq. (2.35). Necessita-

mos calcular primeiramente o tensor de Ricci. Utilizando a Eq. (3.10) para perturbações

tensoriais, as componentes tempo-tempo e espaço-espaço do tensor de Ricci são dados por

R00 = 3 d2a/dt2

a , (3.15)

Rij = gij

( d2a/dt2

a + 2H

) +

3

2 a2HHij,0 + a2

Hij,00 2

+ k2

2 Hij, (3.16)

sendo que consideramos apenas perturbações de primeira ordem.

Observando-se que o escalar de Ricci é a contração das componentes do tensor de Ricci,

rapidamente podemos ver que ele não é alterado por perturbações tensoriais. Disso, segue

que a componente tempo-tempo da equação de Einstein não é alterada por perturbações

tensoriais. Por outro lado, a componente espaço-espaço passa a ser expressa por

δGij = δR i j = 8πGδT

i j , (3.17)

onde δ representa quantidades perturbadas em primeira ordem.

Partindo das componentes do tensor de perturbação tensorial, podemos escrever a

equação de Einstein para a evolução dos modos tensoriais como [13]:

2hij ∂t2

+

( 3

a

da

dt

)

∂t hij −

( 2

a2

) hij = 16πG

Σij a2

, (3.18)

ou, escrevendo em função do tempo conforme η e no espaço de Fourier ∂/∂xi → iki:

ḧij + 2

a ḣij + k

2hij = 16πGΣij. (3.19)

Como podemos ver a Eq. (3.19) representa a equação de um oscilador harmônico

amortecido, com a inclusão de um termo devido à perturbação no tensor momento-energia

do flúıdo considerado.

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 30

3.1.3 A equação de Boltzmann

No espaço de fase, como é usual, a função distribuição f(xi, pj, η) fornece o número

de part́ıculas dentro do elemento de volume dx1dx2dx3dP1dP2dP3:

f(xi, pj, η)dx 1dx2dx3dp1dp2dp3 = dN. (3.20)

O tensor momento-energia pode ser escrito no espaço de fase em termos da função

distribuição como

T µν = 1√ −g

f(xi, pj, η)

P µPν P 0

dP1dP2dP3, (3.21)

onde o momento próprio, pj = p j, medido por um observador em coordenadas espaciais

fixas está relacionado a Pi por Pi = a(δij + 1 2 hij)p

j.

Usando novas definições Pi → qi = api onde qi = qni, podemos escrever a função distribuição como a soma de uma parte não perturbada mais uma pequena perturbação:

f(xi, q, nj, η) = f0(q)[1 + Ψ(x i, q, nj, η)], (3.22)

onde f0(q) = gs

(2π)3 1

eϵ/T0±1 , gs é a quantidade de graus de liberdade da part́ıcula considerada

e T0 é a temperatura média do flúıdo.

Da matriz de perturbação tensorial, Eq. (3.10), obtemos

√ −g = a4

( 1 +

h

2

) e dP1dP2dP3 =

( 1 +

h

2

) q2dqdΩ (3.23)

Com isso podemos escrever o tensor momento-energia do seguinte modo:

T ij = a −4

q2 ϵ ninjf0(q)(1 + Ψ)q

2dqd, (3.24)

onde ϵ ≡ √ q2 + a2m2.

De modo geral, a equação de evolução para Ψ(xi, q, nj, η) pode ser obtida através da

equação de Boltzmann:

L̂[f ] = Ĉ[f ], (3.25)

onde é o operador de Liouville e é operador de colisão representando posśıveis in-

terações entre as part́ıculas do flúıdo. Usando a equação da geodésica o operador de

Liouville pode ser escrito como [8]:

L̂[f ] ≡ Df Dη

= ∂f

∂η +

dxi

∂f

∂xi − 1

2 qninj

dhij dη

∂f

∂q . (3.26)

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 31

Formalismo de multipolo

Existem duas formas para se resolver o sistema de equações (2.28, 3.19, 3.24, 3.26).

A primeira é em sua forma integral, apresentada em [10]. Já a outra forma consiste em

escrever nosso problema de forma que seja mais compat́ıvel para a integração numérica.

Para isso, vamos estruturar um formalismo de multipolos para nossas equações, com

poucas variações do método utilizado para perturbações escalares [12] e formalmente

desenvolvido em [8].

Usando a Eq. (3.22) para a função distribuição, e lembrando que estamos conside-

rando apenas neutrinos sem massa, a equação de Boltzmann pode ser escrita no espaço

de Fourier como

Ψ̇ + ikin iΨ1

2 ninjḣij

dlnf0 dlnq

= 1

f0 Ĉ[f ], (3.27)

onde pontos denotam derivadas em relação ao tempo conforme.

Definindo uma função

(ki, nj, η) q3f0(q)Ψ(ki, q, nj, η)dq

q3f0(q)dq , (3.28)

nós multiplicamos a Eq. (3.27) por q3f0 e integramos em q, obtendo

Ḟν + ikin iFν + 2ḣijn

inj = 4π

a4ρ̄ν

q3Ĉ[f ]dq, (3.29)

onde usamos que ρ̄ν = 4πa −4 ∫ q3f0(q)dq.

Após isso, é conveniente definir ainda a seguinte função:

Fij(ki, µ, η) = ∫ 2π 0

( ninj −

δij 3

) Fνdφ, (3.30)

sendo φ o ângulo polar, de modo que o elemento de ângulo sólido infinitesimal é dado por

dΩ = sin θdθdφ.

Logo após isso, nós multiplicamos a Eq. (3.29) por (ninj − δij/3) e integramos em φ. Então obtemos, usando µ ≡ k̂ · n̂:

Ḟij + ikµFij + 2ḣlm ∫ 2π 0

nlnm ( ninj −

δij 3

) = Cij, (3.31)

onde agora o termo de colisão passa a ser definido por:

Cij ≡ 4π

a4ρ̄ν

q3dq

∫ 2π 0

( ninj −

δij 3

) Ĉ[f ]. (3.32)

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 32

Agora, expandimos Fij e Cij em polinômios de Legendre:

Fij(ki, µ, η) = l=0

(−i)l(2l + 1)F (l)ij (ki, η)Pl(µ), (3.33)

Cij(ki, µ, η) = l=0

(−i)l(2l + 1)C(l)ij (ki, η)Pl(µ). (3.34)

Para obter um sistema de equações diferenciais adequado para ser resolvido numeri-

camente, multiplicamos a Eq. (3.31) por (il/2)Pl e integramos sobre µ usando a relação

de ortogonalidade dos polinômios de Legendre. O cálculo detalhado pode ser visto em [8],

sendo o resultado dado por:

(0)ij = −kF (1) ij −

8π

15 ḣij + C(0)ij , (3.35)

(2)ij = − k

5 [3F (3)ij − 2F

(1) ij ]

16π

105 ḣij + C(2)ij , (3.36)

(4)ij = − k

9 [5F (5)ij − 4F

(3) ij ]

8π

315 ḣij + C(4)ij , (3.37)

(l)ij = − k

2l + 1 [(l + 1)F (l+1)ij − lF

(l−1) ij ] + C

(l) ij (l ̸= 0, 2, 4). (3.38)

É importante dizer que este sistema é completamente equivalente à equação de Boltz-

mann original e escrita de forma apropriada para ser resolvido por diversos métodos

numéricos de equações diferenciais. Em nosso trabalho, utilizamos o software Mathema-

tica, versão 7.0, para realizar nossos cálculos.

Por outro lado, o tensor de stress anisotrópico dos neutrinos pode ser escrito como

Σνij = Tij − gij 3 T kk =

a2ρ̄ν 4π

∫ ( ninj −

δij 3

) FνdΩ =

a2ρ̄ν 4π

F (0)ij , (3.39)

onde aqui estamos considerando apenas a componente de stress anisotrópico devido aos

neutrinos e utilizamos o fato de que ∫ ninjdΩ = 4πδij/3.

Substituindo a expressão acima para o tensor de stress na Eq. (3.19) conseguimos:

ḧij + 2

a ḣij + k

2hij = 4Gρ̄νa 2F (0)ij . (3.40)

Estamos interessados em soluções para o regime de domı́nio de radiação e matéria

ou, como denominamos, regime RMD. Sendo assim, devemos escrever a densidade de

energia dos neutrinos, ρ̄ν , de modo a poder contabilizá-la numericamente e expressar os

parâmetros de densidade de radiação e de matéria. Para isso, introduzimos a definição

Rν ≡ ρ̄ν/ρ̄r (onde ργ se refere aos fótons), o qual é a razão entre a densidade de neutrinos

3.1 Perturbações tensoriais na métrica 33

e a densidade total de radiação, sendo ρ̄r = ρ̄γ + ρ̄ν . Multiplicando e dividindo ρ̄ν pela

densidade de radiação e pela densidade total, obtemos

ρ̄ν = ρ̄ν × ρ̄r ρ̄r

× ρ̄ ρ̄ =

ρ̄r ρ̄r + ρ̄m

ρ̄ = 1

1 + Ωm/r ρ̄ =

1

1 + (1−Rν)Ωmγ ρ̄. (3.41)

Usando a equação de Friedmann podemos obter a densidade de energia total em

termos do fator de escala e de sua primeira derivada. Desse modo, a densidade de energia

dos neutrinos fica expressa por

ρ̄ν = 3

8πG

(

a2

)2 1 + (1−Rν)Ωmγ

(3.42)

Inserindo este resultado na equação dos modos tensoriais, Eq. (3.40), temos:

ḧij + 2

a ḣij + k

2hij = 3

2π

(

a

)2 1 + (1−Rν)Ωmγ

F (0)ij (3.43)

Pelo comportamento das ondas gravitacionais quando elas estão muito fora do hori-

zonte de Hubble, e portanto sem conexão causal com o restante do inventório cósmico

(kη ≫ 1) temos que as condições iniciais são dadas por ḣij(0) = 0 e F (l)ij (0) = 0. Além disso, sempre é posśıvel re-escalonar o valor inicial hij(0) de modo a termos a condição

de normalização dada por hij(0) = h (0) ij = 1.

34

4 Algumas soluções simples

No caṕıtulo anterior descrevemos as perturbações na métrica e no tensor momento-

energia onde demos atenção especial para o caso de perturbações tensoriais. Realizamos

nossa análise perturbativa considerando apenas termos de primeira ordem de perturbação.

Então, fizemos a expansão em multipolos para as funções Fij e Cij para que fosse posśıvel analisar a inclusão de neutrinos cosmológicos ao plasma do universo e sua influência sobre

a evolução das ondas gravitacionais primordiais. Neste caṕıtulo iremos apresentar algumas

soluções anaĺıticas simples para o caso particular onde = 0, ou seja, na ausência do

tensor de stress anisotrópico dos neutrinos. Embora sejam casos não relevantes ao objetivo

de nosso estudo, tais soluções permitem analisar a propagação de ondas gravitacionais

quando a única influência sobre elas é a expansão do universo.

Obteremos soluções para dois casos particulares, era de domı́nio da radiação e era

de domı́nio da matéria, ambos os casos muito longe do tempo de igualdade radiação-

matéria. Vale ressaltar que para nossos resultados, anaĺıticos e numéricos, a componente

da constante cosmológica não é relevante. Assumindo que antes das ondas gravitacionais

entrarem no horizonte elas não sofriam efeitos devido à expansão do universo, podemos

determinar uma condição inicial como sendo ḣij(0) = 0. Além disso, é sempre posśıvel

escolher de forma arbitrária o valor de h (0) ij , de modo que iremos definir h

(0) ij = 1.

4.1 Universo dominado por radiação

Para modos que entram no horizonte em um universo dominado por radiação, ou

seja, para um universo constitúıdo apenas de fótons ou por outras part́ıculas sem massa,

a expressão para o fator de escala é dada pela equação

ar(η) √ 8πGρ0Ωr

3 η. (4.1)

Substituindo esta expressão na equação dos modos tensoriais, Eq. (3.43), lembrando

4.2 Universo dominado por matéria 35

que estamos assumindo = 0, obtemos:

ḧij(η) + 2

η ḣij(η) + k

2h(η) = 0, onde usamos que ȧ/a = 1/η. (4.2)

Definindo uma nova variável de integração u ≡ kη, a equação acima fica:

ḧij(u) + 2

u ḣij(u) + hij(u) = 0, (4.3)

que pode ser imediatamente reconhecida como a equação esférica de Bessel de ordem zero,

cuja solução geral é dada por

hij() = A sin()

+B

cos()

kη , (4.4)

onde A e B são constantes a serem determinadas pelas condições inciais do problema.

As constantes podem ser determinadas através da condição hij(0) = 1. Neste caso,

como a função que multiplica B diverge, temos que assumir B ≡ 0. Disso, segue imedi- atamente o valor para a outra constante, A = 1. Desse modo, a solução para modos que

entram no horizonte na era da radiação é dada por:

hij() = sin()

kη . (4.5)

4.2 Universo dominado por matéria

Em analogia ao item anterior, podemos determinar uma solução anaĺıtica simples

para ondas gravitacionais em um universo dominado por matéria, ou seja, constitúıdo de

part́ıculas não relativ́ısticas. Usando a Eq. (2.34) para nosso fator de escala neste cenário

e substituindo na equação dos modos tensoriais, Eq. (3.43):

ḧij(η) + 4

η ḣij(η) + k

2hij(η) = 0, onde agora usamos que ȧ/a = 2/η. (4.6)

Usando novamente a variável conveniente u ≡ kη:

ḧij(u) + 4

u ḣij(u) + hij(u) = 0, (4.7)

a qual pode ser identificada como a equação esférica de Bessel de ordem 1, com solução

geral dada por:

hij() = C

( sin()() cos()

()3

) −D

( cos()() sin()

()3

) . (4.8)

4.2 Universo dominado por matéria 36

Escrevendo a solução acima em termos das funçoes esféricas de Bessel e de Neumann

temos:

hij() = C j1()

+D

n1()

kη . (4.9)

Para valores muito pequenos de , a função esférica de Neumann diverge, tal que

exigimos D ≡ 0. Assim, definindo, como é comum em outros trabalhos [19, 20], C ≡ 3, temos que a solução para modos em um universo dominado por matéria é dado por:

hij() = 3

( sin()() cos()

()3

) . (4.10)

Nos dois casos mostrados acima, para um universo dominado por radiação e para um

universo dominado por matéria não relativ́ıstica, nós consideramos a ausência do stress

anisotrópico dos neutrinos. Assim, podemos ver que as equações dos modos tensoriais

são imediatamente reconhecidas como a equação de um oscilador harmônico amortecido

modificada por coeficientes não constantes. Notamos também que para um universo

dominado por matéria o fator de amortecimento (coeficiente da derivada de primeira

ordem) é duas vezes o respectivo fator para um universo dominado por radiação. Isso

explica um eventual amortecimento mais significativo dos modos de propagação em um

universo dominado por matéria.

Embora essas soluções sejam espećıficas e simples, foi instrutivo apresentá-las, uma

vez que com elas mostramos a possibilidade de obter soluções anaĺıticas para ondas gra-

vitacionais primordiais para alguns cenários particulares.

37

5 Interação de ondas gravitacionais com neutrinos

No caṕıtulo anterior resolvemos as equações dos modos tensoriais para dois universos

particulares, dominado por radiação e dominado por matéria. Consideramos apenas o

caso sem neutrinos, ou seja, sem a influência do stress anisotrópico no tensor momento-

energia. De certa forma, levamos em conta apenas perturbações na métrica.

Neste caṕıtulo iremos estudar a influência do tensor de stress anisotrópico dos neu-

trinos sobre a propagação de ondas gravitacionais primordiais. Uma vez que o tensor de

stress dos fótons pode ser desconsiderado pois estes permanecem acoplados aos bárions

(cosmológicos), de tal modo que interações intermitentes suprimem esta contribuição, e

a contribuição de outras part́ıculas massivas, não relativ́ısticas, são irrelevantes quando

inseridas na equação de Einstein, iremos assumir que a única perturbação sobre o tensor

momento-energia advém da inclusão de neutrinos cosmológicos ao plasma do universo.

As ondas gravitacionais irão interagir com o flúıdo segundo a equação demonstrada no

caṕıtulo 3:

ḧij + 2

a ḣij + k

2hij = 3

2π

(

a

)2 1 + (1−Rν)Ωmγ

F (0)ij , (5.1)

onde F (0)ij é obtido segundo o sistema de equações expandidas em multipolos desenvolvido no mesmo caṕıtulo:

(0)ij = −kF (1) ij −

8π

15 ḣij + C(0)ij , (5.2)

(2)ij = − k

5

[ 3F (3)ij − 2F

(1) ij

] 16π

105 ḣij + C(2)ij , (5.3)

Ḟij (4)

= −k 9

[ 5F (5)ij − 4F

(3) ij

] 8π

315 ḣij + C(4)ij , (5.4)

Ḟij ()

= − k 2+ 1

[ (+ 1)F (+1)ij − ℓF

(ℓ−1) ij

] + C()ij (ℓ ̸= 0, 2, 4). (5.5)

5 Interação de ondas gravitacionais com neutrinos 38

Como já dito, utilizamos o Software Mathematica, versão 7.0, para resolver nossos

cálculos. Durante o desenvolvimento do trabalho, foi posśıvel conhecer e aprimorar

técnicas de integração numérica e de controle de convergência durante os cálculos. Nossa

programação foi toda escrita de modo que o parâmetro levasse em conta a quantidade

de famı́lias de neutrinos considerada. Com isso nossos algoritmos podem, ao menos em

prinćıpio, ser usados para outros modelos teóricos em que a quantidade de neutrinos seja

diferente da prevista pelo modelo padrão.

Em ordem para deixar nosso sistema de equações invariante de escala, iremos des-

crever nossas funções em função da nova variável . Assim, a Eq. (2.35) pode ser

aproximadamente escrita em termos da variável como:

a(η) 2πGρ0Ωm 3

η2 +

√ 8πGρ0Ωr

3 η,

1 k

( 8πG

3 Ωr

)1/2 [()2 4kηeq

+

] , (5.6)

onde ηeq = (3Ωr/(8πG)) 1/2/m é o valor do tempo conforme na igualdade radiação matéria

e foi obtido igualando-se as Eqs. (2.33) e (2.31).

Lembrando que a Eq. (5.1) foi obtida assumindo-se um fundo cosmológico de radiação

e matéria, o qual denominamos RMD, nosso tratamento permite considerar ondas gravi-

tacionais que entraram no horizonte tanto na era da radiação como na era da matéria.

Desse modo, estamos levando em conta ondas com valores de k ∼ 0.1[Mpc]1 (ińıcio da era da matéria) e ondas com valores de k ≫ 0.1[Mpc]1 (era da radiação).

Além de estudar a inclusão dos neutrinos ao plasma, iremos também considerar co-

lisões efetivas inerentes ao flúıdo. O termo responsável pelas colisões no sistema é C(l)ij . Esse termo representa toda forma de interações envolvendo neutrinos, e será mais a frente

parametrizado para poder ser contabilizado em nossos cálculos.

Para levar em conta a adição de neutrinos ao plasma cosmológico, iremos variar o

valor de . Para obter o valor padrão para três famı́lias de neutrinos, escrevemos a

densidade de energia dos neutrinos, ρ̄ν , em termos da densidade de energia dos fótons,

ρ̄γ, como [15]:

ρ̄ν = 3 7

8

( 4

11

)4/3 ρ̄γ, (5.7)

onde o número 3 é a quantidade de famı́lias de neutrinos segundo o modelo padrão.

Então, substitúımos a relação 5.7 na nossa definição de e obtemos o valor para o

caso padrão de três famı́lias de neutrinos, = 0.4052. Desse modo, = 0 representa

5.1 Regime de free-streaming dos neutrinos 39

a ausência do stress anisotrópico dos neutrinos, = 0.4052 o valor padrão, e Rν ≈ 1 representa o caso em que assumimos a existência de outros tipos de graus de liberdade

(Ex.: número extras de sabores). Na verdade, = 1 corresponde a um caso exagerada-

mente limı́trofe para esta contribuição, no caso da mesma ser máxima. Vale ressaltar que

o caso = 1 é mais um limite matemático do que um limite f́ısico, uma vez que segundo

o modelo padrão cosmológico existe um intervalo muito pequeno no qual a quantidade de

famı́lias de neutrinos pode variar [21]. Assumimos os valores cosmológicos padrões para

os parâmetros de densidade Ωi, com i = γ e m, tal que Ωγ/m ≈ 104.

5.1 Regime de free-streaming dos neutrinos

Primeiramente, iremos desconsiderar os efeitos devido ao termo de colisões, ou seja,

C (l) ij = 0 em nosso sistema de equações. Essa consideração caracteriza o regime de free-

streaming dos neutrinos, quando eles já desacoplaram do plasma e comportam-se como

part́ıculas livres, T ≪ 1MeV . Em outras palavras, este regime é relevante para ondas gravitacionais que entram no horizonte após o desacoplamento.

A fim de resolver numericamente nossas equações, as condições iniciais apropriadas

podem ser escritas como ḣij(0) = 0 e F (l)ij (0) = 0. Além isso, iremos usar a mesma arbitrariedade para escolher o valor da amplitude inicial antes dos modos entrarem no

horizonte de Hubble como sendo h (0) ij = 1. Trabalhando com a variável de modo a

suprimir a dependência expĺıcita em k, nós iremos identificar o valor kη ∼ 1 nos gráficos como sendo o momento em que os modos cruzam o horizonte. É importante lembrar que

nossa parametrização feita em a(η) deixa nossa variável η escrita em unidades de ηeq para

o cenário RMD.

Afim de comparar o acoplamento do stress anisotrópico dos neutrinos com ondas

gravitacionais na era de domı́nio da radiação (RD) e em um regime de transição ra-

diação-matéria (RMD), resolvemos o sistema de equações acopladas para 1200 multipolos

e mostramos a amplitude dos modos na Fig. 2.

Como é posśıvel notar na Fig. 2, os modos no domı́nio RMD são amortecidos mais

acentuadamente do que aqueles no domı́nio RD. Isso se deve ao fato de nas curvas RMD

estarmos contabilizando o efeito da matéria. Podemos notar também uma diferença de

fase constante entre as curvas nos dois regimes de domı́nio. Essa fase pode ser natural-

mente explicada devido a diferença de oscilação das respectivas curvas, uma vez que no

5.1 Regime de free-streaming dos neutrinos 40

0 10 20 30 40 50 0.001

0.005

0.010

0.050

0.100

0.500

1.000

kh

h Hkh

h H0L

HRMDL RΝ = 1

HRMDL RΝ = 0.4

HRMDL RΝ = 0

HRDL RΝ = 1

HRDL RΝ = 0.4

HRDL RΝ = 0

Figura 2: Evolução da amplitude das ondas normalizadas hij/h (0) ij como função de para

o cenário cósmico de fundo RD (curvas vermelhas) e RMD (curvas pretas). Os resultados são para stress anisotrópico nulo (curvas pontilhadas), para = 0.4052 (curvas traceja- das), e para = 1 (curvas cont́ınuas). Note que as curvas no regime RMD são descritas para η como múltiplo de ηeq.

limite de domı́nio da radiação,

|hij()| = sin()

kη , (5.8)

e no limite de domı́nio da matéria,

|hij()| = 3 (sin()− kη cos())

()3 . (5.9)

A vantagem de escrever nossos resultados em função de uma variável independente

de escala nos obriga a escrever em unidades de kηeq. Desse modo, a Fig. 3 mostra

o mesmo resultado da Fig. 2, mas agora para η descrito em termos de 0.1ηeq e 0.01ηeq.

Segundo as figuras, podemos notar que a medida que diminúımos a referência de escala

para η como múltiplo de ηeq as curvas no domı́nio RMD tendem às curvas no domı́nio RD.

5.1 Regime de free-streaming dos neutrinos 41

Esse fato é esperado, uma vez que fazendo isso estamos cada vez mais entrando na era

da radiação, ou seja, o efeito devido à matéria passa a ser suprimido. A Fig. 2 também

mostra que a inclusão de neutrinos amortece as ondas gravitacionais, agindo como uma

força de atrito viscoso na propagação dos modos, sendo o efeito, relativo aos neutrinos,

mais notório no domı́nio de radiação.

0 10 20 30 40 50 0.001

0.005

0.010

0.050

0.100

0.500

1.000

kh

h Hkh

h H0L

HRMDL RΝ = 1

HRMDL RΝ = 0.4

HRMDL RΝ = 0

HRDL RΝ = 1

HRDL RΝ = 0.4

HRDL RΝ = 0

0 10 20 30 40 50 0.001

0.005

0.010

0.050

0.100

0.500

1.000

kh

h Hkh

h H0L

HRMDL RΝ = 1

HRMDL RΝ = 0.4

HRMDL RΝ = 0

HRDL RΝ = 1

HRDL RΝ = 0.4

HRDL RΝ = 0

Figura 3: Mesmo gráfico como na Fig. 2, mas agora para η como múltiplo de 0.1ηeq (figura à esquerda) e para η como múltiplo de 0.01ηeq (figura à direita). Note a modificação na diferença de fase entre os três gráficos.

Uma vez que o stress anisotrópico dos neutrinos atua como uma força de atrito vis-

coso, amortecendo as onda gravitacionais, nós podemos tentar avaliar algum comporta-

mento dependente da frequência conforme os neutrinos se desacoplam do plasma. Para

fazer isso, quantificamos o efeito do amortecimento dependente da frequência através

do cálculo da média temporal D(k)2 ≡< 2()2|hij()|2 > como função da escala cosmológica k[Mpc]1. Nossos resultados serão apresentados em termos da escala cos-

mológica η0 5000[Mpc]1. Dessa forma, k será descrito em unidades de [10]. Além disso, da expressão de D(k)2, logo notamos que para hij = sin()/kη obtemos D(k) = 1.

Calculamos nossa quantidade média dependente da frequência para três valores de

, de modo a avaliar o impacto do stress anisotrópico dos neutrinos sobre D(k) 2. A

Fig. 4 mostra o resultado de nossa integração numérica nas eras RD e RMD, de modo a

podermos comparar também a influência da matéria.

Pode ser visto na Fig. 4 a comparação entre as médias D(k)2 na era da radiação (RD)

5.1 Regime de free-streaming dos neutrinos 42

1 2 5 10 20 50

0.01

0.05

0.10

0.50

1.00

Κ Hem unidades de 1Η0L

D HΚ

L2 =

2 XHΚ

Η h

HΚΗ LL2

h 02

HRMDL RΝ = 1 HRMDL RΝ = 0.4 HRMDL RΝ = 0 HRDL RΝ = 1 HRDL RΝ = 0.4 HRDL RΝ = 0

Figura 4: Média temporal de ()2|kij()|2 como função de k[Mpc]1 para a era de domı́nio da radiação (curvas vermelhas) e para um peŕıodo de transição radiação-matéria (curvas pretas). Os resultados são para a ausência do stress anisotrópico (curvas ponti- lhadas), para = 0.4052 (curvas tracejadas), e para = 1 (curvas cont́ınuas). Note a existência de um valor para o qual tanto na RD quanto RMD a curva cont́ınua cruza com as outras duas curvas.

e em um peŕıodo de transição radiação matéria (RMD). A curva pontilhada vermelha

naturalmente representa o caso quando os modos tensoriais são descritos por hij() =

sin()/kη, como já comentamos acima. Podemos notar que a curva obtida para = 1

cruza as curvas para = 0 e para = 0.4 em algum valor descrito em termos de η0.

Uma vez que nossa média é quantificada a partir de uma escala temporal η∗ até o tempo

presente, η = η0, ela é válida apenas para escalas (das ondas gravitacionais) que entram

no horizonte para valores de tempo η < η∗. Assim, podemos indicar superficialmente um

dado valor de a partir do qual o cálculo da média é válido. Em outras palavras, para

valores de k > k̃ temos uma quantidade suficiente de ciclos de oscilação tal que D(k)2

forneça valores representativos.

5.2 Regime relevante para colisões 43

A Fig. 4 também mostra o efeito da inclusão de matéria como constituinte de fundo

cósmico. De forma geral, a matéria atua de forma a aumentar o valor de no qual a

verdadeira média é quantificada. O parâmetro de matéria também deixa menos evidente

a diferença entre a ausência do stress anisotrópico e o valor padrão de neutrinos, =

0.4052. Isso é explicado tendo em vista o termo adicional Ωm/γ na equação dos modos

tensoriais, que surge quando consideramos o peŕıodo de transição radiação-matéria.

5.2 Regime relevante para colisões

Após termos estudado o acoplamento de ondas gravitacionais primordiais ao stress

anisotrópico dos neutrinos para o regime de free-streaming, avaliando a evolução dos

modos tensoriais em função da variável adimensional e calculando a quantidade D(k)2

como nossa média temporal, iremos obter os mesmos resultados no caso em que o termo

de colisões é considerado.

No modelo padrão, neutrinos interagem via interação fraca com e+ e e− através dos

diagramas [22]

n+ νe ←→ p+ e−

n+ e+ ←→ p+ ν̄e.

O desacoplamento dos neutrinos do plasma cosmológico acontece aproximadamente

quando a taxa de expansão do universo, H, passa ser maior do que a taxa de interação

dos neutrinos. A partir disso eles se comportam como part́ıculas livres, e conseguimos os

resultados da Sec. 5.1. Considerando os neutrinos como um único flúıdo, a temperatura

na qual acontece o desacoplamento é T ∼ 1MeV . Desse modo, nossos resultados em que iremos considerar os termos de colisão em nosso sistema de equações acopladas são para

o regime de T > 1MeV .

A consideração de interação de neutrinos é muito complicada e pode ser detalhada-

mente vista em [22, 23]. Assim, em vista para considerar todos os posśıveis tipos de

interações envolvendo neutrinos antes do desacoplamento (T > 1MeV ), iremos adotar

uma parametrização em que o termo C (l) ij representa tais interações. Além disso, iremos

assumir que podemos escrever

Ĉ[f ] = −f0 Ψ

τ , (5.10)

onde τ é o tempo médio entre colisões. Usando toda manipulação algébrica da expansão

5.2 Regime relevante para colisões 44

em multipolos desenvolvida no caṕıtulo 3 para esta parametrização, obtemos

C(l)ij = − F (l)ij τ

. (5.11)

O uso do fator τ como tempo médio entre colisões representa bem o comportamento

de C(l)ij . Para τ ≪ 1 estamos no regime de muitas colisões, o que representa o caso quando os neutrinos estão fortemente acoplados ao plasma. Já τ ≫ 1 condiz com a situação aproximada de free-streaming dos neutrinos, ou seja, raras colisões. Na realidade,

como estamos trabalhando com a variável adimensional , iremos adotar a nova variável

temporal entre colisões , que contém as mesmas caracteŕısticas de τ .

Para kτ ≪ 1, muitas colisões, podemos escrever τ ≪ 1/k. Assim, no limite de τ ≫ 1, k torna-se muito pequeno, de modo que podemos desprezar os termos que multiplicam k

na Eq. (5.5) e temos a equação

(l)ij ≈ − F (l)ij τ

⇒ dF (l)ij F (l)ij

≈ −dη τ

⇒ F (l)ij ∝ e−η/τ , (5.12)

significando que o stress anisotrópico decai exponencialmente com o tempo.

Consequentemente o comportamento assintótico de C(l)ij fica dado por

C(l)ij ∝ − e−η/τ

τ . (5.13)

Para analisar o efeito de colisões sobre a propagação de ondas gravitacionais conside-

ramos os seguintes valores para : 0.01, 0.1, 1, 10. Assim, podemos avaliar a evolução

dos neutrinos passando de um flúıdo fortemente acoplado até quando se comportam apro-

ximadamente como part́ıculas livres. A evolução das ondas gravitacionais quando consi-

deramos termos de colisão, em um peŕıodo de transição radiação-matéria, é mostrada na

Fig. 5.

Como podemos ver na Fig. 5, para o valor padrão = 0.4052 é mostrado apenas

a curva sem colisões. Isso é feito pois, variando o parâmetro de colisões as curvas

vermelhas não sofrem alterações e por isso são sobrepostas. Entretanto, se considerarmos

a possibilidade de muitas famı́lias de neutrinos, = 1, o efeito das colisões torna-se

evidente. A medida que aumentamos o valor de , a evolução das ondas gravitacionais

se aproxima daquela para o caso sem colisões. Sendo que, diminuindo o valor de τ es-

tamos regredindo na história dos neutrinos, chegando ao ponto de um flúıdo fortemente

acoplado, o caso extremo de = 0.01 representa a mı́nima influência dos neutrinos sobre

5.2 Regime relevante para colisões 45

0 10 20 30 40 50 0.001

0.005

0.010

0.050

0.100

0.500

1.000

kh

h Hkh

h H0L HRΝ = 1L kΤ = 0.01

HRΝ = 1L kΤ = 0.1

HRΝ = 1L kΤ = 1

HRΝ = 1L kΤ = 10

HRΝ = 1L Sem Colisões

HRΝ = 0.4L Sem Colisões

Figura 5: Evolução da amplitude das ondas normalizadas hij/h (0) ij como função de

para era RMD no caso em que consideramos termos de colisão. Os resultados são para = 0.01, 0.1, 1, e 10 e para o caso sem colisões de acordo com a legenda, com τ em unidades de η0 e k em unidades de 10. Nossos resultados são para três famı́lias de neutrinos, = 0.4052 (curvas vermelhas), e para o caso extremo de um grande número de famı́lias de neutrinos, = 1.

a propagação das ondas gravitacionais, uma vez que o efeito de F (l)ij torna-se despreźıvel.

Para avaliar o efeito das colisões sobre a média temporal das ondas gravitacionais,

D(k)2, consideramos dois valores aproximadamente limı́trofes quanto à nossa parame-

trização de : 0.01 e 10. Com isso, podemos estudar o efeito de raras colisões (= 10)

e muitas colisões (= 0.01) sobre D(k)2. Nossos resultados são mostrados na Fig. 6.

Como mostrado na Fig. 6, as curvas concordam com as interpretações f́ısicas para os

limites de kτ ≪ 1 e para kτ ≫ 1. Podemos notar também que para muitas colisões a curva para = 1 torna-se aproximadamente idêntica à curva para = 0.4052, confirmando o

fato de que o aumento de colisões suprime a atuação do stress anisotrópico dos neutrinos

como uma força viscosa de atrito.

Nossa análise neste caṕıtulo deu-se em torno da influência do stress anisotrópico dos

5.2 Regime relevante para colisões 46

10 5020 3015

0.01

0.05

0.10

0.50

1.00

Κ Hem unidades de 1Η0L

D HΚ

L2 =

2 XHΚ

Η h

HΚΗ LL2

h 02

HRΝ = 1L kΤ = 0.01 HRΝ = 1L kΤ = 10 HRΝ = 1L Sem colisões HRΝ = 0.4 L kΤ = 0.01 HRΝ = 0.4 L kΤ = 10, HRΝ = 0.4 L Sem colisões

Figura 6: Média temporal de ()2|hij()|2 como função de k[Mpc]1 para o cenário RMD em que levamos em conta termos de colisão. Os resultados são para = 0.01 e 10 e para os casos sem colisões de acordo com a legenda, com τ em unidades de η0 e k em unidades de 10.

neutrinos sobre as ondas gravitacionais primordiais. Para isso, estudamos o comporta-

mento da amplitude das ondas e calculamos a média temporal, D(k)2. Separamos nosso

estudo em duas partes, na ausência e inclusão de colisões. Mostramos que, para um dado

valor de tal que kτ ≪ 1, recuperamos o resultado de ausência do tensor de stress anisotrópico. De fato, notamos que a medida que diminui, C(l)ij aumenta, e por outro lado F (l)ij decai exponencialmente, segundo as Equações (5.12) e (5.13).

Nossos resultados mostram também que o valor de para o qual o número de ciclos de

oscilação passa a ser suficiente para realizar a média D(k)2 é alterado sutilmente devido

a inclusão de colisões parametrizadas por . O parâmetro e o comportamento das

curvas para = 0.4052 são recuperados quando levamos em conta kτ ≪ 1 para = 1.

47

6 Contribuição do stress anisotrópico dos neutrinos na temperatura da RCF

Neste caṕıtulo, vamos quantificar a contribuição do stress anisotrópico dos neutrinos

sobre a temperatura da radiação cósmica de fundo (RCF). A detecção direta de aniso-

tropias na temperatura da RCF foi realizada pelo satélite COBE (Cosmic Background

Explorer)[1]. De forma geral, as anisotropias na temperatura podem ser escritas como

a temperatura de fundo dos fótons (T0) mais uma pequena perturbação no campo de

temperatura:

T (x⃗, p̂, η) = T (η)[1 + Θ(x⃗, p̂, η)], (6.1)

onde Θ(x⃗, p̂, η) = δT/T .

Embora este campo de temperatura seja definido em cada ponto do espaço-tempo,

nós podemos observar somente na data e no local em que estamos atualmente, ou seja, ob-

servamos nas coordenadas presentes (x⃗0, η0) [15]. Assim, é posśıvel medir anisotropias na

RCF devido a dependência na direção p̂. Seguindo o procedimento usual, nós expandimos

a perturbação no campo de temperatura em harmônicos esféricos [15, 24]:

Θ(x⃗, p̂, η) = δT

T0 =

l=1

lm=−l

alm(x⃗, η)Ylm(p̂). (6.2)

Aqui, usamos T0 para representar a temperatura dos fótons de fundo cósmico. Desta

expressão, toda informação contida no campo de temperatura também pode ser conse-

guida através da amplitude dependente do espaço-tempo alm. Para descrever alm em

termos do campo Θ, usamos a relação de ortogonalidade dos harmônicos esféricos:∫ dΩYlm(p̂)Yl′m′(p̂) = δll′δmm′ , (6.3)

onde Ω é o ângulo sólido em termos de p̂.

6.1 Cl para perturbações tensoriais 48

Multiplicando ambos os lados da Eq. (6.2) por Y ∗lm(p̂) e integrando, obtemos

alm(x⃗, η) = ∫ d3k

(2π)3 eik⃗·p⃗

dY ∗lm(p̂)Θ(k⃗, p̂, η). (6.4)

Note que fizemos a transformada de Fourier em Θ(x⃗, p̂, η). Para calcular a variância

devido a perturbações na temperatura, nós multiplicamos a Eq. (6.4) por a∗lm, tal que

chegamos em

δll′δmm′Cl ≡ alma∗lm = ∫

d3k

(2π)3

dY ∗lm(p̂)Θ(k⃗, p̂)

d′Y ∗lm(p̂

′)Θ(k⃗′, p̂′) (6.5)

6.1 Cl para perturbações tensoriais

Com base nos elementos matriciais que representam perturbações tensoriais na métrica,

podemos decompor a perturbação tensorial na temperatura como

ΘT (k, µ, ϕ) = ΘT+(k, µ)(1− µ2) cos(2ϕ) + Θ(k, µ)(1− µ2) sin(2ϕ), (6.6)

onde (1−µ2) = sin2(θ) e µ = cos(θ), e o sobrescrito “T” representa apenas a contribuição tensorial no campo de temperatura.

A partir disso a contribuição tensorial para a variância de temperatura fica dada por

[15]:

CTl,i = (l − 1)l(l + 1)(l + 2)

π

0

dk k2× ∣∣∣∣∣ Θ

T l−2,i

(2l − 1)(2l + 1) + 2

ΘTl,i (2l − 1)(2l + 3)

+ ΘTl+2,i

(2l + 1)(2l + 3)

∣∣∣∣∣ 2

,

(6.7)

onde i denota os modos representados por + e ×, e ΘTl,i é obtido de

ΘTl,i = 1

2

η0 η∗

dη jl[k(η0 − η)]ḣij,

Θ T (MD) l,i ≈ −

1

2

η0 η∗

dη jl[k(η0 − η)] d

[ 3j1()

] P

1/2 h , (6.8)

onde a última linha é uma aproximação anaĺıtica para o cenário de domı́nio da matéria e

P 1/2 h é a amplitude inicial das ondas gravitacionais.

Substituindo a Eq. (6.8) na Eq. (6.7):

CTl = 2 9(l − 1)l(l + 1)(l + 2)

4π

0

dkk2Ph(k)

× ∣∣∣∣∫ η0

0 d()

j2()

[ jj−2(k[η0 − η]) (2l − 1)(2l + 1)

+ 2 jl(k[η0 − η])

(2l − 1)(2l + 3) +

jl+2(k[η0 − η]) (2l + 1)(2l + 3)

]∣∣∣∣2 .(6.9)

6.1 Cl para perturbações tensoriais 49

Na expressão acima assumimos que estamos interessados em valores de η∗ ≪ η0, tal que consideramos η∗ = 0 no limite de integração. Usamos também o fato de que (j1/x)

=

−j2/x. Além disso, o fator 2 vem do fato de estarmos somando as componentes + e × dos modos tensoriais. Usando a seguinte expressão para o espectro de potencia das onda

gravitacionais:

Ph(k) = 8π

k3 H2

m2PI , (6.10)

onde estamos assumindo a aproximação de slow-roll para a inflação, e definindo novas

variáveis de integração y ≡ kη0 e x ≡ kη, nós finalmente conseguimos uma expressão final para CTl :

CTl = 36

( Hinf mPI

)2 (l − 1)l(l + 1)(l + 2)

0

dy

y

× ∣∣∣∣∫ y

0 dx

j2(x)

x

[ jl−2(y − x)

(2l − 1)(2l + 1) + 2

jl(y − x) (2l − 1)(2l + 3)

+ jl+2(y − x)

(2l + 1)(2l + 3)

]∣∣∣∣2 . (6.11) Na expressão, Hinf representa o valor do parâmetro de Hubble durante o peŕıodo infla-

cionário do universo ou, de forma mais precisa, quando os modos de interesse cruzaram o

horizonte (kη ∼ 1).

Devido a está expressão ter sido obtida para soluções na era de domı́nio da matéria,

ela é válida apenas para pequenos valores de multipolos. Para conseguirmos incluir ondas

gravitacionais que entraram no horizonte na era da radiação, podemos usar uma função

transferência T (k/keq), onde keq é a escala que entra no horizonte na igualdade radiação-

matéria, ou resolver as equações para CTl no peŕıodo de transição radiação-matéria RMD.

Nossos resultados são obtidos para o domı́nio RMD, mas comparamos eles com a solução

anaĺıtica no caso sem neutrinos.

A fim de comparar nossos resultados no regime RMD com a solução anaĺıtica na era da

matéria inserindo uma função transferência, resolvemos o caso anaĺıtico usando a função

transferência obtida em [19]:

T (k/keq) = [1.0 + 1.34(k/keq) + 2.50(k/keq) 2]1/2. (6.12)

Em termos gerais, a função transferência acima garante que consideremos ondas gra-

vitacionais que entram no horizonte na era da radiação. Existem outras funções trans-

ferência, porém são funções de ajuste fino, usadas para estudar algum fenômeno espećıfico.

Portanto, para os objetivos de nosso trabalho, o uso apenas da Eq. (6.12) é suficiente.

A Fig. 7 mostra a diferença em se considerar modos que entraram no horizonte na era

da radiação através do uso da função transferência, Eq. (6.12). Vemos que para baixos

6.1 Cl para perturbações tensoriais 50

valores de multipolos a diferença não é significativa.

2 5 10 20 50 100 0.10

1.00

0.50

0.20

2.00

0.30

0.15

1.50

0.70

l

lHl+ 1 LC

l

Domínio MD + RD

Domínio MD

Figura 7: Contribuição tensorial para o espectro de potência angular para o caso anaĺıtico sem a função transferência (curva pontilhada) e com a função transferência para levar em conta modos que entraram no horizonte na era da radiação (curva cont́ınua). Note que para baixos valores de multipolo as curvas são aproximadamente as mesmas.

6.1.1 CTl para o domı́nio RMD

A fim de contabilizar o efeito do stress anisotrópico dos neutrinos sobre a variância

de temperatura da RCF através do espectro de potência angular, CTl , nós calculamos

numericamente a contribuição tensorial para o domı́nio RMD. Primeiramente, analisa-

mos o caso sem colisões, C(l)ij = 0. Nossos resultados são apresentados na Fig. 8, onde comparamos nossa solução numérica para = 0 com a solução anaĺıtica.

Como podemos observar, nossos resultados para = 0 seguem bem a curva anaĺıtica

até l ∼ 30, ou seja, para baixos valores de multipolos conseguimos bons resultados quando comparados com outros trabalhos de caráter anaĺıtico [19] e numérico [25]. A figura

também mostra uma diferença sutil quando consideramos o valor padrão de três famı́lias de

neutrinos (= 0.4052) em comparação ao resultado na ausência do stress anisotrópico.

6.1 Cl para perturbações tensoriais 51

2 5 10 20 50 100 0.10

1.00

0.50

0.20

2.00

0.30

0.15

1.50

0.70

l

lHl +

1 LC

l

Curva analítica

RΝ = 1

RΝ = 0.4

RΝ = 0

Figura 8: Contribuição tensorial para o espectro de potência angular no cenário RMD. Os resultados são para o stress anisotrópico nulo (curva pontilhada), para = 0.4052 (curva tracejada), e para = 1 (curva cont́ınua). Comparamos ainda com a solução anaĺıtica para = 0 (curva azul).

Entretanto, quando consideramos muitas famı́lias de neutrinos (= 1), o efeito passa

a ser mais efetivo, de modo que temos uma diminuição aproximadamente constante nos

valores de CTl até l ∼ 90, quando temos uma queda acentuada das curvas numéricas.

Analisamos também o efeito das colisões parametrizadas por um tempo médio entre

colisões τ sobre nossas equações. O procedimento de se incluir colisões é completamente

análogo ao feito no caso apresentado na Sec.5.2 e novamente mostramos resultados para

= 0.01, 0.1, 1, e 10. Nossos resultados são vistos na Fig. 9.

As diferenças devido aos termos de colisão são impercept́ıveis quando levamos em

conta três famı́lias de neutrinos. Por causa disso, é mostrado apenas a curva do CTl

para = 0.4052 sem colisões, uma vez que as outras se sobrepõem a esta última. Um

efeito mais aparente seria notado se levássemos em conta apenas modos que entraram

no horizonte de Hubble na era da radiação. O efeito de se considerar muitas colisões

no sistema, (kτ ∼ 0.01), para = 1, faz com que os CT,sl se aproximem dos valores

6.1 Cl para perturbações tensoriais 52

2 5 10 20 50 100 0.10

1.00

0.50

0.20

2.00

0.30

0.15

1.50

0.70

l

lHl +

1 LC

l

HRΝ = 1L kΤ = 0.01

HRΝ = 1L kΤ = 0.1

HRΝ = 1L kΤ = 1

HRΝ = 1L kΤ = 10

HRΝ = 1L Sem Colisões

HRΝ = 0.4L Sem Colisões

Figura 9: Contribuição tensorial para o espectro de potência angular para o cenário RMD considerando termos de colisão. Os resultados são para = 0.01, 0.1, 1, e 10. Os casos sem colisões são mostrados de acordo com a legenda.

calculados para = 0.4052, como mostrado na Fig. 9 e também discutido quando

analisamos o impacto das colisões sobre a amplitude dos modos tensoriais. Isso ratifica

o fato de que a inclusão de colisões contrabalanceia o efeito do stress anisotrópico dos

neutrinos, uma vez que os neutrinos estão fortemente acoplados ao plasma.

6.1.2 Discussão sobre o termo de quadrupolo CT2 e o fator r

Neste último tópico sobre a influência do stress anisotrópico dos neutrinos, iremos

discutir brevemente seu impacto na razão entre a contribuição tensorial e a contribuição

escalar na variância de temperatura. Além disso, iremos também comentar sobre um

parâmetro de slow-roll para garantir o modelo mais simples de inflação.

A fim de se comparar os efeitos das contribuições escalar e tensorial sobre a variância

6.1 Cl para perturbações tensoriais 53

de temperatura da RCF, é comum definir um parâmetro r tal como [24, 26]

r ≡ C T l

CSl , (6.13)

onde CTl é a contribuição tensorial e C S l é a contribuição escalar.

Esta razão para quantificar o impacto das ondas gravitacionais é aproximada, pois

ela assume um espectro independente do multipolo l. Em geral, as contribuições escalar

e tensorial são dependentes de l. Além disso, a contribuição escalar é levada em conta

assumindo-se apenas o efeito Sachs-Wolfe [15, 27]. Devido a isso, o fator r é mais co-

mumente definido considerando o termo de quadrupolo para as contribuições escalar e

tensorial, tal que

r = CT2 CS2

. (6.14)

Levando-se em conta a ausência de qualquer anisotropia sobre o tensor momento-

energia, a razão entre CT2 e C S 2 é dada por [15, 24]

r = 13.86ϵ, (6.15)

onde ϵ é um parâmetro usado para caracterizar a aproximação de slow-roll e é definido

por [26]:

ϵ ≡ m 2 PI

16π

( V ′

V

)2 ≃ − Ḣ

H2 , (6.16)

tal que a condição de slow-roll exige ϵ ≪ 1 durante a inflação, vide apêndice I.

Assumindo que essas aproximações são válidas e que o stress anisotrópico dos neu-

trinos não altera o valor da contribuição escalar, CS2 , nós calculamos a influência dos

neutrinos ao plasma cosmológico através de CT2 e apresentamos novos valores para o fator

r, mostrados na Tab. 1, onde levamos em conta apenas a inclusão de neutrinos. Resulta-

dos considerando termos de colisão parametrizados por um tempo médio entre colisões τ

são mostrados na Tab. 2. Nossos resultados foram calculados assumindo o cenário RMD.

Sendo que ϵ = −Ḣ/H2, os resultados acima mostram que a contribuição gravitacional é desconsiderada, se e somente se, a inflação evolui de modo exponencial, de acordo com

as condições de slow-roll. Infelizmente, os resultados não mostram uma diferença entre

a ausência do stress anisotrópico dos neutrinos e = 0.4052, até a precisão de nossos

resultados. Entretanto, quando levamos em conta a existência de outros graus de liberdade

de neutrinos, tal que = 1, nossos resultados mostram uma diferença percept́ıvel, em

6.1 Cl para perturbações tensoriais 54

Rν C T 2 r

0 0.18534 13.86ϵ 0.4052 0.18534 13.86ϵ 1 0.1387 10.39ϵ

Tabela 1: Valores de CT2 e as respectivas razões entre a contribuição escalar e tensorial para o termo de quadrupolo, para stress anisotrópico dos neutrinos nulo (= 0), para = 0.4052 e para diversas famı́lias de neutrinos (= 1). Os resultados são para o domı́nio RMD.

kτ CT2 (= 0.4) r(= 0.4) C T 2 (= 1) r(= 1)

= 10 0.1853 13.86ϵ 0.1424 10.67ϵ kτ = 1 0.1853 13.86ϵ 0.1612 12.07ϵ kτ = 0.1 0.1853 13.86ϵ 0.1812 13.56ϵ kτ = 0.01 0.1853 13.86ϵ 0.1849 13.85ϵ

Tabela 2: Valores de CT2 e as respectivas razões entre a contribuição escalar e tensorial para o termo de quadrupolo, para o caso em que consideramos termos de colisão, para o valor padrão de três famı́lias de neutrinos, = 0.4052, e para = 1. Os resultados são para um universo RMD.

particular quando levamos em conta os termos de colisão, Tab. 2.

55

7 Conclusões

A detecção direta de ondas gravitacionais primordiais proporcionaria uma nova e

única maneira de analisar os momentos mais remotos da história do universo, a saber, o

peŕıodo inflacionário. Além de contribuir para o estudo de diversos modelos teóricos em

cosmologia, podeŕıamos analisar dados em uma escala de energia além da gerada pelos

aceleradores de part́ıculas atuais. A detecção direta destas ondas provenientes do peŕıodo

inflacionário talvez seja posśıvel em um futuro próximo, devido aos projetos de inter-

ferômetros em andamento, em particular através da detecção de alterações na polarização

da radiação cósmica de fundo.

Neste trabalho, nós estudamos teoricamente o acoplamento do tensor de stress ani-

sotrópico dos neutrinos sobre ondas gravitacionais primordiais. Avaliamos o impacto do

stress anisotrópico sobre a propagação das ondas e também suas consequências sobre a

variância da temperatura da radiação cósmica de fundo através do cálculo de CTl . Através

de cálculos anaĺıticos e numéricos, mostramos que a inclusão de neutrinos ao plasma causa

um amortecimento das ondas gravitacionais, em analogia a um oscilador harmônico amor-

tecido. Sendo dois os efeitos que atuam sobre a propagação das ondas, a expansão do

universo e a inclusão de neutrinos, foi posśıvel mostrar que o stress anisotrópico dos

neutrinos se comporta como uma força de atrito viscoso na propagação das ondas gra-

vitacionais, absorvendo parte dessas ondas principalmente no limite de k ≪ 0.1[Mpc]1

(grandes comprimentos de onda).

Através da decomposição dos modos tensoriais, nós também estudamos o efeito do

stress anisotrópico sobre a temperatura da radiação cósmica de fundo. Considerando

apenas o efeito Sachs-Wolfe relativo a perturbações escalares, e assumindo que os neutri-

nos interagem apenas com as ondas gravitacionais, recalculamos a contribuição da parte

tensorial em relação a parte escalar da variância da temperatura, CT2 /C S 2 . Mostramos

que nosso sistema de equações acopladas, constrúıdo através da expansão em multipo-

los, permite encontrar resultados mais precisos e suficientemente generalizados quando

comparado com resultados anaĺıticos na ausência do stress anisotrópico dos neutrinos.

7 Conclusões 56

Em todos nossos resultados, consideramos o efeito de interações a partir de termos

de colisão parametrizados por um parâmetro τ , para o caso padrão de três famı́lias de

neutrinos = 0.4052 e assumindo um grande número de famı́lias de neutrinos = 1.

Notamos uma modificação na amplitude das ondas quando levamos em conta variações

em τ , além das curvas de CTl para o caso = 1 tenderem ao caso = 0.4052 quando

τ ∼ 0.01. Fisicamente, esse último fato é esperado, uma vez que diminuindo o valor de τ estamos considerando os neutrinos ainda mais acoplados ao plasma e portanto o efeito do

stress anisotrópico torna-se despreźıvel. Uma vez que analisamos o impacto dos neutrinos

sobre a temperatura da radiação cósmica de fundo, vimos que as ondas gravitacionais

atuam como uma conexão entre a inclusão de neutrinos e seu efeito sobre CTl .

Embora efeitos sutis tenham sido conseguidos quando consideramos o valor padrão

de = 0.4052, a possibilidade exótica de um maior número de graus de liberdade

para os neutrinos foi estudada assumindo = 1. Assim, uma vez que dados futuros

possam identificar um maior número de fontes que causam anisotropias na temperatura

da radiação cósmica de fundo, a possibilidade envolvendo neutrinos pode ser avaliada

observacionalmente através do fator r.

Em última análise, nosso estudo passa a fazer parte de uma variedade de outros traba-

lhos sobre a inclusão de neutrinos ao plasma cosmológico. Nossa desvantagem aparente em

tratar numericamente o problema é compensada pelo fato de considerarmos um peŕıodo

de transição radiação-matéria (RMD), além da possibilidade de obtermos resultados, a

prinćıpio, para qualquer modelo cosmológico que assuma outras quantidades de famı́lias

de neutrinos.

57

Referências

[1] C. L. Bennett, et al., The Astrophysical Journal Letters 464, L1 (1996).

[2] A. Abramovici et al., Science 256, 325 (1992); B. Abbott, et al., Nucl. Instrum. Meth. A517, 154 (2004). Veja também http://www.ligo.org/.

[3] B. Caron et al., Class. Quantum Grav. 14, 1461 (1997); F. Acernese et al., Class. Quant. Grav. 25, 114045 (2008). Veja também http://www.virgo.infn.it/.

[4] H. Lück et al., Class. Quantum Grav. 14, 1471 (1997); B. Willke et al., Class. Quant. Grav. 23, S207 (2006). Veja também http://www.geo600.uni-hannover.de/.

[5] K. Kawabe et al., Class. Quantum Grav. 14, 1477 (1997).

[6] K. Danzmann et al., Class. Quantum Grav. 14, 1399 (1997); P. L. Bender et al., Laser Interferometer Space Antenna for the Detection and Observation of Gravita- tional Waves: Pre-Phase A Report 2nd Edition, (MPQ233, Max-Plank Institut fur Quantenoptik, 1998).

[7] O. D. Aguiar et al., Class. Quantum Grav. 25, 114042 (2008).

[8] R. Benini, M. Lattanzi, G. Montani, Gen. Rel. Gra. 43, 945 (2011).

[9] R. Benini, M. Lattanzi, G. Montani, Class. Quantum Grav. 27, 194008 (2010).

[10] S. Weinberg, Phys. Rev. D69, 023503 (2004).

[11] A. E. Bernardini e E. L. D. Perico, JCAP 01, 10 (2011).

[12] C. P. Ma and E. Bertschinger, Astrophys. J. 455, 7 (1995).

[13] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (Wiley, New York, 1972).

[14] S. M. Carroll, Spacetime and geometry. An introduction to general relativity (Pearson Addison Wesley, 2004).

[15] S. Dodelson, Modern cosmology (Academic Pr., 2003).

[16] V. F. Mukhanov, Physical foundations of cosmology (Cambridge Univ. Pr., 2005).

[17] R. Durrer, The physics of the early universe 653, 31 (2005).

[18] J. Garćıa-Bellido, D. G. Figueroa, Phys. Rev. Lett. 98, 61302 (2007).

[19] M. S. Turner, M. White, J. E. Lidsey, Phys. Rev. D48, 4613 (1993).

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Referências 58

[21] http://pdg.lbl.gov/2012/listings/rpp2012-list-number-neutrino-types.pdf.

[22] S. Hannestad, New J. Phys. 6, 108 (2004).

[23] A. D. Dolgov, Phys. Rept. 370, 333 (2002).

[24] A. R. Liddle, D. H. Lyth, Cosmological inflation and large-scale structure (Cambridge Univ. Pr., 2000).

[25] J.R. Pritchard and M. Kamionkowski, Annals Phys. 318, 2 (2005).

[26] A. R. Liddle and D. H. Lyth, Phys. Lett. B291, 391 (1992).

[27] P. J. E. Peebles, Principles of Physical Cosmology (Princeton Univ. Pr.,1993).

59

Apêndice I

Um peŕıodo inflacionário durante a evolução do universo é necessário para explicar al-

gumas questões não completamente respondidas no modelo cosmológico padrão em relação

aos dados observacionais. O peŕıodo inflacionário pode ser expresso em termos do fator

de escala como

ä > 0. (7.1)

Um importante problema que a inflação resolve é o problema do horizonte. De forma

geral, a distribuição de temperatura da radiação cósmica de fundo que observamos é

uniforme. Entretanto fótons que estavam separados por uma distância maior do que a

escala do horizonte na última superf́ıcie de espalhamento não teriam interagido antes do

desacoplamento. Assim, o modelo do Big Bang por si só não explica a uniformidade na

temperatura da RCF. Se considerarmos a inflação, então o problema do horizonte pode

ser resolvido devido a redução do raio comóvel de Hubble durante o peŕıodo inflacionário,

o que explica a homogeneidade na temperatura da radiação de fundo, pois agora os fótons

passariam a ter contato causal e portanto interagiriam antes do desacoplamento.

Supondo um campo escalar gerador do peŕıodo inflacionário, as condições de slow-roll

sobre o potencial de inflação para se analisar modelos inflacionários são definidas como

ϵ ≡ m 2 PI

16π

( V ′

V

)2

η ≡ m 2 PI

8π

V ′′

V , (7.2)

onde ’ representa derivadas em relação ao campo escalar ϕ, com:

ϵ ≪ 1 e |η| ≪ 1. (7.3)

A partir destas aproximações, é posśıvel estabelecer uma relação entre o parâmetro

de Hubble durante o peŕıodo inflacionário e a magnitude do potencial inflacionário. O

parâmetro η nada tem a ver com o tempo conforme.

60

Apêndice II

Para perturbações tensoriais, a contribuição para a variância devido a perturbação na

temperatura, ΘT , Eq. (6.5), é dada por

CTl = ∑ l′l′′

(−i)l′+l′′(2l′ + 1)(2l′′ + 1) ∫ d3k

(2π)3 ΘTl′ (k

T,∗ l′′ (k)Ilml′(k)I

∗ lml′′(k), (7.1)

onde foi definido

Ilml′(k) =

√ 8π

15

dΩPl′(k̂ · γ̂)Ylm(Ω)[Y22(Ω) + Y22(Ω)]. (7.2)

Na expressão acima, o fator (8π/15)1/2[Y22 + Y22] vem da combinação do termo

sin2(θ) cos(2ϕ), que aparece na Eq. (6.6), em função de harmônicos esféricos. Devido a

isso, esta última equação é válida apenas para os modos +. Entretanto, a expressão para

os modos × é idêntica.

A principal dificuldade está em resolver a integral em Ilml′ , que não é trivial. Reescre-

vendo o polinômio de Legendre como [4π/(2l′ + 1)]1/2Yl′0/i l′ , transformamos a expressão

em uma integral de produtos de três harmônicos esféricos. Esse produto pode ser rees-

crito em termos dos śımbolos de Wigner 3 − j, usando, por exemplo, o livro Quantum Mechanics(Landau And Lifshits). A integral fica então dada por

Ilml′ =

√√√√ 32π2 15(2l′ + 1)

1

il′ < lm|Y22 + Y22|l′0 >, (7.3)

sendo esta expressão diferente de zero para m = 2 ou m = 2. Para m assumindo um desses dois valores, o elemento de matriz é

< lm|Y22 + Y22|l′0 >= il ′−l

 l 2 l′ 0 0 0

[5(2l′ + 1)(2l + 1) 4π

]1/2  l 2 l′ −2 2 0

 . (7.4) As únicas vezes que o elemento de matriz é diferente de zero são quando l′ = l −

2, l, l + 2. Assim, usando novamente a referência citada, temos o resultado final:

Ilml′ =

√ 8π

3

2l + 1i−l(δm,2 + δm,−2)[c−2δl′,l−2 + c0δl′,l + c2δl′,l+2], (7.5)

Apêndice II 61

onde os coeficientes são

c−2 =

6

4

[(l − 1)l(l + 1)(l + 2)]1/2

(2l − 3)(2l − 1)(2l + 1)

c0 = 2

6

4

[(l − 1)l(l + 1)(l + 2)]1/2

(2l − 1)(2l + 1)(2l + 3)

c2 =

6

4

[(l − 1)l(l + 1)(l + 2)]1/2

(2l + 1)(2l + 3)(2l + 5) . (7.6)

A partir desses coeficientes e através de manipulações algébricas obtemos a Eq. (6.7).

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