Operadores Auto-Adjuntos, Bases Ortonormais, Operadores Compactos- Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Operadores Auto-Adjuntos, Bases Ortonormais, Operadores Compactos- Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Operadores Auto-Adjuntos, Bases Ortonormais, Operadores Compactos
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 8: Operadores Auto-Adjuntos, Bases Ortonormais, Operadores Compactos

1. Seja T ∈ L(H) com H espaço de Hilbert complexo. Mostre que existem únicos opera- dores auto-adjuntos TR e TI de forma que T = TR + iTI e T

= TR − iTI . Verifique que o operador T é normal se, e somente se, TR e TI comutam entre si; e que é unitário se,

e somente se, TR e TI comutam entre si e T 2 R + T

2 I = 1.

2. Seja H um espaço de Hilbert e seja (Tn)n um sequência de operadores auto-adjuntos em

L(H). Mostre que se Tn w−→ T então T é auto-adjunto.

3. Sejam H um espaço de Hilbert complexo e T ∈ L(H). Verifique que:

(a) T é normal se, e somente se, ∥Tx∥ = ∥T ∗x∥, para todo x ∈ H

(b) Se T é normal, então NucT = NucT ∗ = (ImT ); consequentemente, se α ∈ C é autovalor do operador normal T , então ᾱ é autovalor de T ∗.

(c) Se α ̸= β são autovalores de um operador normal T , então os auto-espaços corres- pondentes são ortogonais entre si.

(d) Se T 2 = T e T é normal então T é auto-adjunto e, portanto é um operador de

projeção ortogonal.

4. Sejam PE e PF operadores de projeção ortogonal sobreos subespaços fechados E,F ∈ H, respectivamente. Mostre que se ImPE ∩ NucPF ̸= {0}, então ∥PE − PF∥ = 1. Quando (PE − PF ) é um operador de projeção ortogonal?

5. Sejam E, F subespaços fechados de H e PE, PF os operadores de projeção ortogonal

correspondentes. Demonstre que E ⊥ F se, e somente se, PEPF = PFPE = 0.

6. Seja T : l2(Z) → l2(Z) dado por (Tx)n = (xn+1−xn−1), sendo x = (. . . , x−2, x−1, x0, x1, x2, . . . ). Mostre que T é limitado. Determine ∥T∥ e T ∗.

7. Mostre que toda sequência ortonormal num espaço de Hilbert converge fracamente para

zero, mas não converge fortemente.

8. Em cada um dos casos abaixo, aplique o processo de ortonormalização Gram-Schmidt

aos três primeiros termos apresentados.

(a) H = L2[1, 1], e pj(t) = tj, j = 0, 1, . . . . Os polinômios ortonormais resultantes são chamados polinômios de Legendre.

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(b) H = L2(R), e ψj(t) = tje− t2

2 , j = 0, 1, 2, . . . . Os polinômios resultantes são

chamados polinômios de Hermite.

9. (a) Mostre que se T : X → Y é um operador linear compacto então sua imagem, T (X) é separável.

(b) Mostre que o operador linear T : X → Y é compacto se, e somente se, TB(0, 1) é compacto.

10. Mostre que todo autovalor de um operador auto-adjunto é real.

11. Prove se ψ ∈ L2[0, 2π] então

lim n→∞

∫ 2π 0

e−intψ(t) dt = 0

12. Usando que L2[0, 2π] é denso em L1[0, 2π], mostre que o exerćıcio anterior vale para ψ

em L1[0, 2π]. (Tal resultado é conhecido como Lema de Riemann-Lebesgue).

13. Seja T ∈ L(H1, H2) onde H1, H2 são espaços de Hilbert. Mostre que T é de posto finito se, e somente se, seu adjunto de Hilbert T ∗ é de posto finito, neste caso tem-se

dim ImT = dim ImT ∗.

14. Seja H um espaço de Hilbert separável de dimensão infinita.

(a) Se (xn) é uma base ortonormal deH, Mostre que o operador linear Tx = ∑

n=1 an⟨xn, x⟩xn, com an tomando apenas os valores 0 ou 1, é limitado. Mostre que a distância, em

L(H), entre dois desses operadores (distintos, é claro) é sempre igual a 1. Conclua

que L(H) não é separável.

(b) Mostre que existe uma sequência (Pn) de operadores de posto finito em L(H), com

Pn s−→ 1, e de forma que todo operador compacto T ∈ L0(H) tem-se PnTPn → T .

Conclua que L0(H) é um conjunto separável de L(H).

15. Sejam X,Y espaços vetoriais normados e T : X → Y uma transformação linear onde X é reflexivo tal que T leva sequências fracamente de Cauchy em sequências fortemente

convergentes. Mostre que T é um operador compacto.

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