Operadores limitados, dualidade, transformações lineares - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Operadores limitados, dualidade, transformações lineares - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Operadores limitados, dualidade, transformações lineares.
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 2: Operadores limitados, dualidade, transformações lineares

1. Sejam X um espaço de Banach e T ∈ L(X). Mostre que, para todo t ∈ F, o operador exp(tT ) definido por

exp(tT ) = j=0

(tT )j

j!

pertence a L(X) e exp(tT )∥ ≤ exp(|t|∥T∥).

2. Mostre que se X1 e X2 são espaços normados e T ∈ L(X1, X2) então seu núcleo N(T ) é um subespaço vetorial fechado. Verifique que S : l1(N) → l1(N), (Sx)n =

xn n

é limitado

mas sua imagem img(S) não é fechado, e que seu operador inverso S−1 : img(S) → l1(N) existe e não é limitado.

3. Seja f um funcional linear sobre o espaço vetorial normado X.

(a) Mostre que f ∈ X∗ se, e somente se, existe C > 0 com |f(x)| ≤ C para todo x em alguma bola B(y, δ). Generalize para operadores lineares entre espaços normados.

(b) Mostre que f ∈ X∗ se, e somente se, N(f) é fechado. Dê um exemplo para mostrar que isso nem sempre vale para operadores lineares.

(c∗) Mostre que se f é ilimitado então seu núcleo é denso.

4. Discuta se o núcleo do funcional f : (l1(N), ∥.∥∞) F, definido por f(x1, x2, . . . ) =∑∞ j=1 xj, é fechado.

5. Seja X um espaço vetorial normado de dimensão infinita. Contrua um funcional linear

f : X → R descont́ınuo.

6. Mostre que o operador (t) = ∫ t a ψ(s) ds pertence a L(C[a, b]). Mostre também que ele

não possui autovalores, isto é, não existem λ ∈ F e ψ ̸= 0 cont́ınua tais que = λψ.

7. Para cada a ∈ R considere o funcional em C[1, 1] dado por

fa(ψ) =

∫ 1 1 ψ(t) dt+ (0)

Mostre que fa é um elemento do dual e que ∥fa∥ = 2 + |a|.

8. Mostre que não existem operadores S, T ∈ L(X) tais que TS − ST = 1.

Dica: Supondo que existem tais operadores, mostre que TSn −SnT = nSn−1 para todo

n ∈ N, e portanto ∥Sn−1∥ ≤ 2∥T∥∥S∥∥S n−1

n , de forma que SN = 0 para todo N

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suficientemente grande. Com isso, chegue a uma contradição, mostrando que 0 = SN =

SN−1 = · · · = S = S0 = 1.

9. Seja ψ : X → R um funcional cont́ınuo com a propriedade

ψ(x+ y) = ψ(x) + ψ(y),

para todos x, y ∈ X. mostre que ψ(αx) = αψ(x) para todo α ∈ R.

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