P1 2014 1 calculo tipoi, Exercícios de Matemática. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
Gabrielnun
Gabrielnun18 de Outubro de 2015

P1 2014 1 calculo tipoi, Exercícios de Matemática. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)

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Prova 1 de 2014 de Cálculo 1
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Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências

P1: Cálculo Diferencial e Integral - 2014/1 PROVA TIPO I Prof. Claudir Oliveira Obs1.: A avaliação é individual , sem consulta a material bibliográfico, celular etc. Data de aplicação: 07/05/2014 Horário de prova: 07:00h - 09:30 (Exato) Aluno(a):_______________________CURSO:_______________

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Nota

1. (1.5 pt) Pela definição formal de limite mostre que lim xa

mx+ b = L, m > 0, L = (m/2) + b, a = 1/2 e  = c,  > 0 .

Resolução:

Da definição formal: ∀ > 0, δ < 0 tal que 0 < |xa| < δ =⇒ |f(x)− L| < .

Passo 1:|mx+b

( m 2 + b

) | < c =⇒ −c < mxm2 < c =⇒

m 2 −c < mx < c+

m 2 =⇒

1 2−

c

m < x < 12 +

c

m

Passo 2: |x− 12 | < δ =⇒ −δ < x− 1 2 < δ =⇒

1 2−δ < x <

1 2 +δ. Então

1 2−δ =

1 2−

c

m =⇒ δ = c

m ou 12 + δ =

1 2 +

c

m =⇒ δ = c

m . Portanto, δ = c

m .

2. (2.0pts) (a) Determine os possíveis pontos de descontinuidade da função f(x) = 6x+ 24 x2 + 3x− 4 ,

(b) calcule o limite se existir, (c) escreva na forma contínua e (d) Qual ponto a descontinuidade é evitada? (Seja claro nas respostas, identificando cada uma delas).

Resolução:

x2 + 3x− 4 = (x+ 4)(x− 1). O denominador da função é zero quando x = −4 ou x = 1. Esses são os possíveis pontos de descontinuidades, visto que, f não está definida nesses pontos. Os limites para cada um é: lim

y→−4 f(x) = 2 e lim

y→1 f(x) =∞.

A descontinuidade em x = −4 é evitável. Escrevendo agora na extensão contínua temos:

g(x) =

 6x+ 24

x2 + 3x− 4 se, x 6= −4 6 5 se, x = −4

Observe que g(x) é contínua em x = −4

3. (1.5pts) Determine a e b para que a igualdade seja verdadeira: lim x→3

x2 − ax+ b x− 3 = 8.

Resolução: 1Seja organizado em suas respostas. Faz parte da avaliação.

Aqui você usaria a forma mais adequada (ou mais rápida) para determinar a e b. Um sugestão seria usando o dispositivo de Briot Ruffini. Os valores de a e b, por qualquer forma usada, deverá ser a = 2 e b = −15. Ao aplicar estes valores na função e calcular o limite, o resultado será y = 8. Obs.:Uma questão semelhante está em uma das listas repassadas a turma.

4. (1,5pts) Determine k, b ∈ R e calcule os seguintes limites:

(a) lim x→3

4x2 + kx+ 7k − 6 2x2 − 5x− 3 (b) limx→4

2x3 − 128√ x− 2 (c) limx→0

[ cos(x)− cos(sen4x)

x2

] Resolução (a)

2x2 − 5x− 3 = 2x2 − 6x+ x− 3

= 2x(x− 3) + 1(x− 3)

= (x− 3)(2x+ 1)

Pela divisão de polinômio, de 4x2+kx+7k−6 por (x− 3) você obteria r(x) = 36+3k+7k−6, o qual deve ser igual a zero para o limite existir. Podemos usar uma forma direta visto em sala (se uma das raizes do polinômio no numerador de fato seja 3.), visto que já conhecemos o termo de inderterminação (x−3) quando x −→ 3. Assim, caso o limite exista (e existe) então o numerador também deve ser igual a zero quando x −→ 3. Ou seja,

0 = lim x→3

4x2 + kx+ 7x− 6 = 4× 32 + 3k + 7k − 6

0 = 36 + 3k + 7k − 6

−30 = 10k

k = −3

Dai basta a substituição e aplicar o limite.

Agora podemos cancelar o termo no denominador e avaliar o limite.

lim x→3

4x2 + kx+ 7k − 6 2x2 − 5x− 3 = limx→3

(x− 3)(4x+ 9) (x− 3)(2x+ 1)

= lim x→3

(4x+ 9) (2x+ 1) =

21 7 = 3

Resolução (b): lim x→4

2x3 − 128√ x− 2 = limx→4

2 ( x3 − 64

) √ x− 2

2|

lim x→4

2 ( x3 − 64

) √ x− 2 = limx→4

2 ( x3 − 43

) √ x− 2

= lim x→4

2 (x− 4) ( x2 + 4x+ 16

) √ x− 2

= lim x→4

2 (x− 4) ( x2 + 4x+ 16

) √ x− 2 .

√x+ 2√ x+ 2

 = lim

x→4

2 (x− 4) ( x2 + 4x+ 16

) ( √ x− 2) (

x+ 2) .

(√ x+ 2

) = lim

x→4

2(x− 4) ( x2 + 4x+ 16

) 

(x− 4) . (√ x+ 2

) = lim

x→4 2 ( x2 + 4x+ 16

) ( √ x+ 2)

= 2 ( 42 + 4(4) + 16

) ( √

4 + 2)

= 2 (16 + 16 + 16) (4 + 2)

= 2× 48× 4

= 384

Resolução (c): Adionamos e subtraimos 1 no numerador. Isso facilida devido os limites fundamentais. Assim,

lim x→+0

[ cos(x)− cos(sen4x)

x2

] = lim

x→+0

[1− cos(sen4x) x2

− 1− cos(x) x2

] = lim

x→+0

[1− cos(sen4x) x2

] × [ sen(4x) sen(4x)

]2 − lim

x→+0

1− cos(x) x2

= lim x→+0

[1− cos(sen4x) sen2(4x)

] × 16

[ sen(4x)

4x

]2 −12

= 12 × 16× 1− 1 2 =

15 2

Observe que a primeira parte da equação, trata-se de um limite fundamental. Basta fazer t = sen(4x).

5. (2.0pts) Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.

f(x) =

 x2 − x x

se x 6=0

L se x =0 em p=0

Resolução:

f(0) = L

lim x→0+

x2 − x x

= lim x→0+

(x-1)=-1

lim x→0−

x2 − x x

= lim x→0−

(x-1)=-1. Ou seja, lim x→0+

f(x)= lim x→0−

f(x)= lim x→0

f(x). Portanto lim x→0

f(x)=f(0). Logo L = −1.

3|

6. (1.5) Calcule as asssíntotas da função f(x) = (1− 3x)√ x2 + 4

se existirem.

Resolução:

lim x→−∞

1− 3x x2 + 4

= lim x→−∞

1−3x x

x2+4 x

Temos que: x = ± √ x2.

Para x = − √ x2.

lim x→−∞

1−3x x

− √

x2+4 x2

= lim x→−∞

1 x − 3

− √

1 + 4 x2

= − 3 − √

1 = 3. Portanto y = 3 é uma assíntota horizontal.

Para x = √ x2.

lim x→+∞

1−3x x

x2+4 x2

= −3. Portanto y = −3 é uma assíntota horizontal.

Antes de calcular as assíntotas verticais, observe que Dom f = R. Assim

lim xa

f(x) = f(a)

e portanto não existe a assíntota vertical.

Opcionais: Resolvendo essas, você está eliminando as resoluções das questões (3) e (5).

1. Calcule k para que esse limite exista: lim n→0

√ 1 + n− (1 + kn)

n2 .

(a) Resolvemos a expressão primeiramente usando a racionalização.

√ 1 + n− (1 + kn)

n2 = √

1 + n− (1 + kn) n2

× √

1 + n+ (1 + kn) √

1 + n+ (1 + kn)

= 1 + n− (1 + kn)2

n2 √

1 + n+ (1 + kn)

= n

 1− 2k k2n n2 (√

1 + n+ (1 + kn) ) 

= 1− 2k

n (√

1 + n+ (1 + kn) )− k2(√

1 + n+ (1 + kn) )

Para que o limite exista, a primeira parcela da equação acima deve ser nula, ou seja, k = 12 , assim,

lim n→0

√ 1 + n− (1 + kn)

n2 = lim

n→0 −

k2(√ 1 + n+ (1 + kn)

) = lim n→0 −

1

4 (√

1 + n+ (1 + 12n) ) = −18

2. Usando a definição formal de limite, prove que a função h(x) = √

2x− 3, x0 = 2 é contínua em x0.

(a) h(x) = √

2x− 3, x0 = 2. Calculamos o limite e depois mostramos usando a definição formal.

4|

Passo 1: ∣∣√2x− 3− 1∣∣ <  =⇒ − < √2x− 3 − 1 <  =⇒ 1 −  < √2x− 3 < 1 + 

=⇒ (1− ) 2 + 3

2 < x < (+)2 + 3

2 . Passo 2: |x− 2| < δ =⇒ −δ < x − 2 < δ ou 2 − δ < x < 2 + δ. Então 2 − δ = (1− )2 + 3

2 =⇒ δ = 2 − (1− )2 + 3

2 = 1− (1− )2

2 =  2

2 ou 2 + δ = (1 + )2 + 3

2 =⇒

δ =  +  2

2 . Escolhendo δ =  2

2 como o menor dos dois valores temos, 0 < |x− 2| < δ =⇒

∣∣√2x− 3− 1∣∣ < , então lim x→2

√ 2x− 3 = 1 . Pelo teste da continuidade, h(x0) = 1 e

portanto contínua em x = 2.

• Para lembrar2,3

2 lim x→0

(1 − cos(a)) × 1 a2 = 1/2

3(a3 + b3) = (a + b) (a2 − ab + b2) e (a3 − b3) = (a b) (a2 + ab + b2) 5|

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