P1 leandro gabarito, Exercícios de Química Geral. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
Gabrielnun
Gabrielnun18 de Outubro de 2015

P1 leandro gabarito, Exercícios de Química Geral. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)

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C:/Users/Irapuan/Documents/Arquivos da UFRRJ/Cálculo/Calculo 1/2011.1/Provas de Cálculo 1/Prova 1/prova1_cal1_gab.dvi

Nome: Curso: Turma:

Gabarito da Prova 1 de Cálculo 1

1. Calcule os limites abaixo, justificando sua resposta.

(a) lim x→2

(

ex − e2 x − 2

)

(b) lim x→0

(

x − tg x x + tg x

)

(c) lim x→+∞

(

x + 2

x + 1

)x

(d) lim x→+∞

(

2x2 + 3x + 1

3x2 − 5x + 2

)20

(e) lim x→+∞

( √ 3x2 + x − 2x) (f) lim

x→0

sen(x2 + sen(cos x))

x2 + 1

Pontuação: 3,0 pontos (cada item vale 0,5 pontos).

Solução da Questão 1

(a) Fazendo u = x− 2, temos x → 2 ⇐⇒ u → 0,

Então

lim x→2

 ex − e2 x− 2

 = lim

u→0

 eu+2 − e2

u

 = lim

u→0 e2  eu − 1

u

 = e2 · lim

u→0

 eu − 1

u

 = e2 · 1 = e2.

Resposta: e2

(b) Como tg x = sen x cos x

, temos

lim x→0

 x− tg x x+ tg x

 = lim

x→0

0Bx− sen xcos x x+

sen x

cos x

1CA = lim

x→0

 x− sen x

cos x

 · cos x

x+ sen x

cos x

 · cos x

= lim x→0

 x cos x− sen x x cos x+ sen x

 = lim

x→0

(x cos x− sen x)/x (x cos x+ sen x)/x

= lim x→0

 cos x− sen x

x

 lim x→0

 cos x+

sen x

x

 = 1− 1 1 + 1

= 0

Resposta: 0.

(c) Observe que

lim x→+∞

 x+ 2

x+ 1

 x

= lim x→+∞

 (x+ 1) + 1

x+ 1

 x

= lim x→+∞

 1 +

1

x+ 1

 x

Fazendo u = x+ 1, temos

x → +∞ ⇐⇒ u → +∞.

Então,

lim x→+∞

 x+ 2

x+ 1

 x

= lim u→+∞

 1 +

1

u

 u−1

= lim u→+∞

 1 +

1

u

 u

· 

lim u→+∞

 1 +

1

u

 −1

= e · 1 = e.

Resposta: e.

(d) Observe que

lim x→+∞

 2x2 + 3x+ 1

3x2 − 5x+ 2

20 =

 lim

x→+∞

 2x2 + 3x+ 1

3x2 − 5x+ 2

20 =

 lim

x→+∞

(2x2 + 3x+ 1)/x2

(3x2 − 5x+ 2)/x2 20

=

8><>: limx→+∞2 + 3x + 1x2lim x→+∞

 3− 5

x +

2

x2

9>=>;20 =

 2+0+0

3−0+0

20 = �

2

3

20 Resposta: ( 2

3 )20

(e) Observe que

lim x→+∞

( p

3x2 + x− 2x) = lim x→+∞

( √ 3x2 + x− 2x)(

√ 3x2 + x+ 2x)

( √ 3x2 + x+ 2x)

= lim x→+∞

3x2 + x− 4x2√ 3x2 + x+ 2x

= lim x→+∞

x− x2√ 3x2 + x+ 2x

= lim x→+∞

(x− x2)/x ( √ 3x2 + x+ 2x)/x

= lim x→+∞

1− xr 3 +

1

x + 2

= −∞

2

Resposta: −∞.

(f) Observe que

lim x→0

sen(x2 + sen(cos x))

x2 + 1 =

limx→0 sen(x2 + sen(cos x))

limx→0(x2 + 1) =

sen(0 + sen(cos0))

0 + 1 = sen(sen1)

Resposta: sen(sen1)

2. Use o Teorema do Confronto para determinar o limite:

(a) lim x→1

[

(x − 1)2sen 1 x − 1

]

(b) lim x→1

f(x) se |f(x)− 3| ≤ 2|x − 1| para todo x ∈ R.

Pontuação: 2,0 pontos (cada item vale 1,0 pontos).

Solução da Questão 2

(a) Observe que

0 ≤ (x− 1)2sen 1x− 1 ≤ (x− 1)2,

pois a função seno é limitada. Como,

• lim x→1

0 = 0; e

• lim x→1

(x− 1)2 = 0

Segue pelo Teorema do Confronto que

lim x→1

 (x− 1)2sen 1

x− 1

 = 0.

(b) Observe que

0 ≤ |f(x)− 3| ≤ 2|x− 1|(∀x ∈ R).

Como,

• lim x→1

0 = 0; e

• lim x→1

2|x− 1| = 0

Segue pelo Teorema do Confronto que

lim x→1

(f(x)− 3) = 0.

lim x→1

f(x) = 3.

3

3. Considere a seguinte função:

f(x) =

2x − 2 se x < −1, Ax + B se −1 ≤ x ≤ 1, 5x + 7 se x > 1.

Determine os valores de A e B, de tal forma que a função f seja cont́ınua para

todo x ∈ R. Faça o esboço do gráfico.

Pontuação: 2,0 pontos (o esboço do gráfico vale 0,5 pontos).

Solução da Questão 2

Como queremos que f seja cont́ınua, devemos ter:

lim x→−1−

(2x− 2) = 2(−1)− 2 = −4

lim x→−1+

(Ax+B) = −A+B

9>=>;⇒ −A+B = −4 (1), lim

x→1− (Ax+B) = A+B

lim x→1+

(5x+ 7) = 5 · 1 + 7 = 12

9>=>;⇒ A+B = 12 (2). Resolvendo o sistema de equações (1) e (2), encontramos para A = 8 e B = 4.

4

4. (a) Enuncie e faça a interpretação geométrica do Teorema do Valor Intermédiario.

(b) A equação x3 − 4x + x − 1 = 0 possue raiz em [1, 2]?

(c) Sejam f, g : R −→ R funções definidas por f(x) = x2 + sen x e g(x) = x2 + x− 1. Prove que os gráficos de f e g se interceptam em pelo menos um ponto. (DICA: Use a parte (a))

Pontuação: 3,0 pontos (cada item vale 1,0 pontos).

Solução da Questão 4

(a) (Parte 1) Enunciado do Teorema:

Teorema do Valor Intermediário:

Seja f : [a, b] −→ R uma função cont́ınua. Se f(a) < d < f(b), ou f(b) < d < f(a), então existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = d.

(Parte 2) Interpretação Geometrica do Teorema:

Observando os gráficos acima vemos que se f é continua em [a, b], então f assume todos os valores

intermediários entre f(a) e f(b), enquanto x assumirá todos os valores entre a e b.

(b) Considere a função auxiliar

f(x) = x3 − 4x+ x− 1, x ∈ R.

Note que:

(i) f é uma função continua em [1, 2], pois f é uma função polinomial e foi visto em Aula que Toda

função polinomial é uma função continua em R.

(ii) −3 = f(1) < 0 < f(2) = 1.

Pelo Teorema do Valor Intermediário, segue que existe c ∈]1, 2[ tal que f(c) = 0.

Nota do Professor: Nesta questão houve um erro de digitação na função f(x); por essa razão,

as provas foram avaliadas de acordo com a função considerada em cada turma.

5

(c) Considere a função auxiliar

h(x) = f(x)− g(x), x ∈ R.

Note que:

(i) h(x) = sen(x) − x + 1, e é uma função continua em [−π, π], pois f é uma soma de funções cont́ınuas.

(ii) −π + 1 = h(π) < 0 < h(−π) = π + 1.

Pelo Teorema do Valor Intermediário, segue que existe c ∈]−π, π[ tal que h(c) = 0,ou seja, f(c) = g(c).

Boa Prova!

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