Paradoxo Russell, Exercícios de Lógica Matemática. Pontifícia Universidade Católica de Goiás (PUC-GO)
nessum
nessum15 de Julho de 2015

Paradoxo Russell, Exercícios de Lógica Matemática. Pontifícia Universidade Católica de Goiás (PUC-GO)

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Demonstração do paradoxo de Russell
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Paradoxo De Russell

March 2015

1 Demonstração do Paradoxo

1.1 Demonstração formal:

O paradoxo de Russell pode ser encontrado de diferentes maneiras, considere o seguinte:

Defina o axioma de compreensão irrestrita da teoria ingênua dos conjuntos como:

∃y∀x(x ∈ y ⇐⇒ P (x))

Para qualquer fórmula P com a variável x livre. Então é possivel derivar o paradoxo através da seguinte prova:

∀x(x ∈ y ⇐⇒ P (x)) Remoção do ∃ reutilizando a variável y

(y ∈ y ⇐⇒ P (x)) Remoção do ∀ mudando a variável x por y

y ∈ ⇐⇒ y /∈ y Trocando P(x) por y /∈ y

1.2 Demonstração Informal:

Considere o enunciado : S = {x : x /∈ x} S é o conjunto formado por todos conjuntos que não se contêm. Agora, o

conjunto S deve conter a śı mesmo? Caso a resposta seja sim, então S contém o conjunto S e portanto não deve se conter por definição. Caso a resposta seja não, então S deve conter S, pois satisfaz a condição !

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