Principios gerais de projeto estrutural, Notas de aula de Física. juvarra
michelli_oliveira
michelli_oliveira9 de Agosto de 2015

Principios gerais de projeto estrutural, Notas de aula de Física. juvarra

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Microsoft Word - A01 - Princípios gerais de projeto estrutural.doc

ESTÁTICA

DEC - COD 3764

I - 2007

Resumo das notas de aula do professor. Adaptação do material de vários professores, e do livro “Mecânica vetorial para engenheiros”,

Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976. JDNC - 2007

ESTÁTICA – DEC 3674 1

1 Morfologia das estruturas

1.1 Definição de estrutura

Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior

de modo a formar um conjunto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações

externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações

externas encontrarão seu sistema estático equilibrante.

1.2 Classificação das estruturas

Definição de componentes de uma estrutura

Os componentes de uma estrutura são chamados de elementos, barras ou membros estruturais,

que devem ser capazes de receber e transmitir esforços. Podem ser:

• Unidimensionais: Vigas, pilares, barras, travessas, colunas etc.

• Bidimensionais: Folhas: as lajes e as paredes.

• Tridimensionais: Sólidos, blocos etc.

1.2.1 Classificação quanto aos elementos estruturais

• Estruturas reticuladas (compostas de barras): Vigas, pórticos planos e espaciais, treliças planas e espaciais, grelhas, etc.

As barras são os elementos em que uma das dimensões é bastante maior que as outras duas, as dimensões da seção são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. Barras de forma prismática são retas e de seção constante.

• Estruturas de superfícies (folhas): placas (lajes) e Chapas (paredes, vigas paredes). As folhas são os elementos em que uma das dimensões é bastante menor que as outras duas, a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. As placas recebem cargas normais ao seu plano e as chapas na direção de seu plano.

Fundação

P

Fundação

P P

Fundação

Viga Pilar Pilar

P

ESTÁTICA – DEC 3674 2

• Estruturas de volume: Blocos de fundação, barragens de gravidade etc. São os elementos tridimensionais em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza.

Para caracterizar os elementos veja alguns exemplos de dimensões usuais (em centímetros):

• Reticuladas Pilar de concreto: 15x15x300, viga de concreto: 12x40x400, Treliça: 2x4x120

• Superfícies Laje: 300x400x10, Parede: 300x260x12

• Volumétricas Bloco de fundação: 50x120x50

Vigas

Pórticos

Treliças

Grelhas

Lajes

Parede, viga parede

Vigas Laje Pilar

ESTÁTICA – DEC 3674 3

1.2.2 Vinculações dos sistemas planos.

Sistema plano: todos os elementos são rigidamente vinculados a um plano, isto é, podem se

movimentar apenas nas direções contidas neste plano, e todas as forças, ativas e reativas são

aplicadas neste plano (isto é uma idealização, não existe na realidade).

Vamos esclarecer um pouco melhor os elementos estruturais para podermos relacioná-los:

Barra: tem a função estática de transmitir força e a função geométrica de determinar as

distâncias de seus pontos extremos.

Chapa: tem a função estática de transmitir qualquer esforço e a função geométrica de

determinar a posição relativa de vários de seus pontos.

Nó: é uma articulação em que são juntadas várias barras pelas suas extremidades;

Vínculos: são apoios e articulações pelos quais são unidas as chapas entre si ou, no caso

dos apoios, à “chapa terra”.

No sistema plano uma chapa tem 3 graus de liberdade, ou seja, pode se movimentar, se

deslocar de três formas: 2 translações (eixos x e y) e uma rotação. Os vínculos têm a função

de impedir os deslocamentos em uma determinada direção.

Veja a figura (a) abaixo, onde uma viga AB é solicitada por uma carga inclinada P no ponto

C. A carga P pode ser decomposta em suas componentes horizontais (Ph) e verticais (Pv)

aplicadas no ponto C. Na forma em que se apresenta, esta chapa é solicitada verticalmente, de

cima para baixo e, horizontalmente, da direita para a esquerda. Para que a chapa esteja em

equilíbrio são necessárias reações verticais e horizontais. Observe que o esquema proposto na

figura (b) equilibra apenas as forças horizontais e verticais e a chapa ainda pode girar no

sentido horário. As figuras (c) e (d) mostram a chapa em equilíbrio, sendo que em (c) o

equilíbrio é mostrado pelas “reações de apoio” e em (d) pelos símbolos que representam estas

reações de apoio.

Ph

Pv P A C B

a)

RAh

Ph

Pv P C B

RAv b)

RAh

Ph

Pv P C

RAv RBv c)

Ph

Pv P A C B

d)

ESTÁTICA – DEC 3674 4

Para representar a vinculação de uma “chapa” à outra chapa, ou à “chapa terra” são usados

símbolos para representar as vinculações ou apoios. Na tabela abaixo os traços fortes ou as

zonas hachuradas e os traços finos as barras vinculares.

Nome do vínculo Símbolo Representação por barras vinculares

Nº graus de mobilidade retirados pelo vínculo

Apoio móvel

de 1º gênero

1

Apoio fixo

Articulação entre 2 chapas

(de 2º gênero)

2

Engastamento fixo

3

Engastamento móvel

2

Articulação

Entre

3 chapas

4

Articulação

Entre

n chapas

_____ 2 (n-1)

O apoio móvel (1º gênero) impede apenas um deslocamento, no caso, o deslocamento

vertical e permite o deslocamento horizontal e rotação (giro) em torno do apoio.

O apoio fixo (2º gênero) impede dois deslocamentos, o vertical e o horizontal e permite a

rotação (giro) em torno do apoio

O engastamento (3º gênero - considera-se o fixo quando não for especificado) impede os

deslocamentos verticais e horizontais e a rotação (giro) em torno do apoio.

1

2

n

ESTÁTICA – DEC 3674 5

1.2.3 Classificação das estruturas quanto ao equilíbrio estático.

a) Estruturas ISOSTÁTICAS

Todos os esforços internos e externos podem ser determinados com a aplicação das equações

de equilíbrio estático: Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 e Σ M(i) = 0.

b) Estruturas HIPERESTÁTICAS

Quando não é possível a determinação de todos os esforços externos e internos apenas com a

aplicação das equações das equações de equilíbrio da Mecânica Geral recorre-se a equações

de compatibilidade das deformações.

Incógnitas hiperestáticas (ou redundantes): são os esforços externos ou internos que existem a

mais do que aqueles que podem ser determinados com as equações de equilíbrio.

Hiperestaticidade externa: é o número de reações de apoio superior a três.

Hiperestaticidade interna: é o número de incógnitas hiperestáticas supondo conhecidas

todas as reações. Ocorre em geral quando um conjunto de barras não todas articuladas entre

si, formam uma poligonal fechada.

Hiperestaticidade total: é a soma da externa mais a interna.

c) Estruturas HIPOSTÁTICAS

Quando o número de vínculos é insuficiente.

1.2.3.1 Graus de Estaticidade - Treliças

Uma estrutura composta de barras e nós (os vínculos podem ser representados por barras) é

uma treliça. Chamando de b o número de barras e n o número de nós (apoio móvel substituído

por uma barra e o fixo por duas) tem-se:

b < 2n treliça indeterminada ou móvel

b = 2n treliça isostática

b > 2n treliça hiperestática

ESTÁTICA – DEC 3674 6

A expressão b = 2n é necessária, mas não suficiente para a determinação geométrica de uma

treliça Existem “casos excepcionais” em que as treliças apresentam mobilidade apesar de

verificada a expressão b = 2n. Os casos mais simples de excepcionalidade podem ser

reconhecidos intuitivamente e os mais complexos, através do determinante dos coeficientes

do sistema de equações de equilíbrio ∆ = 0 (bastante trabalhoso).

Observe que são necessárias 3 vinculações de apoio, portanto, internamente → bint = 2n - 3

a) b) c) d) Barras de apoio - bap 3 3 4 3 Barras internas - bint 7 11 19 16 Número de nós - n 5 7 10 9 b - 2 n = 10-2x5 = 0 14-2x7 = 0 23-2x10 = 3 19-2x9 = 1 bap – 3 = (2+1) – 3 = 0 (2+1) – 3 = 0 (2+2) – 3 = 1 (2+1) – 3 = 1 Isostática Isostática Hiper. ext. e int Hiper. Int. 1 x

Observe que a treliça (d) é uma vez hiperestática internamente, ou seja, tem uma barra a mais.

Para que a treliça seja internamente determinada (isostática), vamos considerar uma treliça

base, sem os vínculos de apoio, composta por 3 barras e 3 nós. A este triângulo podemos

acrescentar outros nós, porém, sempre vinculados a duas barras. As treliças que formarmos

através deste processo serão internamente isostáticas. Veja a construção da treliça (d) abaixo.

a) b) c) d)

B 1 2

A 3 C

4 D 5 7

6 E

F 8 9

11 10 G

Um nó com duas barras. Como está é isostática. Coloque a barra que falta e será 1 vez hiperestática

12 H 13

15 14 I

ESTÁTICA – DEC 3674 7

1.2.3.2 Graus de Estaticidade - Chapas

Vigas e pórticos: 3eg NVA= − (NVA = Número de vínculos de apoio)

( )3 1eg NVA NCLR= − − − Quando houver rótulas internas

NCLR = Nº de chapas ligadas à rótula

NVA = 3, ge = 0 NVA = 4, ge = 1 NVA = 3, NCLR = 2 , ge = -1

Isostática Hiperestática Hipostática

NR = 3, ge = 0 NR = 3, ge = 0 NR = 4, ge = 1

Isostática Isostática Hiperestática

NVA = , NCLR = , ge = NVA = , NCLR = , ge = NVA = , NCLR = , ge = _____stática _____stática _____stática

NVA = , NCLR = , ge = NVA = , NCLR = , ge = Uma viga sobre duas colunas _____stática _____stática Quais são as vinculações?

ESTÁTICA – DEC 3674 8

Estruturas espaciais: Sistema tridimensional de eixos ortogonais

No sistema plano as entidades (forças, deslocamentos etc.) estão contidas neste plano. No

sistema espacial, dado por um sistema ortogonal x, y e z, as entidades podem atuar nas três

direções.

No sistema tridimensional um ponto pode ter seis deslocamentos (seis graus de liberdade):

três translações (nas direções x, y e z) e três rotações (em torno os eixos x, y e z).

Na figura abaixo o pórtico espacial tem, entre outros, os seguintes tipos de apoios:

Articulação espacial (apoio fixo)

Apoio simples/fixo

Apoio simples espacial

Engaste espacial

Articulação espacial: impede as 3 translações e permite as 3 rotações: GL = 3.

Apoio simples espacial: impede 1 translação e permite as 3 rotações: GL = 4.

Apoio simples/fixo espacial: impede 2 translações e permite as 3 rotações: GL = 5.

Engaste espacial: impede as 3 translações e as 3 rotações: GL = 0.

y

x Sistema plano

z

y x

Sistema espacial

y

x

z

ESTÁTICA – DEC 3674 9

3.2 – Estruturas aporticadas

A maneira mais simples de se determinar o grau de hiperestaticidade de estruturas aporticadas

é a técnica da árvore. A árvore é uma estrutura em balanço, ou seja, engastada na terra

(engastamento dado através das raízes = três vínculos) e com galhos (barras) ligadas por nós

rígidos sem formar “anel”, isto é, sem fechar. Como a árvore é isostática, deve-se procurar

através de trocas e retiradas de vínculos transformar a estrutura em uma ou várias árvores

separadas.

Quando estiver formando um “anel”, há necessidade de abrir o anel através de um corte. Uma

ESTÁTICA – DEC 3674 10

chapa ao ser cortada perde três barras vinculares, que transmitiam N, Q e M. Uma barra

interna articulada nas extremidades ou um tirante ao ser cortado perde apenas uma barra

vincular. Cada articulação para se transformar em nó rígido precisa receber mais uma barra

vincular.

Após transformar a estrutura em uma ou várias árvores, o número de barras vinculares

retiradas que não foram repostas para transformar as eventuais articulações em nós rígidos, é

o grau de hiperestaticidade. Externamente o grau de hiperestaticidade é o número de barras

vinculares que supera três.

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