Prova Instituto de Física - Prova - UFRJ, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
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Botafogo8 de Março de 2013

Prova Instituto de Física - Prova - UFRJ, Notas de estudo de Física. Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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Apostilas e exercicios de Física da Universidade Federal do Rio de Janeiro sobre o estudo do Cálculo.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FÍSICA FÍSICA II-A - 2011/1 GABARITO DA SEGUNDA PROVA DATA: 27/06/2011

QUESTÃO 1 [ 2,5 pontos]

Quando se leva um sistema do estado i ao estado f ao longo do trajeto iaf da figura ao lado, descobre-se que |Q| = 50 J (transferido para o sistema) e |W | = 20 J. Ao longo do trajeto ibf, |Q| = 36 J (transferido para o sistema). Para responder os itens abaixo, deixe claro qual das duas convenções para o trabalho você irá usar.

a) (0,8) Qual o valor de W ao longo do trajeto ibf? Esse trabalho é realizado pelo sistema ou sobre ele? b) (0,8) Se W = 13 J para o trajeto curvo fi de retorno, quanto vale Q para esse trajeto? Esse calor é fornecido ao sistema ou extráıdo dele? c) (0,9) Determine Eint,f tomando Eint,i = 10 J. E se o processo fosse irreverśıvel, qual seria o valor de Eint,f?

f

i

a

b

V

p

O

GABARITO

No trajeto iaf, Q é positivo e W é negativo (convenção ∆E = Q+W , com Vf > Vi).

(a) ∆Eif = 30 J, logo W = (30− 36) J, então W = −6 J. O trabalho é realizado pelo gás.

(b) W é positivo (Vf < Vi). ∆Efi = −30 J, logo Q = −43 J. O calor é extráıdo do sistema.

(c) ∆Eif = Ef − Ei = 30 J, com Ei = 10 J então Ef = 40 J.

Para o caso irreverśıvel, o valor seria o mesmo pois a energia interna é uma função de estado.

ou

No trajeto iaf, Q é positivo e W é positivo (convenção ∆E = Q−W , com Vf > Vi).

(a) ∆Eif = 30 J, logo W = (−30 + 36) J, então W = 6 J. O trabalho é realizado pelo gás.

(b) W é negativo (V − f < Vi). ∆Efi = −30 J, logo Q = −43 J. O calor é extráıdo do sistema.

(c) ∆Eif = Ef − Ei = 30J, com Ei = 10 J então Ef = 40 J.

Para o caso irreverśıvel, o valor seria o mesmo pois a energia interna é uma função de estado.

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QUESTÃO 2 [ 2,5 pontos]

Duas supostas máquinas térmicas A e B funcionam entre dois reservatórios térmicos, um na temperatura T1 = 400 K e outro na temperatura T2 = 300 K. A primeira máquina recebe por ciclo uma quantidade de calor QA1 = 1.500 J produzindo um trabalho WA = 300 J. A segunda máquina recebe QB1 = 2.000 J por ciclo, produzindo um trabalho WB = 600 J. Determine:

a) (0,4) a quantidade de calor cedido pelas duas máquinas QA2 e QB2; b) (0,8) a variação da entropia do universo termodinâmico formado pelos reservatórios e a máquina A operando em ciclo; c) (0,8) a variação da entropia do universo termodinâmico formado pelos reservatórios e a máquina B operando em ciclo. d) (0,5) A partir dos itens anteriores, justifique qual (ou quais) das duas máquina é fact́ıvel.

GABARITO

a) (0,4) Em um ciclo, a variação da energia interna do sistema é zero, logo, pela 1a Lei da Termodinâmica,

QA2 = −QA1 +WA = −1.500 J + 300 J = −1.200 J QB2 = −QB1 +WB = −2.000 J + 600 J = −1.400 J , (1)

onde o sinal negativo indica que o calor foi cedido pelas máquinas para o reservatório T2.

b) (0,8) Para determinarmos a variação da entropia do universo devemos somar as variações de entropia da máquina A, do reservatório T1 e do reservatório T2. A entropia é definida como dS = Q/dT . A máquina A operando em ciclo tem ∆SA = 0. Os dois reservatórios operam à temperatura constante, logo ∆S = Q/T . O reservatório T1 cede calor e o reservatório T2 recebe calor da máquina. Então:

∆SA1 = − QA1 T1

= −1.500 400

J/K = −3, 75 J/K

∆SA2 = − QA2 T2

= −−1.200 300

J/K = 4, 00 J/K . (2)

A variação da entropia do universo será ∆SA1 + ∆SA2 + ∆SA = 0, 25 J/K.

c) (0,8) Considerando o mesmo racioćınio do item anterior, teremos que a máquina B operando em ciclo tem ∆SB = 0 e para os dois reservatórios

∆SB1 = − QB1 T1

= −2.000 400

J/K = −5, 00J/K

∆SB2 = − QB2 T2

= −−1.400 300

J/K = 4, 67 J/K . (3)

A variação da entropia do universo será ∆SB1 + ∆SB2 + ∆SB = −0, 33 J/K.

d) (0,5) Pela 2a Lei da Termodinâmica, ∆S ≥ 0. Logo, somente a máquina A é fact́ıvel.

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QUESTÃO 3 [ 2,0 pontos]

O gráfico abaixo mostra a distribuição de velocidades N(v) em função da velocidade v, para uma amostra de um gás de N moléculas de nitrogênio. A massa de uma molécula de nitrogênio vale 4, 65× 10−26 kg.

a) (0,8) Sabendo que a velocidade mais provável é dada por vp = (2kT/m) 1/2, onde m é a massa de uma molécula

e k é a Constante de Boltzmann, obtenha a partir do gráfico a temperatura do gás T . b) (0,8) Calcule a energia cinética média de translação por molécula < ec >. c) (0,4) Considere que a temperatura do gás aumenta de um fator 4 em relação à temperatura dos itens anteriores. Determine a razão entre as velocidades quadráticas médias de translação (vrms) nas temperaturas T e 4T .

0 200 400 600 800 1000 1200 0

1

2

3

4

5

v HmsL

N HvL

´ 10

23 Hs

m L

Constante de Boltzmann k = 1, 38× 10−23 J/K;

GABARITO

(a)(0,8) O valor máximo da distribuição corresponde ao valor mais provável da velocidade vp. Pelo gráfico vp=400 m/s. vp = (2kT/m)

1/2 ⇒ T = mv2p/2k = (4, 65x10−26)(400)2/2(1, 38x10−23)kg(m/s)2/(J/K)=269,57 K≈270 K.

(b)(0,8) Pelo teorema de equipartição da energia, para uma dada temperatura T , a energia média por molécula é 1/2kT para cada grau de liberdade independente. Para a translação, temos 3 graus de liberdade ⇒ < et >= 3/2kT < et >= 3/2kT = 3(1, 38x10

−23)(269, 57)/2((J/K)K) = 5, 57x10−21 J.

(c)(0,4) Como < et >= m < v

2 > /2 = 3/2kT ⇒ vrms = (3kT/m)1/2 Aumentando T de um fator 4 ⇒ vrms(4T )/vrms(T ) = (4T/T )1/2 = 2.

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QUESTÃO 4 [ 3,0 pontos]

Um mol de um gás ideal monoatômico (CV = 3R/2) é levado do ponto A ao ponto C no diagrama P × V por dois processos reverśıveis diferentes (ver figura a seguir): I - de A a B por uma transformação isobárica e de B a C por uma transformação isovolumétrica. II - de A a C por uma transformação adiabática (PV γ =constante onde γ = CP /CV );

a) (0,2) Para qual dos dois processos (I ou II) a variação da energia interna é maior? Justifique. b) (0,2) Para qual dos dois processos (I ou II) a variação da entropia é maior? Justifique. c) (0,6) Determine as temperaturas nos pontos A, B e C em função de P0, V0 e R (constante universal dos gases), sabendo que PA = P0, VA = V0 e VB = 8V0. d) (1,0) Para o processo I, determine o trabalho realizado pelo gás e o calor trocado com a vizinhança em função de P0 e V0 (não esqueça os sinais). e) (1,0) Para o processo II, determine o calor trocado com a vizinhança e o trabalho realizado pelo gás em função de P0 e V0 (não esqueça os sinais).

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$"%$#"$#"

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GABARITO

a) (0,2) A variação da energia interna é a mesma para os dois processos pois ela é uma função de estado.

b) (0,2) A variação da entropia é a mesma para os dois processos pois ela é uma função de estado.

c) (0,6)

TA = P0V0 R , TB =

8P0V0 R e TC =

8PCV0 R .

Como PCV γ C = PAV

γ A e γ = 5/3, teremos que PC =

P0V 5/3 0

(8V0)5/3 = P0

85/3 = P032 . Logo

TC = P0V0

85/3−1R = P0V04R

d) (1,0) Para o processo I WI = P0(8V0 − V0) = 7P0V0 (trabalho realizado pelo gás) e QI = CP (TB − TA) + CV (TC − TB) = 5R2

7P0V0 R −

3R 2

31P0V0 4R =

35 2 P0V0 −

93 8 P0V0 =

47 8 P0V0 ≈ 5, 9P0V0

e) (1,0) Para o processo II QII = 0 e WII = −∆E = CV (TA − TC) = 3R2

3P0V0 4R =

9 8P0V0 ≈ 1, 1P0V0 (trabalho realizado pelo gás)

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