Relações Binárias - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Relações Binárias - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo das relações binárias.
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Título : Matemática Aplicada

Conteúdo :

RELAÇÕES

RELAÇÕES BINÁRIAS

Uma relação binária R sobre dois universos A e B é

R C A x B

Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto deA×A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.

Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), a ∈A eb ∈B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

• (a,b) ∈R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

• (a,b) ∈R:dizemos que "a não é R relacionado a b", escrevendo Rb.

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B.

Exemplos:

• Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.

• Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonhal em A e será também denotado por δ.

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• Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.

Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.

Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

PAR ORDENADO

CONCEITO

Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois termos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro termo e o outro como segundo termo. Um par ordenado com primeiro termo a e segundo termo b é representado explicitamente por (a, b).

DEFINIÇÃO

O par ordenado (a, b) foi definido como {{a}, {a, b}} por K. Kuratowski em 1921. Em 1914 Wiener deu uma definição, historicamente importante, para par ordenado definindo (a, b) como {{a, Ø}, {b, Ø}}}.

ELEMENTOS DE UM PAR ORDENADO

Num par ordenado u = (x, y), x é chamado abscissa, primeiro elemento, primeira coordenada ou primeira projeção. Já y é chamado ordenada, segundo elemento, segunda coordenada ou segunda projeção.

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IGUALDADE DE PARES ORDENADOS

Se x e y são pares ordenados (representados não explicitamente), a igualdade x = y significa por definição que a abscissa de x é igual a abscissa de y e que a ordenada de x é igual a ordenada de y. De outro modo, (a, b) = (c, d) significa por definição que a = c e b = d.

PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano denotado por AxB (lê-se A cartesiano B) é o conjunto de todos os pares ordenados cujos primeiros elementos (primeiras coordenadas) pertencem a A e cujos segundos elementos (segundas coordenadas) peretencem a B. Exemplos:

Se A = {1, 2, 3} e B = {p, q} então:

AxB = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2, q), (3, q)}

BxA = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3)}

CONCEITO DE CONJUNTO

O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da Matemática. Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Os objetos em um conjunto podem ser qualquer entidade abstrata: números, variáveis, equações, operações, algoritmos, sentenças, nomes, etc. Esses objetos são chamados elementos ou membros de um conjunto.

Exemplos:

• O conjunto cujos elementos são os números 1, 4, 9, 16 e 25

• O conjunto das soluções da equação x2 – 5x + 6 = 0

• O conjunto dos números inteiros, ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...

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• O conjunto das potências inteiras de 2 que são 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Geralmente denotamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, X, Y, ... e os elementos de um conjunto por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ...

ELEMENTO DE UM CONJUNTO

Os elementos de um conjunto são os objetos que estão no conjunto. Por exemplo, um gestor é um elemento do conjunto de todas as pessoas, mas uma cadeira não é. O elemento de um conjunto também é chamado de membro desse conjunto.

DESCREVENDO UM CONJUNTO POR EXTENSÃO (OU ENUMERAÇÃO)

Um conjunto pode ser descrito por extensão (enumeração) quando escrevemos todos os elementos do conjunto entre chaves e separados por vírgulas ou ponto e vírgulas:

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

ou

P = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}

Desse modo sabemos que 6 está no conjunto P (6 pertence ao conjunto P), mas 11 não.

Quando um conjunto tem muitos elementos podemos representá-lo usando reticências e apenas alguns de seus elementos, se estiver claro quais elementos pertencem ao conjunto e quais não pertencem. Exemplo:

A = {1, 3, 5, 7, ... 997, 999}

Nesse caso A é o conjunto dos números naturais ímpares menores que 1000. Como 701 é um número natural ímpar e menor que 1000, então 701 está em A. As reticências indicam a repetição de um padrão reconhecível. Os números 1, 3, 5, 7 são os primeiros naturais ímpares. As reticências indicam os naturais ímpares que os sucedem.

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Podemos indicar um conjunto com infinitos elementos escrevendo seus primeiros elementos (que formam um padrão reconhecível) entre chaves separados por vírgulas e com reticências. O conjunto I de todos os números naturais ímpares será representado por:

I = {1, 3, 5, 7, ...}

O conjunto de todos os quadrados dos números inteiros positivos será:

{1, 4, 9, 16, 25, ...}

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos conjuntos. Exemplo: São apresentados três conjuntos utilizando o diagrama de Venn:

[pic]

REPRESENTANDO UM CONJUNTO POR ABSTRAÇÃO (COMPREENSÃO)

Podemos também representar um conjunto por abstração (compreensão) quando seus elementos são conhecidos através de uma propriedade comum a eles. Nesse caso denota-se o conjunto por:

{x : p(x)} ou por {x | p(x)}

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onde x é uma variável qualquer (poderia ser y, z, t, a, b, ...) e p(x) é uma propriedade ou qualidade de x. Ora, p(x) pode ser verdadeira ou falsa. Se p(x) é a propriedade "x é maior que 10", então p(2) é falsa (pois 2 não é maior que 10) e p(129) é verdadeira, pois 129 é maior que 10. O conjunto {x : p(x)} tem por elementos apenas aqueles que tornem a propriedade p verdadeira. Por exemplo:

Q = {x : x ε N, x é número par e x < 19}

O conjunto Q acima é o conjunto dos elementos que são números naturais, pares e menores que 19. Note que sendo P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, então P = Q, visto que dois conjuntos são iguais quando tem os mesmos elementos.

O conjunto P foi descrito por extensão (ou enumeração), enquanto o conjunto Q foi descrito por abstração (ou compreensão). Mas seus elementos são exatamente os mesmos.

PERTINÊNCIA

Se um objeto x é membro de um conjunto B, isto é, se x está em B como um de seus elementos dizemos que "x pertence a B" ou "x está em B", e indicamos isso pela seguinte notação:

x ε B

(le-se "x pertence a B" ou "x está em B")

Intuitivamente podemos dizer:

• Um quadrado pertence ao conjunto dos polígonos;

• A Terra pertence ao conjunto dos planetas de nosso sistema solar;

• O número 7 pertence ao conjunto dos números naturais ímpares;

• O Brasil pertence ao conjunto de todos os países;

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• Niterói, Porto Alegre e Belo Horizonte pertencem ao conjunto das cidades do Brasil;

Se um objeto x não é membro de um conjunto B, isto é, se x não pertence a B, indicamos isso pela notação:

x ε B

(lê-se "x não pertence a B" ou "x não está em B")

Se A = {a, e, i, o, u} temos a ε A; o ε A; b ε A; h ε A, etc.

Além disso, podemos dizer que:

• Os elementos que pertencem ao conjunto {2, 4, 8, 1} são exatamente os números 2, 4, 8, 1.

• O único elemento do conjunto {7, 7, 7} é o número 7.

• Os dois únicos elementos do conjunto {0, 1, 0, 1, 0} são 0 e 1

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

CARDINALIDADE DE UM CONJUNTO

O número de elementos de um conjunto é o número de diferentes elementos de um conjunto. Se um conjunto A tem exatamente 7 elementos distintos, dizemos isso usando uma das seguintes notações:

n(A) = 7

Exemplos:

• Se S = conjunto dos dias da semana, então n(S) = 7;

• Se U é um conjunto unitário, então 1 = n(U);

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• Temos n(Ø) = 0, pois o conjunto vazio tem zero elementos distintos;

• Se J = conjunto dos dias de janeiro, então n(J) = 31, pois janeiro tem 31 dias.

• Se M = {x ε N : 4 < x < 9}, então n(M) = 4), pois na verdade M = {5, 6, 7, 8} tem exatamente 4 elementos diferentes

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Intuitivamente um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementos diferentes, isto é, se ao contarmos os diferentes membros do conjunto em questão, o processo de contagem chega a um final. Caso contrário o conjunto é infinito. Um conjunto F é finito se não existe uma bijeção entre F e um subconjunto próprio de F. Se existir uma bijeção entre F e um subconjunto próprio de F então o conjunto F é infinito. Por exemplo, o conjunto 2Z dos inteiros pares é subconjunto próprio do conjunto Z dos números inteiros e Z é infinito pois existe uma função bijetora f : Z -> 2Z , por exemplo f(n) = 2n. Se Z fosse um conjunto finito não poderia haver tal bijeção.

Exemplos:

• Seja S o conjunto dos dias da semana. Como S tem 7 elementos, S é finito;

• Seja J o conjunto dos dias do mês de janeiro, como n(J) = 31, então J é finito;

• O conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, ... } dos números naturais é infinito;

• O conjunto P = {0; 2; 4; 6; 8; ... } dos números naturais pares é infinito;

• O conjunto D dos dias de um ano bissexto é finito, pois n(D) = 366;

• O conjunto R = {x : x é um rio da Terra} (conjunto dos rios da Terra) é finito. Mesmo sendo difícil contar o número de rios da Terra, ainda assim R é um conjunto finito;

• O conjunto de grãos de areia em uma praia é finito, pois mesmo sendo eles em grande quantidade, e difíceis de serem contados, não podem ser em número infinito, pois ocupam uma porção finita de espaço.

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois conjuntos A e B são iguais quando tem os mesmos elementos. Isto é, quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de B pertence a A. Este modo de verificar se dois

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conjuntos são iguais chama-se princípio da extensão. Este princípio estabelece, por exemplo, as seguintes igualdades entre conjuntos:

• Se A = {1; 2; 3; 4} e B = {3; 1; 4; 2} então A = B, isto é {1; 2; 3; 4} = {3; 1; 4; 2} pois cada um dos elementos 1, 2, 3 e 4 de A, pertence a B e cada um dos elementos 3, 1, 4 e 2 de B pertence ao conjunto A.

• Se C = {5; 6; 5; 7} e D = {7; 5; 7; 6} então C = D, isto é, {5; 6; 5; 7} = {7; 5; 7; 6} pois cada elemento de C pertence a D e cada elemento de D pertence a C. Note que um conjunto não se altera quando seus elementos são repetidos. Assim, também temos {5, 6, 7} = C = D.

• {7, 7, 7, 7} = {7}

• {0, 1, 1, 0, 1} = {0, 1} = {1, 0}

• {1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {3, 2, 1}

Pelos exemplos acima vemos que quando representamos um conjunto é desnecessário escrever um mesmo elemento várias vezes: ou um elemento pertence ou não pertence a um conjunto. Além disso, vemos que não importa a ordem em que aparecem os elementos em um conjunto.

CONJUNTO UNITÁRIO

Um conjunto é dito conjunto unitário quando tem um único elemento

Exemplos: {5}, {a}, {Paula} {x ε R : x > 3 e x

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