Resolução de exercícios, Exercícios de Estatística. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
j_lia_costa
j_lia_costa27 de Junho de 2015

Resolução de exercícios, Exercícios de Estatística. Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)

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Resolução dos exercícios do livro Estática - Meriam
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TABELA: Derivadas, Integrais

e Identidades Trigonométricas

• Derivadas

Sejam u e v funções deriváveis de x e n con- stante.

1. y = un ⇒ y′ = nun−1u′. 2. y = uv ⇒ y′ = u′v + v′u. 3. y = uv ⇒ y′ = u

′v−v′u v2

. 4. y = au ⇒ y′ = au(ln a) u′, (a > 0, a 6= 1). 5. y = eu ⇒ y′ = euu′. 6. y = loga u ⇒ y′ = u

′ u loga e.

7. y = lnu ⇒ y′ = 1uu′. 8. y = uv ⇒ y′ = v uv−1 u′ + uv(lnu) v′. 9. y = sen u ⇒ y′ = u′ cos u. 10. y = cos u ⇒ y′ = −u′sen u. 11. y = tg u ⇒ y′ = u′ sec2 u. 12. y = cotg u ⇒ y′ = −u′cosec2u. 13. y = sec u ⇒ y′ = u′ sec u tg u. 14. y = cosec u ⇒ y′ = −u′cosec u cotg u. 15. y = arc sen u ⇒ y′ = u′√

1−u2 .

16. y = arc cos u ⇒ y′ = −u′√ 1−u2 .

17. y = arc tg u ⇒ y′ = u′ 1+u2

. 18. y = arc cot g u ⇒ −u′

1+u2 .

19. y = arc sec u, |u| > 1 ⇒ y′ = u′|u|√u21 , |u| > 1.

20. y = arc cosec u, |u| > 1 ⇒ y′ = −u′|u|√u21 , |u| > 1.

• Identidades Trigonométricas

1. sen2x + cos2 x = 1. 2. 1 + tg2x = sec2 x. 3. 1 + cotg2x = cosec2x. 4. sen2x = 1cos 2x2 . 5. cos2 x = 1+cos 2x2 . 6. sen 2x = 2 sen x cos x. 7. 2 sen x cos y = sen (x− y) + sen (x + y). 8. 2 sen x sen y = cos (x− y)cos (x + y). 9. 2 cos x cos y = cos (x− y) + cos (x + y). 10. 1± sen x = 1± cos (π2 − x

) .

• Integrais

1. ∫

du = u + c. 2.

undu = u

n+1

n+1 + c, n 6= 1. 3.

du u = ln |u|+ c.

4. ∫

audu = a u

ln a + c, a > 0, a 6= 1. 5.

eudu = eu + c.

6. ∫

sen u du = cos u + c. 7.

∫ cos u du = sen u + c.

8. ∫

tg u du = ln |sec u|+ c. 9.

∫ cotg u du = ln |sen u|+ c.

10. ∫

sec u du = ln |sec u + tg u|+ c. 11.

∫ cosec u du = ln |cosec u− cotg u|+ c.

12. ∫

sec u tg u du = sec u + c. 13.

∫ cosec u cotg u du = cosec u + c.

14. ∫

sec2 u du = tg u + c. 15.

∫ cosec2u du = cotg u + c.

16. ∫

du u2+a2

= 1aarc tg u a + c.

17. ∫

du u2−a2 =

1 2a ln

∣∣∣u−au+a ∣∣∣ + c, u2 > a2.

18. ∫

du√ u2+a2

= ln ∣∣∣u +

√ u2 + a2

∣∣∣ + c. 19.

du√

u2−a2 = ln ∣∣∣u +

√ u2 − a2

∣∣∣ + c. 20.

du√

a2−u2 = arc sen u a + c, u

2 < a2.

21. ∫

du u √

u2−a2 = 1 aarc sec

∣∣u a

∣∣ + c.

• Fórmulas de Recorrência

1.

sennau du = − senn−1au cos auan +

( n−1

n

) ∫ senn−2au du.

2. ∫

cosn au du = sen au cos n−1 au

an +

( n−1

n

) ∫ cosn−2 au du.

3. ∫

tgnau du = tg n−1au

a(n−1)

tgn−2au du.

4. ∫

cotgnau du = − cotgn−1aua(n−1)

cotgn−2au du.

5. ∫

secn au du = sec n−2 au tg au a(n−1) +

( n−2 n−1

) ∫ secn−2 au du.

6. ∫

cosecnau du = − cosecn−2au cotg aua(n−1) +

( n−2 n−1

) ∫ cosecn−2au du.

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