Seqüências Indução Matemática - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
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Brasilia8012 de Março de 2013

Seqüências Indução Matemática - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo das Seqüências e Indução Matemática
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Lista de Exercícios 4 Sequências e Indução Matemática

UFMG/ICEx/DCC DCC111 – Matemática Discreta

Ciências Exatas & Engenharias 1o Semestre de 2012

1. O conjunto dos números racionais Q é enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número racional um número natural. Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de um par ordenado onde o primeiro número representa o numerador e o segundo o denominador. Começando do número racional 1 — par ordenado (1, 1) — é possível associar o número natural 1 e, seguindo o sentido das setas, atribuir o próximo número natural definindo assim uma sequência de enumeração. Dado o número racional positivo pq , qual é o número natural correspondente?

↑ ...

... ...

... ... . . .

(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6). . . ↖

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5). . . ↑ ↘ ↖

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4). . . ↖ ↘ ↖

(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3). . . ↑ ↘ ↖ ↘ ↖

(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2). . . ↖ ↘ ↖ ↘ ↖

(1, 1)→(2, 1) (3, 1)→(4, 1) (5, 1)→(6, 1). . .

2. Prove por indução matemática que

12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6 , n ≥ 1.

3. Prove por indução matemática que

1 + 3 + 5 + . . . + (2n− 1) = n2, n ≥ 1.

4. Prove por indução matemática que

13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2, n ≥ 1.

5. Prove por indução matemática que

2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + . . . + 2n = n2 + n, n ≥ 1.

6. Prove por indução matemática que

n−1∑ i=1

i(i + 1) = n(n− 1)(n + 1)

3 ,∀ inteiros n ≥ 2.

7. Ache a fórmula fechada para o produto( 1− 1

2

)( 1− 1

3

)( 1− 1

4

) . . .

( 1− 1

n

) ∀ inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática.

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8. Ache a fórmula fechada para a soma

1 1 · 3

+ 1

3 · 5 + . . . +

1 (2n− 1) · (2n + 1)

∀ inteiros n ≥ 1 e prove o seu resultado por indução matemática.

9. Ache a fórmula fechada para a soma n∑

i=2

1 (i− 1)i

,

∀ inteiros n ≥ 2 e prove o seu resultado por indução matemática.

10. Prove o seguinte predicado P (n) usando indução matemática:

P (n): Qualquer número inteiro positivo n ≥ 8 pode ser escrito como a soma de 3’s e 5’s.

11. Suponha que temos selos de 4 e 7 centavos. Prove que é possível ter qualquer valor de postagem de 18 centavos ou mais usando somente esses selos.

12. Prove por indução matemática que n2 < 2n, para todos inteiros n ≥ 5.

13. Seja a seqüência a1, a2, a3, . . . definida como

a1 = 3 ak = 7ak−1,∀ inteiros k ≥ 2

Prove por indução matemática que an = 3 · 7n−1 para todos os inteiros n ≥ 1.

14. Seja a seqüência a1, a2, a3, . . . definida como

a1 = 1 a2 = 3 ak = ak−2 + 2ak−1,∀ inteiros k ≥ 3

Prove por indução matemática que an é ímpar para todos os inteiros n ≥ 1.

15. Seja a seqüência g0, g1, g2, . . . definida como

g0 = 12 g1 = 29 gk = 5gk−1 − 6gk−2,∀ inteiros k ≥ 2

Prove por indução matemática que gn = 5 · 3n + 7 · 2n para todos os inteiros n ≥ 0.

16. Seja a seqüência h0, h1, h2, . . . definida como

h0 = 1 h1 = 2 h2 = 3 hk = hk−1 + hk−2 + hk−3,∀ inteiros k ≥ 3

Prove por indução matemática que hn ≤ 3n para todos os inteiros n ≥ 0.

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17. Seja a seqüência x0, x1, x2, . . . definida como

x0 = 0 x1 = 1 xk = 5x3k−1 + 7xk−2,∀ inteiros k ≥ 2

Prove por indução matemática que se k é múltiplo de 3 então xk é par.

18. Seja a seqüência a0, a1, a2, . . . definida como

a0 = 0 a1 = 0 ak = ak−1 + 3k(k − 1),∀ inteiros k ≥ 2

Ache a fórmula fechada para o k-ésimo termo e prove por indução matemática.

19. Seja a seqüência a0, a1, a2, . . . definida como

a0 = 0 a1 = 1 ak = k − ak−1,∀ inteiros k ≥ 1

Ache a fórmula fechada para o k-ésimo termo e prove por indução matemática.

20. Prove por indução matemática que ∀n ≥ 1, 3n − 2 é ímpar.

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