Sequências - Exercícios - Cálculos, Notas de estudo de Economia. Universidade Veiga de Almeida (UVA)
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Pele_896 de Março de 2013

Sequências - Exercícios - Cálculos, Notas de estudo de Economia. Universidade Veiga de Almeida (UVA)

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Apostilas e exercicios de economia sobre sequências de exercicios.
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- Cálculo 2: Lista de exerćıcios 1 - Sequências1

1. Obtenha uma expressão para o termo geral de cada sequência abaixo:

(a)

( 1

2 , 1

4 , 1

8 , 1

16 , · · ·

) ; (b)

( 1

2 , 1

4 , 1

6 , 1

8 , · · ·

) ; (c) (2, 7, 12, 17, · · ·); (d)

( 1 4 , 2

9 ,− 3

16 , 4

25 ,− 5

36 , · · ·

) ;

(e)

( 1,−2

3 , 4

9 ,− 8

27 , · · ·

) ; (f) (0, 2, 0, 2, 0, · · ·); (g) (5, 1, 5, 1, 5, · · ·); (h)

( 1

2 , 2

4 , 6

8 , 24

16 , 120

32 , 720

64 , · · ·

) .

2. Determine se a sequência converge ou diverge e se convergir obtenha seu limite:

(a) an = n(n− 1); (b) an = n+ 1

3n− 1 ; (c) an =

3 + 5n2

n+ n2 ; (d) an =

√ n

1 + √ n ;

(e) an = 2n

3n+1 ; (f) an =

n

1 + √ n ; (g) an =

(1)nn n2 + 1

; (h) an = sen (

2

) ;

(i) an = 2 + cos(); (j) an = 3 + (1)n

n2 ; (k) an =

n!

(n+ 2)! ; (l) an =

lnn2

n ;

(m) an = (1)nsen ( 1

n

) ; (n) an =

√ n+ 2

√ n; (o) an =

ln(2 + en)

3n ; (p) an = n2

−n;

(q) an = ln(n+ 1)lnn; (r) an = cos2 n

2n ; (s) an =

( 1 +

2

n

)n ; (t) an =

n!

2n .

3. Calcule o limite da sequência ( 2,

2 2,

√ 2 √

2 2, · · ·).

4. Mostre que a sequência definida por a1 = 1, an+1 = 31

an é crescente, e que an < 3 para todo n. Deduza que (an) é

convergente e calcule o seu limite.

5. Determine para quais valores de r a sequência nrn converge e obtenha seu limite.

6. (a) Se (an) for convergente, mostre que lim n→∞

an+1 = lim n→∞

an.

(b) Uma sequência (an) é definida por a1 = 1 e an+1 = 1

1 + an , para n ≥ 1. Supondo que (an) seja convergente,

encontre seu limite.

7. Sabe-se que uma determinada sequência (an) é decrescente e todos os termos estão entre 5 e 8. É posśıvel garantir que (an) converge? Nesse caso, é posśıvel afirmar algo sobre seu limite?

8. Determine se a sequência dada é monótona e/ou limitada:

(a) an = 1

2n+ 3 ; (b) an = n(1)n; (c) an =

n

n2 + 1 .

9. Seja an =

( 1 +

1

n

)n .

(a) Mostre que se 0 ≤ a < b, então b n+1 − an+1

b− a < (n+ 1)bn.

(b) Deduza que bn[(n+ 1)a− nb] < an+1.

(c) Use a = 1 + 1

1 + n e b = 1 +

1

n no item anterior para mostrar que (an) é crescente.

(d) Use a = 1, b = 1 + 12n no item (b) para mostrar que a2n < 4.

(e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que an < 4 para todo n.

(f) Conclua que (an) é convergente e mostre que lim n→∞

( 1 +

1

n

)n = e.

1Exerćıcios retirados do livro Cálculo, Vol. II, de James Stewart.

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Respostas:

1.

(a) an =

( 1

2

)n ; (b) an =

1

2n ; (c) an = 2 + 5(n− 1); (d) an = (1)n

n

(n+ 1)2 ;

(e) an = (2)n−1

3n−1 ; (f) an = (1)n + 1; (g) an = [(1)n−1 + 1]2 + 1; (h) an =

n!

2n .

2.

(a) diverge; (b) 1

3 ; (c) 5; (d) 1;

(e) 0; (f) diverge para +; (g) 0; (h) diverge;

(i) diverge; (j) 0; (k) 0; (l) 0;

(m) 0; (n) 0; (o) 1

3 ; (p) 0;

(q) 0; (r) 0; (s) e2; (t) diverge para +∞.

3. 2.

4. 3 +

5

2 .

5. Para |r| < 1, lim n→∞

nrn = 0.

6. (b)

51 2

7. (an) converge pois é monótona e limitada. Além disso, seu limite está entre 5 e 8.

8. (a) decrescente, limitada; (b) não-monótona, ilimitada; (c) decrescente, limitada.

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