Solução de Problema de Valor Inicial - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)
Paulo89
Paulo895 de Março de 2013

Solução de Problema de Valor Inicial - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC-RS)

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Apostilas e exercicios de matematica sobre o estudo da solução de Problema de Valor Inicial.
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SOLUÇÃO DE PROBLEMA DE VALOR INICIAL:

SOLUÇÃO DE PROBLEMA DE VALOR INICIAL:

Problemas de valor inicial constituem uma grande classe de problemas de engenharia química. Nesse tipo de problema, o valor da variável é dado no ponto inicial do domínio do problema. Seja a seguinte EDO de primeira ordem:

),( yxF dx dy = com y (x0)= y0

Para esse tipo de problema os métodos normalmente utilizados são: • Euler explicito. • Euler implícito • Método trapezoidal • Range-kutta

MÉTODO DE EULER EXPLÍCITO

Este método consiste em usar a condição inicial (x0, yo) para calcular a inclinação de y(x) em x= x0, ou seja,

),( 000 yxFdx dy

XX ==

Por outro lado tem-se:

x

xyxxy dx dy

XX ∆ −∆+==

)()( 00 0

Então, assumindo-se que a inclinação dx dy

permanece constante para pequenos ∆x, o valor de

y(x0+∆x) pode ser determinado: y (x+∆x) = y0+∆xF (x0,y0)

Esses valores de x e y [ isto é, x0+ ∆x e y(x0+∆x)] São usados para estimar a derivada no ponto. A fórmula geral de recursão para esse método é dado por: y (xi+∆x) = y(xi)+∆xF (xi,y(xi))

Ou yi+1= yi +∆xf(xi,yi)

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Por outro lado, o erro de truncamento local é associado com o erro em cada passo, é dado por:

ej= 0(∆x2)

E o erro de truncamento global é dado por:

Ei= solução exata de yi – solução numérica

Ei= ∑ =

i

J Je

1

Se o erro de truncamento é função de ∆x apenas, e nem de x ou y, então:

Ei= ∑ =

i

J JxK

1

2

Onde ∑ =

i

J J

1 é inversamente proporcional com ∆x para um comprimento fixo( quanto maior ∆x

menor o nº de ponto no comprimento e vice-versa). Neste caso , o erro de truncamento global é dado por:

Ei= O(∆x)

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TRANSFORMAÇÃO DE UMA EDO, NUM SISTEMA DE EDO

Seja a seguinte EDO geral de ordem “n”: yn= F (t, y, y’, ...,yn-1)

Com a seguinte mudança de variável: x1= y ; x2= y’, ..., xn= y n-1

É obtido o seguinte sistema: 21 xx = 32 xx =

.

.

. nn xx =−1

Aplicação: Transforme a seguinte EDO, num sistema de EDO:

'' 3

' 21

12

2

23

3

1

; ; yxyxyx

sent dt dyc

dt ydb

dt yda

===

=++

1

2132'''3

3 ''2

2 '1

a xcxbsenty

dt dx

xy dt dx

xy dt dx

−−==

==

==

Exemplo1: Usando o método de Euler, calcule o valor de y(1)=? Se y(0)=1 com ∆x=0,1

Para: yx dx dy 2=

Exemplo2: Considere um reator em semi-batelada, conforme figura abaixo, com a seguinte reação:

A(l) → P(l) r = kCA2

Qo,CAo

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Inicialmente, o reator é alimentado com um líquido inerte até um volume V0. No tempo t0 uma corrente contedo ‘A’ numa concentração de CAo é alimentada para o reator num fluxo Qo. A equação do processo é dada por:

R

A Aoo

A

V kn

CQ dt dn 2

−=

Onde, VR= Qot+Vo

Dessa forma, oo

A Aoo

A

VtQ kn

CQ dt dn

+ −=

2

Onde, nA=0 para t= 0

Assuma os seguintes valores para os parâmetros do problema: CAo=1 gmol/l; K=0,1 l/gmol×S Qo= 10,0 l/s; Vo= 50 l.

Agora use o método de Euler explicito para determinar o valor de nA(100)=?

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

O método de Runge-kutta fornece uma aproximação para integração explicita do problema de valor inicial de ODE’s. Este método é um dos mais usados para integração numérica de ODE’s. Existem vários métodos de Runge-kutta, um método de quarta ordem é dado por:

)22( 6 43211

kkkkxyy ii +++ ∆+=+

Onde, k1= f( xi, yi)

k2 = )2 1,

2 1( 1 xkyxxf ii ∆+∆+

k3= f (xi )2 1,

2 1

2 xkyx i ∆+∆+

k4= f ( xi+∆x, yi+k3∆x)

Como este é um método de quarta ordem, o erro de truncamento local é ei =0(∆x5). A figura na transparência abaixo é uma representação gráfica do método de Runge-kutta

de quarta ordem. Note que K1 é usado para calcular K2, que por sua vez é usado para estimar k3. Os valores dos K’s são as inclinações de “y” sobre o intervalo (x0, x0+∆x).

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Os métodos de Runge-Kutta podem ser escritos de uma forma geral:

∑ =

+ += ν

1 11

J Jii kwyy

Onde, ),( 1

1 ∑

= ++∆=

J

L LjLijiJ kayhcxxfk

Com c1=0 Deve ser notado que se ν=1, w1=1 Então K1=∆xf(xi,yi), com isso, o método de Euler é obtido.

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Então, o método de euler é um método de Runge-kutta de mais baixa ordem. Existem vários outros métodos de Runge-Kutta, tais como: *Método de Butcher * Método de Fehlberg * Método de Merson * Método Implícito

Para maiores detalhes consulte o livro do: Milan Kubicek e Vlademir Hlavacek, Numerical Solutions of nonlinear Boundary Value Problems with applications.

Exemplo: Resolva o problema anterior aplicando o método de Runge-Kutta de 4° ordem.

Desenvolvimento do método de Runge-kutta de 2º ordem (ν=2)

Da fórmula geral tem-se: 2211 1

1 kwkwykwyy i j

JJii ++=+= ∑ =

+

ν

Onde: ) ,( 1

1 L

J

L JLijiJ kayhcxhfk

= ++= com c1=0

Então, k1=hf(xi,yi+O)=hf(xi,yi) K2= hf(xi+hc2,yi+a21k1)

Considere agora o problema de valor inicial

y’= F(x,y), y (x0) =y0 x0≤ x< xN

Se y( x) é a solução exata, então expandindo-se y(x) em torno do ponto xi em série de Taylor fica:

yi+1= y(xi)+ hy’(xi)+ )()('' !2

3 2

hOxyh i +

yi+1= y(xi)+ hF(xi,yi)+ )(),(' !2

3 2

hOyxFh ii +

Por outro lado, );( FFFdx dy

dy dF

dx dF

dx dF

yxXX ii

i

i i

+=×+= =

Então, );( !2

),()( 2

1 FFF hyxhFxyy yxiii +++=+

Definindo-se duas variáveis “n” e “φ” localizadas próximas de xi e yi, tem-se que: ),()(),()(),(),( iiyiiixiii yxFyyxFxnyxFnF −+−+≈ φφ

Onde, n= xi+c2h e 121kay i +=φ Então, (n-xi)= c2h e 121)( kay i =−φ

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Então, K2 pode ser reescrito como, k2= hF(xi+c2h, yi+a21k1)=hFi+c2h2Fxi+ha21k1Fyi , que é a aproximação em série de taylor de F .

Então, k2= hFi+c2h2Fxi+ha21k1Fyi

com, k1=hFi

Logo, k2= hFi+c2h2Fxi+ h2a21(FyF)i= hFi +h2(c2Fx+a21FyF);

Como yi+1= yi+w1k1+w2k2= y i+ w1×hFi + w2hFi + w2h2c2Fx + w2h2a21FyF

Comparando essa equação com a equação yi+1 = yi + hFi + h2/2 (Fx + FyF);

Tem-se que: w1h+w2h= h ⇒ w1+w2=1

5,0 2 22

2

2 2

2 =→= cw hchw

w2h2a21= h2/2 ⇒ w2a21=0,5

Como temos 4 incógnitas e três equações. Um parâmetro deve ser fixado e os outros determinados em função do mesmo. Se C2=0,5 Então, w2 =1, w1 = 0, C2 = 0,5, a21 =1/2

Dessa forma o esquema de Runge-Kutta de 2º ordem será:

0

yi+1= yi+w1k1+w2k2= )2 1,

2 1( iiii hFyhxhfy +++

yi+1= )2 1,

2 1( 1kyhxhfy iii +++

Método implícito

O método de Euler implícito pode ser derivado da expansão em série de Taylor de yi(x) em torno de y (xi+∆x).

)...( 2

)()()( '' 2

' xxyxxxxyxxyxy iiii ∆+ ∆+∆+∆−∆+=

Desprezando-se os termos de ordem 2 em diante fica:

)()()( ' xxxyxxyxy iiii ∆+∆−∆+=

Então, )()()( ' xxxyxyxxy iiii ∆+∆+=∆+

Yi+1= y(xi)+ ∆xy’(xi+∆x)

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Por outro lado, ),( 11' ++== ii yxFdx dyy

Então, yi+1=y(xi)+∆xF(xi+1,yi+1)

Note que para calcular yi+1 deve-se conhecer F(xi+1, yi+1), portanto, em geral requer a solução de uma equação não linear. Este método possui um erro de aproximação igual ao método de Euler explícito. Um outro método bastante usado é o método trapezoidal. A relação de recorrência desse método é:

)],(),([ 2 111 +++

+∆+= iiiiii yxFyxF xyy

Pode-se demonstrar que o erro de truncamento desse método é: O (∆x)3. Portanto, o método trapeizodal é de segunda ordem. O método de Euler implícito e método trapezoidal oferecem uma solução numérica mais estável.

Os métodos chamados preditor-corretor consistem em utilizar um método explícito, denominado preditor, para calcular uma estimativa do valor de yn+1. Ao invés de prosseguir para o próximo intervalo, porém, este valor estimado é usado no segundo membro de um método implícito, denominado corretor, para obter um valor mais próximo de yn+1. Existem combinações mais eficientes que outras - por exemplo, se o preditor costuma errar para mais, um corretor que erre para menos pode ser mais indicado. Uma combinação comum é Adams-Bashford de quarta ordem com Adams-Moulton. Um método preditor-corretor bastante utilizado é o de Hamming (Carnahan, B., Luther, H. A. e Wilkes, J. O. Applied Numerical Methods, J. Wiley, 1969)

Resolva os seguintes exemplos usando o método trapeizodal:

a) Um destilador em batelada, conforme a figura abaixo, contêm inicialmente 25 moles de n- octano e 75 moles de n-heptano. O destilador é operado a pressão constante de 1 atm. Determine a variação da fração molar de n-heptano com o tempo.

)16,11( )1(

)()1( )(

16,1 H

HH F

O

O F

H

x xx

tStS SS

dt dx

+ −

× ×+−

− = , xH= xHO, t=0

Onde, So=100, SF=10 e xHO= 0,75

b) yx dx dy 2= y=1 para x=0 c) yxe

dx dy = y=1 para x=0

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Estabilidade do método

Para estudar a estabilidade numérica do método de integração de ODE, considere o seguinte

problema: y dx dy λ= com y (0)= y0

A solução analítica desse problema é dada por: ya= y0eλx (Falar sobre estabilidade de sistemas dinâmicos)

onde λ é o autovalor do problema. Agora considere o método de Euler explícito aplicado a esse problema. A relação de recorrência é: yi+1= yi+∆xλyi

Ou y1= y0 ( 1+∆xλ) y2= y1+∆xλy1 = y0 ( 1+∆xλ) +∆xλy0(1+∆xλy1)= y0(1+∆xλ)(1+∆xλ)= y0(1+∆xλ)2

. . . yi= yo(1+∆xλ)i

Na solução numérica, há um erro de arredondamento em cada passo. Consideremos o primeiro erro de arredondamento, C0, então

yi= yo(1+∆xλ)i-CO(1+∆xλ)i Ou seja, yi= (yo-Co)(1+∆xλ)i

Por outro lado, a diferença entre a solução analítica ya e a solução numérica yi, isto é, o erro de truncamento global é dado por:

Ei= yoei∆xλ - (yo-co)(1+∆xλ)i

Rearrumando a equação acima fica: Ei= yoei∆xλ - yo(1+∆xλ)i+co(1+∆xλ)i

Os dois primeiros termos representa a diferença entre a solução exata e o método de euler, enquanto o último termo representa o primeiro erro de arredondamento. Da expressão acima, observa-se que o erro crescerá rapidamente se (1+∆xλ) for menor do que -1 ou maior que 1, e dessa forma, dominará rapidamente o valor calculado. Mas se,

-1≤ 1+∆xλ ≤1 ou -2≤ ∆xλ ≤0

O erro não crescerá, decrescendo em cada iteração e a estabilidade do método é garantida. Por outro lado, se o autovalor do problema, λ, for positivo, o sistema é dito instável pois ele irá crescer ilimitadamente a medida que x cresça. Se o autovalor for negativo, diz-se que o sistema é

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estável, pois se x crescer infinitamente o valor de y tende a zero. Então, para a estabilidade do método de Euler, os autovalores devem ser negativos e o tamanho do passo menor que o valor absoluto de 2/λ.

Quanto a ODE não for linear, a mesma deve ser linearizada em algum ponto e verificado o sinal do autovalor. O valor do autovalor pode ser estimado pela seguinte relação.

i

i

xx

xx

y dx dy

=

= =λ

Portanto, para determinar o valor local de λ, faz-se o quociente do valor da derivada no ponto pelo valor de y no ponto, ambos calculados na mesma iteração.

Comparação da precisão e estabilidade do Euler explicito, Runge-kutta e trapezoidal:

Método Ordem de aproximação Tamanho máximo do passo de estabilidade Euler explicito 1 2 / |λ|

Runge-Kutta de 4º ordem 4 2,8/ |λ| Trapezoidal 2 Sem limite

RIGIDEZ NUM PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Uma medida do efeito da estabilidade em problemas de valor inicial é a taxa de stiffness: (rigidez do problema): S= |λ| (tF- to)

Onde to é o tempo inicial e tf é o tempo final. Portanto, um pequeno intervalo de tempo com um grande λ, pode ser menos stiff ( isto é, um fácil problema de valor inicial) que um grande intervalo de integração com um pequeno λ.

Quando λ <10 ( isto é, S<10), todos os métodos usam ∆x=0,1e o Runge-Kutta é o mais preciso. Quando λ> 100 ( isto é, S> 100), a precisão não é problema para nenhum integrador, mas o tamanho do passo devem ser reduzidos para ∆x=0,01, no método de Euler e Runge-kutta. Enquanto que o método trapeizodal continua a utilizar ∆x=0,1. Portanto, para problema com

grande stiff um método implícito deverá ser utilizado. Finalmente, quando 10<λ<100, o tamanho do passo para o método de Runge-kutta e Euler devem ser escolhidos baseados no fator de estabilidade, mas a estabilidade é moderada e o tamanho do passo permanecerá num nível estável.

Exemplo: Integração instável usando um método explícito. Use o método explícito de Euler para integrar a seguinte equação diferencial

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y dx dy 100−=

y(0)=10 de x=0 para x=0,1 com os seguintes passos: ∆x=0,05;0,01 e 0,001.

Exemplo: Considere a seguinte reação iniciando com A puro. A↔B

A reação é descrita por: BAA CkCkdt dC

21 +−=

Onde CA=CAo para t=0 CA→ concentração de A.

Definindo-se y1= eq A

O A

eq AA

CC CC

− −

onde →eqAC concentração de equilíbrio

Então, 121 1 )( ykk

dt dy

+−= y1=1 para t=0

Se K1= 100 e K2= 1, então use o método de Euler para resolver o problema acima com ∆t=0,05; 0,01; 0,001 de t=0 para t=0,1.

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