Técnicas de Integração - Apostilas - Engenharia de Computação, Notas de estudo de . Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
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Garoto7 de Março de 2013

Técnicas de Integração - Apostilas - Engenharia de Computação, Notas de estudo de . Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Engenharia de Computação sobre o estudo das Técnicas de Integração, integração por substituição e por partes, regra da substituição, método.
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Matemática Superior - UVB

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Aula 13 Técnicas de Integração

Objetivos da Aula

Estudar técnicas especiais de integração: integração por

substituição e por partes, mostrando que estes processos são

ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla

classe de funções.

Regra da Substituição

É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas

nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular

integrais do tipo

Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x

+ 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo.

Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo

uma mudança de variáveis:

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Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos

Assim resolvendo esta integral teremos:

Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos

Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está

correto calculando

e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ].

Regra da Substituição [ 2 ]

Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo

I e f for contínua em I, então

Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada

usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se

u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra

da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais.

Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com

dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.

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Método de Integração por Substituição

Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral

foi bem-sucedido, escrevamos

Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de

é precisamente a composta de f e g. De fato

Portanto, pode ser escrita como

Mostraremos em seguida que uma integral da forma

pode ser escrita como

Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da

cadeia temos

Portanto,

Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos

como queríamos mostrar. Assim, se a integral transformada pode ser

diretamente calculada, como é o caso da integral

, então o método da substituição será bem-sucedido.

Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração

por substituição.

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Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em

geral “a função interna” da função composta f (g(x)).

Passo 2. Calcule du = g’(x) dx.

Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter

a integral em uma outra envolvendo apenas u.

Passo 4. Calcule a integral resultante.

Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como

função de x.

Observação:

Ás vezes é necessário considerarmos diferentes escolhas de g para

a substituição u = g(x) para podermos executar os passos 3 e/ou 4.

Exemplo 1:

Calcule

Solução:

Passo 1. Observemos que o integrando envolve a função composta

com “função interna”

Assim, escolhemos

Passo 2. Calculamos du = 2x dx.

Passo 3. Fazendo a substituição , obtemos

uma integral envolvendo de apenas a variável u.

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Passo 4. Calculamos

Passo 5. Substituindo u por , obtemos

Exemplo 2:

Calcule

Solução:

Passo 1. O integrando contém a função composta

“função interna”

Assim, seja

Passo 2. Calculamos

Passo 3. Fazendo a substituição

uma integral envolvendo apenas a variável u.

Passo 4. Calculamos

Passo 5. Substituindo u por obtemos

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Aplicação

Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia

Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores

pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à

taxa de

unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número

total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem

disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá

no primeiro ano em que eles estiverem no mercado?

Solução:

Denotemos por N(t) o número total de computadores que se espera

que sejam vendidos t meses após sua introdução no mercado. Então,

a taxa de crescimento de vendas é dada por N ‘(t) unidades por mês.

Assim,

Calculando a segunda integral pelo método de substituição, obtemos

Para determinarmos o valor de C notemos que o número de

computadores vendidos ao final do mês 0 é nulo, donde N(0) = 0.

Isto fornece

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O número de computadores que a Universal espera vender no

primeiro ano á dada por

Integração por Partes

Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de

integração. Por exemplo, a Regra da Substituição para integração

corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que

corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de

integração por partes.

A Regra do Produto estabelece que se f e g são funções

diferenciáveis, então

Na notação para integrais indefinidas essa equação torna-se

Podemos rearranjar essa equação como

A fórmula [ 1 ], chamada fórmula de integração por partes, é mais

facilmente lembrada com a seguinte notação: seja u = f (x) e v = g

(x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x), e assim, pela

Regra da Substituição, a fórmula da integração por partes torna-se

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Exemplo 1:

Calcule

Solução:

Nenhum método de integração desenvolvido até agora nos

permite calcular uma integral indefinida desta forma. Portanto,

tentaremos escrevê-la em termos de uma integral indefinida

mais fácil de ser calculada. Vamos usar a fórmula de integração

por partes [ 2 ] fazendo

Portanto,

O sucesso do método de integração por partes depende da escolha

apropriada de u e dv. Por exemplo, se tivéssemos escolhido

no exemplo anterior, então

Logo, [ 2 ] teria resultado em

Como a integral indefinida no lado direito desta equação não é

facilmente calculada (ela é de fato mais complicada que a integral

original), a escolha de u e de dv feita não nos ajudou a calcular a

integral indefinida dada.

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Em geral, podemos usar as seguintes diretrizes

Diretrizes para a escolha de u e dv

Escolha u e dv, tais que

1. du é mais simples que u;

2. dv é mais fácil de integrar

Exemplo 2:

Calcule

Solução:

Fazendo

O próximo exemplo mostra que a aplicação repetida da técnica

de integração por partes é às vezes necessária para calcular

uma integral.

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Exemplo 3:

Calcule

Solução:

Para completar a solução do problema, é necessário calcular a integral

Mas esta integral pode ser obtida usando-se integração por partes.

Usando os resultados obtidos neste exercício, encontramos

Aplicação

A taxa estimada de produção de petróleo de um certo poço t anos

após a produção ter começado é dada por

milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a produção total de petróleo ao final do ano t.

Solução:

Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano

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Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de petróleo por ano. Logo,

Usando a técnica de integração por partes para calcular esta integral.

Sejam

Referências Bibliográficas

TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:

Thomson, 2001.

MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de

Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo:

Atlas, 1999 .

LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São

Paulo: Harbra, 1988.

STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2003.

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