Teoremas de Baire, Banach-Steinhaus, Aplicação Aberta e Gráfico Fechado - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Teoremas de Baire, Banach-Steinhaus, Aplicação Aberta e Gráfico Fechado - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo dos Teoremas de Baire, Banach-Steinhaus, Aplicação Aberta e Gráfico Fechado.
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 3: Teoremas de Baire, Banach-Steinhaus, Aplicação Aberta e Gráfico Fechado

1. Mostre que um espaço topológico homeomorfo a um espaço de Baire é também um

espaço de Baire.

2. Mostre que todo conjunto enumerável E num espaço métrico X é magro se, e somente

se, E não possui pontos isolados em X.

3. Mostre que Q não é um conjunto em R e que, para cada função f : R R o conjunto dos pontos de continuidade de f é um conjunto . Conclua que não existe função de

R em R tal que o conjunto dos pontos de continuidade seja exatamente Q. Dê exemplo de uma função de R em R cont́ınua apenas em R/Q.

4. Seja ψ : R (0,∞). Mostre que existem um intervalo não vazio (a, b) e um natural n0 tal que {t ∈ (a, b) : ψ(t) > 1

n0 } é denso em (a, b).

5. Sejam X e Y espaços de Banach e seja b : X × Y → F uma aplicação bilinear. Mostre que b é cont́ınua se, e somente se as aplicações lineares x 7→ b(x, y) (para cada y fixado) e y 7→ b(x, y) (para cada x fixado) são cont́ınuas.

6. Prove as seguintes generalizações do exerćıcio anterior:

(a) Se X, Y e Z são espaços vetoriais normados e X é completo, então uma aplicação

bilinear b : X×Y → Z é cont́ınua se, e somente se, as aplicações lineares x 7→ b(x, y) (para cada y fixado) e y 7→ b(x, y) (para cada x fixado) são cont́ınuas.

(b) Se X1, . . . , Xk são espaços de Banach e b : X1 × . . . Xk → F é uma aplicação multilinear tal que para cada i = 1, . . . , k e xj ∈ Xj fixados com j ̸= i, as aplicações bi : Xi → F, bi(xi) = b(x1, x2, . . . , xk) são cont́ınuas então b é cont́ınua.

7. Sejam X e Y espaços vetoriais normados e seja T : X → Y uma transformação linear. Mostre que T é cont́ınua se, e somente se, T−1B̄Y (0, 1) tem interior não vazio.

8. Sejam ∥.∥1 e ∥.∥2 duas normas em um espaço vetorial X que o tornam um espaço de Banach. Mostre que se existe C > 0 tal que ∥x∥1 ≤ C∥x∥2 para todo x ∈ X então as duas normas são equivalentes.

9. Sejam X e Y espaços de Banach. Mostre que se T ∈ L(X, Y ) é uma bijeção então existem C1 e C2 tais que

C1∥x∥ ≤ ∥Tx∥ ≤ C2∥x∥

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para todo x ∈ X.

10. Mostre que T : l1(N) ←↩, dado por T (x1, x2, . . . ) = (x1, x2/2, x3/3, . . . ) é linear, cont́ınuo e invert́ıvel, mas sua inversa T−1, definida na imagem de T não é um operador cont́ınuo.

Justifique que isso não contradiz o teorema da aplicação aberta, mostrando que a imagem

de T não é fechada em l1(N).

11. Mostre que se T é uma transformação linear sobrejetora entre os espaços de Banach X

e Y tal que T (B(0, 1)) está contido em algum compacto então dimensão de Y é finita.

12. Se T é uma transformação linear cont́ınua sobrejetora entre os espaços de Banach X e

Y , mostre que existe C > 0 tal que para todo y ∈ Y a equação Tx = y possui uma solução x0 = x0(y) tal que ∥x0∥ ≤ C∥y∥.

13. Sejam X e Y espaços de Banach. Mostre que o conjunto das transformações lineares

cont́ınuas sobrejetoras de X em Y é um subconjunto aberto de L(X, Y ). (Dica: Use o

roteiro do exerćıcio 8.14 do livro de César de Oliveira).

14. Seja T : domT ⊂ X → Y uma transformação linear e suponha que X e Y são espaços de Banach. Considere a norma do gráfico de T

∥x∥T = ∥x∥+ ∥Tx∥, x ∈ domT

Mostre que se T é fechado, então (domT, ∥.∥T ) é um espaço de Banach.

15. Sejam domT = {ψ ∈ L2[1, 1] : ψ(t) = 0 numa vizinhança de 0} e domS = {ψ ∈

L2[1, 1] : ψ(t) t

∈ L2[1, 1]}, com

()(t) = ()(t) = ψ(t)

t , ∀ t ∈ [1, 1],

para ψ nos domı́nios apropriados. Mostre que T não é fechado, mas que S é um operador

fechado.

16. Sejam X e Y espaços vetoriais normados e T : X → Y uma transformação linear fechada. Demonstre que:

(a) Se T−1 existe, então ela também é fechada.

(b) Se S ∈ L(X,Y ), então T + S é fechado.

(c) Se X = Y , para todo λ ∈ F o núcleo N(T − λ1) é um subespaço vetorial fechado de X.

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17. Mostre que o operador identidade

1 : (C[0, 1], ∥.∥1) (C[0, 1], ∥.∥∞), ψ 7→ ψ

é fechado, contudo não é cont́ınuo. Conclua que (C[0, 1], ∥.∥1) não é completo.

18. Use o Teorema do Gráfico Fechado para provar que se T : lp(N) ←↩; 1 ≤ p ≤ ∞, é linear e comuta com o operador shift S(x1, x2, . . . ) = (0, x1, x2), então T é limitado.

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