Teoremas de Hahn-Banach e Aplicações - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Teoremas de Hahn-Banach e Aplicações - Exercícios - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo do Teoremas de Hahn-Banach e Aplicações.
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 4: Teoremas de Hahn-Banach e Aplicações

1. Seja X um espaço vetorial e seja A ⊂ X um conjunto linearmente independente. Mostre que X possui uma base (de Hamel) que contém A.

Dica: Use o Lema de Zorn.

2. Mostre que todo espaço vetorial X admite uma norma.

3. Mostre que p : l∞(N)(real) R definido por

p(x) = lim sup n→∞

xn

sendo x = (x1, x2, x3, . . . ), é um funcional sublinear. Note que este é um exemplo de um

funcional sublinear p que não é sempre positivo.

4. Seja p como no Teorema de Hahn-Banach complexo. Mostre que

|p(x)− p(y)| ≤ p(x− y), ∀x, y ∈ X.

5. Mostre que se um funcional sublinear num espaço normado X é cont́ınuo em x = 0,

então ele é cont́ınuo em todo ponto de X.

6. Se o espaço normado N ̸= {0} (ou seja, é não-trivial), mostre que seu dual N∗ ̸= {0}.

7. Verifique as seguintes propriedades do funcional sublinear p : X → R:

(a) p(0) 0

(b) max{p(x), p(−x)} ≥ 0, ∀x ∈ X

(c) q(x) = sup|α|=1 p(αx) é uma seminorma

(d) Se {pj} é uma famı́lia de funcionais sublineares e {pj(x)} é limitado para cada x ∈ X, então p(x) := supj pj(x) também é um funcional sublinear.

8. Se X é um espaço vetorial real e p : X → R é um funcional sublinear, mostre que para cada x0 ∈ X existe um funcional linear f : X → R que satisfaz f(x0) = p(x0) e f(x) ≤ p(x) para todo x ∈ X. Enuncie e demonstre uma versão deste resultado no caso em que X é complexo.

9. Verifique que toda seminorma num espaço vetorial é um funcional sublinear. Vale a

rećıproca?

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10. Se p : N → R é subaditivo (p(x + y) ≤ p(x) + p(y)), mostre que se p(x) 0 para todo ∥x∥ ≥ r > 0, então p(x) 0 para todo x ∈ N

11. Seja X um espaço normado complexo e h : X → R um funcional linear real limitado. Mostre que f : X → C, dado por f(x) = h(x) − ih(ix), pertence ao dual de X e ∥f∥ = ∥h∥.

12. Sejam N1, N2 dois espaços normados não triviais. Use o Teorema de Hahn-Banach para

mostrar que se qualquer operador linear limitado e não-nulo T : N1 → N2 é sobrejetor, então dimN2 = 1.

13. Mostre que se L(X, Y ) é um espaço de Banach com X ̸= {0}, então Y é um espaço de Banach.

14. Use a desigualdade de Minkowski para mostrar que lp(N) é estritamente convexo se, e somente se, 1 < p < ∞.

15. Sejam M um subespaço do espaço vetorial normado X e f ∈ M∗ com ∥f∥ = 1. Mostre que se existem duas extensões distintas de Hahn-Banach de f preservando norma então

existem infinitas de tais extensões.

16. Seja Z subespaço vetorial de N . Mostre que todo funcional linear limitado em Z

restrição de algum elemento de N∗. Conclua, então, que Z∗ = {f |Z : f ∈ N∗}.

17. Mostre que se x ∈ N é tal que f(x) = 0, para todo f num conjunto denso e N∗, então x = 0.

18. Seja N um espaço vetorial normado. Mostre que K ⊂ N é limitado se, e somente se, f(K) é limitado para todo f ∈ N∗.

19. Seja B um espaço de Banach. Mostre que um subconjunto K ⊂ B∗ é limitado se, e somente se, para cada x̂ ∈ B̂ tem-se supf∈K |x̂(f)| < ∞. Dê um exemplo para mostrar que o resultado é falso se B não é Banach.

20. Se T ∈ L(N1, N2), demonstre que

∥T∥ = sup ∥x∥=1

sup ∥f∥=1

|f(Tx)|,

onde x ∈ N1 e f ∈ N∗2 .

21. Seja M um subespaço do espaço vetorial normado X. O anulador de M é definido por

M⊥ = {f ∈ X∗ : f(x) = 0, ∀x ∈ M}.

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De forma análoga, define-se o anulador de um subespaço Λ de X∗ por

Λ = {x ∈ X : f(x) = 0, ∀ f ∈ Λ}.

(a) Mostre que M⊥ e Λ são subespaços de X∗ e X, respectivamente.

(b) Verifique que Λ = X ∩ Λ(identificando X com X̂ ⊂ X∗∗).

(c) Mostre que M ⊂ ⊥(M⊥) e, se M for fechado, então M = (M⊥).

(d) Mostre que Λ (Λ)e, se X for reflexivo e Λ fechado, então (Λ)= Λ.

22. Seja M um subespaço de um espaço normado X. Mostre que

M = ∩

{N(f) : f ∈ X∗,M ⊂ N(f)}.

23. Mostre que se X é um espaço vetorial normado reflexivo então ele é um espaço de

Banach.

24. Mostre que todo subespaço vetorial fechado de um espaço normado reflexivo é reflexivo.

25. Mostre que um espaço de Banach X é reflexivo se, e somente se, seu dual X∗ é reflexivo.

26. Se X é reflexivo, mostre que para qualquer f ∈ X∗ existe x0 ∈ X, com ∥x0= 1, de modo que ∥f∥ = f(x0) (ou seja, em espaços reflexivos todo funcional linear cont́ınuo atinge o máximo na bola unitária).

27. Seja f : c0 R dado por f((xj)∞j=1) = j=1

xj j2 . Mostre que f ∈ c∗0, ∥f∥ =

∞ j=1

1 j2 , mas

não existe x ∈ c0 com ∥x∥ = 1 e f(x) = ∥f∥. Use o exerćıcio anterior para concluir que c0 não é reflexivo.

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