Teoria dos Conjuntos - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)
Carnaval2000
Carnaval20006 de Março de 2013

Teoria dos Conjuntos - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Federal de Educação Tecnológico (CEFET-PA)

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Apostilas e exercicios de Matemática sobre o estudo da teoria dos conjuntos.
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AULA I - CONJUNTOS

* Introdução: para iniciar nossos estudos de conjuntos, vamos aprender os conceitos básicos e como pode ser representado um conjunto, esta aula será dividida em 4 momentos.

1º Momento - Mostrar um pouco sobre a ideia de Conjuntos e defini-lo: o estudo de conjuntos é tão antigo quanto à origem dos números. Quando uma criança aprende a ter noção de números ela associa esses números com o conjunto de objetos que simbolizam determinada quantidade.

Na matemática, quando se trata de conjuntos, o conceito é primitivo, ou seja, não há uma definição.

Assim aceitaremos por conjunto como uma coleção ou classe de objetos bem definidos, o os objetos que formam o conjunto são chamados ELEMENTOS do conjunto. Com essa idéia para um elemento fazer parte de um conjunto ele tem que ter algo em comum com todos os outros. Se for montar um conjunto de alunos do 9º ano, só vai pertencer a esse conjunto apenas alunos do 9º ano.

2º Momento - Nomenclatura dos Conjuntos: ou seja, mostrar o vocabulário e de como chamaremos cada conjunto e cada elemento dos conjuntos, essa será uma parte clara, já que cada conjunto é nomeado por letras maiúsculas, e a cada elemento é nomeado por letras minúsculas, lembrando que isso não será sempre, pois também teremos conjuntos de números, de objetos, entre outros.

3º Momento - Representação de um Conjunto: são três maneiras para representar o conjunto, assim mostrarei definindo cada uma, e dando exemplos para uma melhor percepção.

4º Momento - Definir relação de pertinência: algo simples, mas muito importante na teoria de conjuntos é a relação de pertinência, como o nome diz, é uma simples relação de pertencer ou não pertencer, ou para uma melhor compreensão pode-se dizer que ou o elemento pertence ao conjunto ou não pertence.

* Definição: um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma característica em comum, uma propriedade que os distingue.

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Podemos falar em conjuntos de casas, de alunos, de logotipos, de figuras geométricas, de números etc.

* Exemplos:

1. Conjunto dos meses do ano.

2. Conjunto das letras do alfabeto.

3. Conjunto dos números naturais maiores que 2.

Repare que todos estes conjuntos são criados de elementos iguais, eles são: meses, letras do alfabeto, e números maiores que 2, não existem conjuntos de coisas diferentes.

* Nomenclatura característica:

* Os conjuntos são nomeados por letras maiúsculas: A, B, C, D, E, ..., Z.

* Seus elementos são indicados, geralmente, por letras minúsculas: a, b, c, d, e, ..., z.

* Representação de um Conjunto

Os conjuntos podem ser representados por três maneiras.

1º - entre chaves e separados por vírgulas:

* Exemplos:

1. Sendo V o conjunto das vogais:

V = {a, e, i, o, u}

2. Sendo I o conjunto dos números ímpares menores que 50:

I = {1, 3, 5, 6, 7, 8, ..., 47, 49}

3. Sendo P o conjunto dos números pares maiores que zero:

P = {2, 4, 6, 8, ...}

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2º - Enunciando uma propriedade comum aos seus elementos e somente a eles:

* Exemplos:

1. D = {x | x é dia da semana}, onde a barra vertical ( | ) significa “tal que”

Lê-se: “D é o conjunto dos elementos x, tal que x é dia da semana”.

2. I = {x | x é ímpar}

3. P = {x | x é par e maior que 3}

3º - Diagrama de Venn: Serve para representar graficamente um conjunto.

* Exemplo: Sendo V o conjunto das vogais, representamos como:

* Relação de Pertinência

* x pertence a A: é quando um elemento x está dentro de um conjunto A, escrevemos:

* Notação: x [pic]A

* x não pertence a A: é quando um elemento x não está dentro de um conjunto A, escrevemos:

* Notação: x [pic]A

* Exemplo:

Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, temos: 3 [pic] A e -3 [pic] A

EXERCÍCIOS:

1 - Represente os seguintes conjuntos, enumerando os seus elementos entre chaves:

a) D = [pic]é dia da semana}

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b) V = [pic]é vogal do nosso alfabeto}

c) L = {x | x é par e maior que 3}

d) M =[pic]IN e x < 2}

e) J = [pic]IN e x > 4 e x < 6}

f) E = [pic]IN e 2 < x < 7}

g) S = [pic]IN e [pic]}

2 - Agora temos o inverso. Os conjuntos estão escritos com seus elementos indicados. Escreva-os indicando uma propriedade característica de seus elementos.

a) A = {1, 3, 5, ... } c) C = {0, 4, 8, 12, ... , 60}

b) B = {segunda-feira, sexta-feira, sábado} d) O = {10, 15, 20, 25, 30}

3 - Represente abreviadamente e por extenso os seguintes conjuntos:

a) o conjunto A dos múltiplos negativos de 3.

b) o conjunto B das siglas do estado da região sul do Brasil.

c) o conjunto C dos números positivos maiores que dez.

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d) o conjunto D das cores da bandeira brasileira.

e) o conjunto E das letras de seu nome.

4 - Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {x | x² - 11x + 18 = 0}, use o símbolo [pic] ou [pic] para relacionar:

a) 0 e A c) 2 e A e) 9 e A

b) 0 e B d) 2 e B f) 4 e B

5 - Quais das afirmações abaixo são verdadeiras? Por quê?

a) {1, 2, 3} = {3, 1, 2}

b) {1, 2, 2, 3} = {1, 2, 3}

c) {1, 2, 3} = (1, 2, 3)

d) (1, 2, 3) = (3, 1, 2)

e) (1, 2, 2, 3) = (1, 2, 3)

6 - Use um diagrama de Venn para representar o conjunto M dos números inteiros não negativos menores do que 100 e que sejam múltiplos de 11.

7 - Representar no diagrama de Venn:

a) A = [pic]é número ímpar, positivo e menor que 9}

b) B = [pic]é primo e menor do que 30}

8 - Indicamos o número de elementos de um conjunto A por n(A). Assim, dados os conjuntos abaixo, determine n(A), n(B) e n(C).

a) A = [pic]é número natural e x² - 12x + 35 = 0}.

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b) B = [pic]é letra da palavra Recife}.

c) C = {0, 3, 6, 9, ..., 120}

AULA II - NOTAÇÕES IMPORTANTES SOBRE CONJUNTOS:

* Introdução: esta será uma aula com o objetivo de mostrar notações e características importantes sobre conjuntos, e que sempre usaremos como conceitos básicos para nossos estudos de matérias futuras. Também será uma aula dividida em 4 momentos.

1º Momento - Igualdades de Conjuntos: Dois conjuntos serão iguais quando todos os elementos dos conjuntos são iguais. E diferente quando temos alguma objeção, nesse caso teremos um exemplo e um contra-exemplo para os dois casos.

Exemplos para iniciar ao conteúdo:

A = { } B = { }. Portanto A = B, pois os dois possuem elementos iguais, os retângulos.

A = { , } e B = { , }. Portanto A ≠ B, pois possuem elementos diferentes.

2º Momento - Conjunto Vazio: é aquele conjunto que não tem elemento algum, com os exemplos ficará claro entender, já que este não é um tópico confuso.

3º Momento - Conjunto Unitário: é aquele conjunto que tem apenas um elemento.

Exemplos para levar o aluno ao entendimento:

A = { } → Este conjunto é unitário, pois tem apenas um elemento.

B = { , } → Já este não é unitário, pois possui mais de um elemento.

4º Momento - Subconjuntos: talvez o assunto mais delicado e que merece mais atenção nessa aula. Pode ser que venha confundir o aluno algumas definições, por isso irei mostrar que contido

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e contém possuem os mesmos significados. E não está contido e não contém também, é apenas um o inverso do outro como os exemplos podem mostrar claramente.

* Igualdade de Conjuntos

* Definição: dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

* Exemplo:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 1, 0} como todos os elementos são iguais podemos dizer que A = B.

* Contra exemplo:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3}, nesse caso os elementos não são iguais, então dizemos que A ≠ B.

* Conjunto Vazio

* Definição: é o conjunto que não possui elemento algum, Indicamos um conjunto vazio por { } ou [pic] , nunca por { [pic]}.

* Exemplos:

1. Dado o conjunto C = {y | y é natural e 2 < y < 3} é um conjunto que não possui nenhum elemento.

2. Alunos que gostam de matemática.

*Conjunto Unitário

* Definição: é o conjunto que possui apenas um elemento.

* Exemplo:

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1. A = {x | x é par e 4 < x < 8} ou A = {6}

2. B = {x | 2x + 1 = 7 e x é inteiro} ou B = {3}

3. Professor mais legal de Matemática.

Os três conjuntos acima são exemplos de conjuntos unitários. Pois possuem apenas um elemento.

* Subconjuntos

* Definição: dizemos que A é subconjunto de um outro conjunto B quando todo elemento de A também é elemento de B. A representação é feita por:

A [pic] B (Lê-se: A está contido em B)

Ou ainda: B [pic] A (Lê-se: B contêm A)

* Exemplo:

Sendo A = {1, 2} e B = {1, 2, 3, 4}, então A [pic] B ou B [pic]A, pois todo elemento de A é também elemento de B.

* Contra exemplo:

Sendo E = {1, 5} e D = {1, 2, 3, 4}, estão E não é subconjunto de D, portanto E não está contido em D.

Em símbolos:

E ⊄ D (Lê-se: E não está contido em D)

Ou ainda: D [pic] E (Lê-se: D não contêm E)

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EXERCÍCIOS:

9 - Determine o valor de x:

a) {3, 4, 5} = {4, x, 3} b) {1, 7, x, 8} = {8, 7, 1, 9}

c){x + 5, 7 - x, 2} = {1, 5, [pic]

10 - Verifique se A = B ou A [pic] B, nos seguintes casos:

a) A = {x | x é letra da palavra AMORAL} e B = {x | x é letra da palavra ROMA}

b) A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {x | x é número natural menor que 4}

c) A = {2, 5} e B = {x | x² - 8x + 12 = 0}

d) A = {O, H} e B = {x | x é um elemento que compõe a molécula da água}

e) A = {0, - 1, - 2, - 3} e B = {x | x é um número negativo}

11 - Classifique os conjuntos abaixo em vazio ou unitário:

a) A = [pic]IN e x < 1} d) D = [pic]IN e 7 < x < 9}

b) B = [pic]IN e x < 2 e x é par} e) E = [pic]IN e x [pic] x}

c) C = [pic]IN e x < 4 e x > 3}

12 - Dê subconjuntos:

a) B = {4, 7} b) C = {a, b, c} c) S = {azul, verde, amarelo}

13 - Dado o conjunto A = {2, 4, 6, 8}, escreva todos os subconjuntos de A que tenham:

a) um elemento b) dois elementos c) três elementos

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14 - Observe o conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Represente, em extensão, os subconjuntos de A formados:

a) pelos números maiores que 5 e menores que 10.

b) pelos números pares.

c) pelos números ímpares maiores ou iguais a 6.

15 - Passe uma linguagem corrente:

a) M ⊂ N b) P ⊄ A c) E [pic] F d) x [pic]A

16 - Sejam A = {1}, B = {0, 1}, C = {1, 2, 3} e D = {0, 1, 2, 4}. Usando os símbolos ⊄ ou ⊂, relacione entre si os conjuntos:

a) A e B c) A e D e) B e D

b) A e C d) B e C f) C e D

17 - Sendo A = {x, y, z}, marque verdadeiro ou falso:

a) x[pic]A b) {y}[pic]A c) {y}[pic] A d) z [pic] A

AULA III - OPERAÇÕES COM CONJUNTOS:

* Introdução: agora entraremos em operações com conjuntos. Hoje veremos alguns conceitos e na próxima aula terminarei esse conteúdo. Para começar hoje vamos conhecer intersecção e união ou reunião de Conjuntos, esta aula será dividida em apenas 2 momentos.

1º Momento: Interseção de Conjuntos: também um conceito super importante na Matemática. Para entender melhor o que é intersecção é só pensar o que tem em um conjunto e o que tem no outro, sempre pensar no “comum” no que “aparece mais de uma vez”.

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Seria legal usar o seguinte exemplo com figuras para iniciar o conceito antes dos exemplos com números, um conjunto A = { , , , } e B = { , }, como a [pic] são os elementos em comum, teremos: [pic] = { }, pois vermelho é comum aos dois conjuntos.

2º Momento: União de Conjuntos: a união ou até mesmo chamado de reunião em alguns trabalhos, tem o exato significado de seu nome, a união de todos os conjuntos pode ser visto como a coleção completa de todos os conjuntos que queremos unir.

Vamos usar o mesmo exemplo acima para demonstrar a união:

* Intersecção:

* Definição: O Conjunto intersecção de A com B é formado pelos elementos comuns de A e B. A intersecção é representada pelo símbolo: [pic] (Lê-se: inter)

* Definição Matemática: A [pic] B = [pic]A e x[pic]B}

* Exemplo 1:

Dados dois conjuntos A = {5, 6, 9, 8} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, se pedimos a interseção deles teremos:

A [pic] B = {5}, dizemos que A inter B é igual a 5.

* Exemplo 2:

* União:

* Definição: Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos juntos em somente um conjunto. É representado pelo símbolo: [pic] (Lê-se: união)

* Definição Matemática: A [pic] B = [pic]A ou x[pic]B}

* Exemplo 1:

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Dados os conjuntos A = {x | x é inteiro e - 1 < x < 2} e B = {1, 2, 3, 4} a união desses dois conjuntos é: A [pic] B = {0, 1, 2, 3, 4}

* Exemplo 2:

EXERCÍCIOS:

18 - Dados os conjuntos:

A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 7, 9} C = {3, 5, 8} D = { }

Determine:

a) A [pic] B d) A [pic] C g) B [pic] A

b) A [pic] D e) A [pic] D h) A [pic] A

c) A [pic] C f) B [pic] A i) (A [pic] B) [pic] C

19 - Sejam os conjuntos:

A = {x[pic]IN | x é par e x < 10}, B = {x[pic]IN | 3 < x < 8} e F = {x[pic]IN | 9 < x ≤ 12}.

a) Determine A [pic] B e A [pic] B [pic] F

b) Represente cada um dos conjuntos A [pic] B e A [pic] B [pic] F por um diagrama.

20 - O conjunto A tem 20 elementos; A [pic] B tem 12 elementos e A [pic] B tem 60 elementos. O número de elementos de B é:

a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52

21 - Considere o diagrama a seguir:

[pic]

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Determine:

a) A [pic] B c) B [pic] C

b) A[pic]C d) A [pic] B [pic] C

AULA IV - OPERAÇÕES COM CONJUNTOS II

* Introdução: Até o momento já vimos que União é quando apenas juntamos todos os conjuntos em questão em apenas um e interseção são todos os elementos em comuns aos conjuntos. Agora aprenderemos Diferença de Conjuntos e Conjunto Complementar. Esta aula também será dividida em somente 2 momentos.

1º Momento - Diferença de Conjuntos: podemos pensar em diferença de conjuntos, como todos os elementos que estão em um, mas não estão no outro. Em nomes podemos definir dois conjuntos A e B, e a diferença será todos os elementos que estão no A, mas não estão no B. Vamos usar o mesmo exemplo da aula anterior, que já estamos mais familiarizados, antes de iniciar exemplos com números.

A = { , , , } e B = { , }, como a [pic] são os elementos que estão em A mas não em B, teremos: [pic] = { , , }, pois preto, amarelo e verde estão apenas no A mas não estão em B.

2º Momento - Conjunto Complementar: para entender conjunto complementar, temos que sempre ter em mente que só será possível acontecer quando o conjunto B está contido em A (B[pic]A), caso contrário não será possível determinar o complementar de um conjunto. Complementar de um conjunto será o mesmo da diferença tudo que está em um mas não está no outro, em nomes, tudo que está no conjunto A mas não está no B, lembrando que B precisa estar contido em A, ou seja, estar dentro de A.

* Diferença de Conjuntos

* Definição: o conjunto diferença de A e B é formado por elementos de A que não pertencem a B.

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* Definição Matemática: A – B = [pic] e [pic]

* Exemplos:

1. A = {1, 2, 3, 4} 2. M = {3, 5, 6} 3. R = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6} P = {3, 5, 6, 7} S = {3, 4, 5, 6}

A- B = {1, 2} M - P = { } S - R = {5, 6}

* Conjunto Complementar

* Definição: dados os conjuntos A e B, em que obedece a condição: B [pic] A. Chamamos de complementar de A em B ([pic]) o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

Então, [pic], (Lê-se: Complementar de B em relação a A)

* Definição Matemática: B [pic] A [pic]

* Exemplos:

1. A = {1, 2, 3, 4} 2 .

B = {1, 2}

[pic] = {3, 4}

EXERCÍCIOS:

22 - Risque a operação indicada:

23 - Dados os conjuntos:

A = {x, y, z, w}; B = {x, y}; C = {a} e D = {a, x, y, z, w}.

Determine:

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a) A - B e) D - A i) B [pic] C

b) B - A f) A - D j) A [pic] B

c) [pic] g) [pic] l) [pic] [pic] B

d) A - C h) A [pic] D m) [pic][pic] B

24 - Se B = {m, n} e A - B = {p, q}, quais os possíveis elementos de A?

25 – Se [pic] x é ímpar e [pic]e B = [pic], determine:

a) A - B

b) B - A

c) [pic]

AULA V - NÚMEROS DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS

* Introdução:

* Definição: serve para somar todos os elementos dos conjuntos, usaremos a seguinte fórmula: sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B, temos:

n(A [pic] B) = n(A) + n(B) - n(A [pic] B)

* Exemplo 1:

[pic]

Sendo n(A [pic] B) = n(A) + n(B) - n(A [pic] B),

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Então: n(A [pic] B) = 15 + 30 - 9. Logo n(A [pic] B) = 36

* Exemplo 2:

Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre Ecologia, tendo sido indicados dois livros sobre o assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B, por 28 alunos. Pergunta-se:

a) Quantos alunos consultaram os dois livros?

n(A [pic] B) = n(A) + n(B) - n(A [pic] B)

48 = 26 + 28 - n(A [pic] B)

48 = 54 - n(A [pic] B)

n(A [pic] B) = 6

b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A?

Entre os 26 alunos que consultaram o livro A, existem 6 alunos que consultaram também o livro B. Logo, o número de alunos que consultaram apenas o livro A e 26 - 6 = 20.

EXERCÍCIOS:

26 - Determine n(D [pic] M) sendo:

a) D = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} e M = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}

b) D = {1, 5, 8, 9, 15} e M = {5, 8, 9, 11, 14, 17, 20}

c) D = {2, 3, 6, 9, 10, 11, 15, 22, 23, 25} e M = {3, 8, 9, 15, 22, 23, 30, 33, 35, 37}

27 - Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual o porcentual de alunos que lêem ambos os jornais?

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28 - Numa cidade são consumidos três produtos: A, B e C. No mês passado, um levantamento sobre o consumo desses produtos apresentou os seguintes resultados:

|Produtos |A |B |C |A e B |A e C |B e C |A, B e C |

|Números de consumidores |80 |70 |90 |30 |20 |15 |5 |

Com os dados da tabela, resposta:

a) Quantas pessoas consumiram apenas o produto A?

b) Quantas pessoas consumiram somente um produto, A, B ou C?

c) Quantas pessoas consumiram mais de um produto?

29 - Considerando o diagrama abaixo, determine:

a) n(A) d) n(A [pic] B)

b) n(B) e) n(A - B)

c) n(C) f) n(A [pic] B)

* Propriedades de conjuntos:

* Fechamento: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por A [pic] B e a interseção de A e B, denotada por A [pic] B, ainda são conjuntos no universo.

* Reflexiva: qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A [pic] A = A e A [pic] A = A

* Inclusão: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A ⊂ A [pic] B, B ⊂ A [pic] B, A [pic] B ⊂ A, A [pic]B ⊂ B

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* Inclusão relacionada: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A ⊂ B equivale a A [pic] B = B

A ⊂ B equivale a A [pic] B = A

* Associativa: quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A [pic] (B [pic] C) = (A [pic] B) [pic]C

A [pic] (B [pic] C) = (A [pic] B) [pic]C

* Comutativa: quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A [pic] B = B [pic] A

A [pic] B = B [pic] A

* Elemento neutro para a reunião: o conjunto vazio [pic] é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A [pic] [pic] = A

* Elemento "nulo" para a interseção: a interseção do conjunto vazio [pic] com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A [pic] [pic] = [pic]

* Elemento neutro para a interseção: o conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A [pic] U = A

* Distributiva: quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

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A [pic] (B [pic] C) = (A [pic] B) [pic] (A [pic] C)

A [pic] (B [pic] C) = (A [pic] B) [pic] (A [pic] C)

-----------------------

A - B =

4.

B

A

B

A

V

.a

.e

.i .o

.u

6

7 8

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1 4

5

2

3

U

n(A) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

n(B) = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30

n(A [pic] B) = 4 + 5 = 9

2

9

4

6

5

8

3

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1

7

A

C

B

B

B

A

B

A

B

B

A

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A

B

A

B

A

B

B

A

A

B

A

B

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B

A

a)

b)

c)

d)

e)

f)

A - B

B - A

[pic]

A - B

A - B

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[pic]

A

B

[pic]

A

B

B

A

A

B

[pic]

A

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[pic]

B

A

B

[pic]

A

[pic]

A

B

[pic]

A

A

B

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A

B

[pic]

C

Repare que sempre o diagrama de Venn precisa de um nome, no caso este exemplo se chama V.

B

A

50

80

?

130

B

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100

70

50

100

A

28

26

-----------------------

- CONJUNTOS -

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