Teoria Espectral para Operadores Limitados- Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)
EmiliaCuca
EmiliaCuca7 de Março de 2013

Teoria Espectral para Operadores Limitados- Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

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Apostilas e exercicios de Matematica sobre o estudo da Teoria Espectral para Operadores Limitados.
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UFPB/CCEN/Departamento de Matemática

Introdução à Análise Funcional

Lista 9: Teoria Espectral para Operadores Limitados

1. Sejam S, T ∈ L(X) onde X é um espaço de Banach. Mostre que se S comuta com := (T − λ)1 para algum λ ∈ ρ(T ) então S comuta com T e com para qualquer µ ∈ ρ(T ).

2. Sejam X um espaço de Banach, T, S ∈ L(X) e λ ∈ ρ(T ) ∩ ρ(S). Demonstre a segunda identidade do resolvente

(T )−Rλ(S) = (T )(S − T )(S) = (S)(S − T )(T ).

3. Seja T : C[0, 1] → C[0, 1] o operador de Volterra definido por ()(t) = ∫ t 0 ψ(s) ds.

Usando a série de Neumann, mostre que para λ ̸= 0 tem-se

((T )ψ)(t) = ψ(t)

λ +

1

λ2

t 0

e t−s λ ψ(s) ds

4. Se T ∈ L(X) é invert́ıvel, com T−1 ∈ L(X), mostre que σ(T−1) = {λ−1 : λ ∈ ρ(T )}.

5. Se T ∈ L(X), mostre que lim|λ|→∞ λRλ(T ) = 1.

6. Sejam X,Y espaços de Banach, V : X → Y um isomorfismo (operador linear isométrico e sobrejetor), T ∈ L(X) e S = V TV −1. Mostre que S ∈ L(Y ) e σj(T ) = σj(S), para j = p, r, c.

7. (a) Se T ∈ L(X) é idempotente, ou seja, T 2 = T , mostre que σ(T ) ⊂ {0, 1}. Analise o que ocorre com o espectro se T é idempotente mas distinto da identidade e do

operador nulo.

(b) Mostre que se T n = 0 para algum n, então σ(T ) = {0}. Analise o espectro de T : lp(N) → lp(N), 1 ≤ p ≤ ∞, T (x1, x2, . . . ) = (0, x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . . ).

8. Verifique que se T é normal e σ(T ) = 0} então T = λ01.

9. Mostre que se H é um espaço de Hilbert e T ∈ L(H) então σ(T ∗) = {λ̄ : λ ∈ σ(T )}.

10. Se para certo T ∈ L(X) tem-se limn→∞ ∥T n∥ = 0, mostre que o raio espectral (T ) < 1 e conclua que

∞ n=0 T

n = (1− T )1 ∈ L(X).

11. Mostre que se T ∈ L(H) é normal, então ∥T n∥ = ∥T∥n, para todo n ∈ N.

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12. Se 0 ̸= ϕ ∈ C[a, b], mostre que λ ∈ C é um autovalor do operador de multiplicação : C[a, b] → C[a, b], (Mϕψ)(t) = ϕ(t)ψ(t), ψ ∈ C[a, b], se, e somente se, o conjunto ϕ−1(λ) possui interior não-vazio.

13. Considere T ∈ L(H) auto-adjunto.

(a) Mostre que λ ∈ σ(T ) se, e somente se, existe uma sequência (hn)n de vetores unitários em H tal que Tλhn → 0.

(b) Mostre que λ ∈ σ(T ) se, e somente se, inf∥h∥=1 ∥Tλh∥ = 0

(c) As caracterizações em a) e b) acima não valem para todo operador (embora valha

para operadores normais). Verifique isto ao considerar o shift à esquerda em l2(N), mostrar que zero pertence ao seu espectro, mas como esse operador é uma isometria

a) e b) não valem para λ = 0.

14. Se PE é o operador de projeção ortogonal sobre o subespaço fechado próprio E ⊂ H, determine m = inf∥h∥=1⟨PEh, h⟩ e M = sup∥h∥=1⟨PEh, h⟩.

15. Mostre que se T ∈ L(H) é auto-adjunto e T n = 0 para algum n, então T = 0. E se T for um operador normal?

16. Encontre o espectro do operador compacto TK : C[0, 1] → C[0, 1], dado por (TKψ)(t) =∫ 1 0 K(t, s)ψ(s) ds, com K(t, s) = t− s.

17. Seja T ∈ L(H), com dimH = . Mostre que se existe C > 0 com ∥Tx∥ ≥ C∥x∥ para todo x ∈ H, então T não é compacto.

18. Se T ∈ L0(H) é auto-adjunto, mostre que m = inf∥h∥=1⟨Th, h⟩ e M = sup∥h∥=1⟨Th, h⟩ são o menor e o maior autovalor de T , respectivamente.

19. Fixe η ∈ H com ∥η∥ = 1. Seja : H → H definido por Tηx = ⟨η, x⟨η. determine o espectro e o raio espectral de .

20. Seja T : l2(Z) → l2(Z) dado por (Tx)n = (−i)(xn+1−xn−1), sendo x = (. . . , x−1, x0, x1, . . . ). Mostre que T é limitado, que seu espectro é real e calcule seu raio espectral.

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