Unidades e dimensões - Apostilas - Engenharia, Notas de estudo de Engenharia Química. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)
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GloboTV7 de Março de 2013

Unidades e dimensões - Apostilas - Engenharia, Notas de estudo de Engenharia Química. Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)

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Apostilas de Engenharia Química e de Alimentos sobre o estudo das Unidades e dimensões, operações com unidades, conversão de unidades e fatores de conversão.
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UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina Depto. de Eng. Química e de Eng. de Alimentos EQA 5318 – Introdução aos Processos Químicos

DIMENSÕES, UNIDADES E SUAS CONVERSÕES

1.Unidades e dimensões Neste capitulo revisaremos os sistemas usuais de unidades utilizados na resolução de problemas de engenharia. Portanto o objetivo é auxiliar o tratamento das diferentes unidades utilizadas de forma eficiente, através de conversões e também discutir o conceito de homogeneidade dimensional e de validação.

Dimensão é um conceito básico de medida. Ex.: comprimento, tempo, massa, temperatura.

Unidade: engloba as diferentes maneiras de se expressar uma dimensão. Ex.: centímetros, pés para comprimento, horas, segundos para tempo.

As dimensões e suas respectivas unidades são classificadas em fundamentais ou derivadas; - Dimensões/Unidades fundamentais: massa, comprimento, força e tempo. - Dimensões/Unidades derivadas: velocidade, aceleração, vazão volumétrica, força. Ao acrescentar unidades aos números que não são adimensionais, são obtidos os seguintes benefícios práticos: - redução da chance de cometer erros nos cálculos; - redução do volume de cálculos e do tempo gasto na resolução dos problemas; - abordagem lógica do problema, ao invés da mera lembrança de fórmulas e de substituição de números nas mesmas; - fácil interpretação do significado físico dos números utilizados. Na resolução dos problemas serão utilizados os dois sistemas de unidades mais comumente empregados. 1. SI - Formalmente chamado de Le Système Internationale d’Unités e informalmente chamado de SI. 2. AE – Ou Sistema Americano de Unidades de Engenharia. O SI tem algumas vantagens sobre o sistema AE no que diz respeito à menor quantidade de nomes associados às unidades e à maior facilidade de conversão de um conjunto de unidades para outro.

A Tabela 1 e 2 relaciona as dimensões e suas respectivas representações para o SI e para o sistema AE.

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Tabela 1: Dimensões e Representações para o SI Quantidades físicas Nome da unidade Símbolo Dimensões Fundamentais Massa quilograma Kg Comprimento metro m Temperatura kelvin K Tempo segundo S Quantidade molar mol mol Dimensões Derivadas Velocidade Metro por segundo m.s-1 Aceleração Metro por segundo ao quadrado m.s-2 Vazão volumétrica Metro cúbico por segundo m3 .s-1 Força newton N

Tabela 2: Dimensões e Representações para o AE Quantidades físicas Nome da unidade Símbolo Dimensões Fundamentais Massa Libra (massa) lbm Comprimento pé ft Temperatura Rankine ou Fahrenheit oR ou oF Tempo Segundo, minuto, hora, dia S, min, h, dia Quantidade molar Libra mol lb mol Dimensões Derivadas Velocidade pé por segundo ft.s-1 Aceleração pé por segundo ao quadrado ft.s-2 Vazão volumétrica pé cúbico por segundo ft3 .s-1 Força Libra força lbf No SI as unidades, com exceção do tempo, e seus múltiplos e submúltiplos estão relacionados por fatores designados por prefixos indicados na Tabela 3.

Tabela 3: Prefixos mais utilizados do SI: Prefixo Símbolo Múltiplo Prefixo Símbolo Múltiplo exa E 1018 deci d 10-1

penta P 1015 centi c 10-2

tera T 1012 mili m 10-3

giga G 109 micro µ 10-6

mega M 106 nano n 10-9

quilo k 103 pico p 10-12

hecto h 102 femto f 10-15

2. Operações com unidades Adição, subtração, igualdade Pode-se somar, subtrair ou igualar grandezas numéricas apenas se as unidades associadas as mesmas foram as mesmas.

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Multiplicação e divisão Pode-se multiplicar ou dividir unidades diferentes a vontade, mas somente será possível cancelá-las ou combiná-las se forem idênticas. Ex: Adicione o seguinte: a) 1 pé + 3 segundos; b) 1 HP + 300 watts. A primeira operação não tem sentido, já que as dimensões não são iguais. No segundo caso a dimensão é a mesma, mas as unidades são diferentes. Logo é necessário transformá-las em unidades semelhantes. Como 1 HP = 746 watts, temos que 746 watts + 300 watts = 1046 watts 3. Conversão de unidades e Fatores de conversão Para ajudar a transformar unidades são fornecidas tabelas de conversão de unidades das principais grandezas. Note que essas tabelas convertem qualquer outra unidade para o sistema SI apenas multiplicando a unidade da grandeza em uma outra unidade pelo fator dado. Com a proposição de enfatizar o uso de unidades freqüentemente é utilizado um formato para apresentação dos cálculos, como mostra o exemplo abaixo. Determine a velocidade em milhas por hora de um avião que se desloca com o dobro da velocidade do som que é de 1.100 ft/s. 2 x 1.100 ft 1 mi 60 s 60 min 1500 mi s 5280 ft 1 min 1h h Pode-se acompanhar passo a passo a conversão rastreando a transformação das unidades ou riscar as unidades canceladas. Em qualquer estágio da conversão pode-se determinar as unidades existentes e saber se conversões ainda são necessárias.

A tabela 4 resume alguns fatores para conversão de unidades.

Tabela 4: Fatores de Conversão Dimensão AE SI Conversão: sistema AE para SI Comprimento 12 in = 1 ft

5280 ft = 1 mi 10 mm* = 1 cm* 100 cm = 1 m

1 in = 2,54 cm 3,28 ft = 1 m

Volume 1 ft3 = 7,48 gal 1000 cm3* = 1 L 35,31 ft3 = 1 m3 Massa 1 tm = 1000 lbm 1000 g = 1 kg 1lb = 0,454 kg Tempo 1 min = 60 s

1 h = 60 min 1 min* = 60 s 1 h* = 60 min

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*Uma unidade aceitável, mas não é a preferida para o SI.

Exemplo: Converta 400 in3/dia em cm3/ min 400 in3 (2,54 cm)3 1 dia 1h = 4,55 cm3 dia (1 in)3 24 h 60 min min

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4. Consistência dimensional (homogeneidade)

Quando estudamos unidades e dimensões constatou-se que quantidades podem ser somadas, subtraídas ou igualadas somente se suas unidades são as mesmas. Desta forma, qualquer equação para ser válida precisa ser dimensionalmente homogênea, ou seja, todos os membros em ambos os lados da equação devem ter as mesmas dimensões.

Ex. considerando a equação

V(m/s) = vo (m/s) + g (m/s2) . t(s)

Caso for necessário expressar o tempo na equação acima em minutos:

A equação pode ser escrita como:

V (m/s) = vo (m/s) + g (m/s2) t(min) . (60 s / 1 min)

Assim teremos:

V (m/s) = vo + 60 g * t (min)

5. Validação da solução de problemas

Validação, também chamada de verificação, tem por objetivo verificar se a solução do problema é satisfatória e possivelmente avaliar o procedimento de resolução do problema. Uma possibilidade é comparar a resposta obtida com outra conhecida, como é o caso de vários problemas onde as respostas são fornecidas. Como em várias situações isto não é possível algumas sugestões podem ser úteis. - Repita os cálculos, possivelmente em uma ordem diferente. - Comece com a resposta e execute os cálculos em ordem inversa. - Revise as suas hipóteses e procedimentos. - Compare valores numéricos com dados experimentais ou dados existentes em uma base de dados ( manuais, internet, livros....). - Examine o comportamento do procedimento de resolução. Use outros valores de partida e verifique se os resultados mudam adequadamente. - Avalie se a resposta está razoável a partir do que você conhece sobre o problema.

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6. Conceitos relativos a Dimensões e Unidades

Quantidade de Substância ( mol ) Um mol é a quantidade de substância de um sistema que contém tantas unidades elementares como átomos contêm 0,012 kg de carbono 12. Quando se emprega o mol, a quantidade elementar deve ser especificada, e pode consistir em átomos, moléculas, íons elétrons, outras partículas ou bem como grupos especificados de tais partículas. Um cálculo importante consiste na conversão de número de mols em massa e de massa em número de mols. Para isso usamos a massa molecular sendo igual a massa por mol. Massa molecular (MM) = massa / mol Massa em g = (MM) (número de g mols) Massa em lb = (MM) (número de lb mols) Por exemplo: 100 g H2O g mol H2O =5,56 g mol de H2O 18,0 g H2O 100 lb mol O2 32,0 lb O2 =192 lb O2 lb mol O2 Densidade ( kg . m-3 ) A densidade se define como a massa de uma substância dividida pelo seu volume: Densidade = massa / volume As unidades da densidade são quilogramas por metro cúbico ( kg .m-3 ). No entanto, é bastante comum expressar a densidade em ( g / mL ). Por exemplo, a densidade da água: 1 g / mL: 1g / ml = 10-3 kg /10-6 m3 = 103 kg . m-3 A densidade da água em unidades inglesas é de 62,3 lb / ft3. Volume específico ( m3. kg -1) Outra grandeza bastante utilizada é o volume específico, que é definido pela relação entre o volume ocupado por uma unidade de massa. Logo, temos que o volume específico é o inverso da densidade. Vesp = V / m = 1/ρ Densidade relativa dR

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A densidade relativa se define como a razão entre duas densidades. A densidade da substância de interesse dividida pela densidade da substância de referência. Logo, a densidade relativa é uma grandeza adimensional, ou seja, uma quantidade que não tem unidades. Densidade relativa de A = (g/cm3)A / (g/cm3)ref. A substância de referência para líquidos e sólidos é normalmente a água. Logo, a densidade relativa é a razão entre a densidade da substância em questão e a densidade da água a 4 oC, cujo valor é 1,000 g /cm3 ou 62,43 lb/ft3. Ex : Se a densidade relativa de uma solução com 70% de glicerol é 1,184 qual é sua densidade em g/cm3 e lb/ft3. No primeiro caso é um cálculo direto e teremos que a densidade é 1,184 g/cm3, já para o segundo caso é necessário usar a densidade da água no sistema AE donde obtemos que a densidade da solução é 73,9 lb/ft3. Vazão É a massa ou volume de um material que escoa por unidade de tempo em uma tubulação. Utiliza-se um ponto acima do símbolo para denotar uma taxa (exceto para vazão volumétrica). A vazão mássica de uma corrente é dada pela massa transportada por unidade de tempo.

t mm =&

Vazão volumétrica: tVF /=

Vazão molar: t nn =&

Fração molar e Fração mássica (ponderal) A fração molar é definida como o número de mols de um composto específico em uma mistura ou solução dividido pelo total de mols dessa mistura ou solução. Da mesma forma, a fração mássica nada mais é do que a massa de um composto dividida pela massa total. Matematicamente temos: Fração molar de A = número de mols de A / número de mols totais Fração mássica de A = massa de A / massa total Medidas de concentração

Concentração geralmente se refere à quantidade de uma substância por unidade de volume, entretanto outras medidas relacionadas a medidas de concentração são utilizadas. Os termos mais usuais são:

- Massa por unidade de volume: kg/m3; g/L; lb/ft3...

- Número de mols por unidade de volume; g mol/cm3; lb mol/ ft3...

- partes por milhão (ppm) ou partes por bilhão (ppb)

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Temperatura A temperatura se define como o grau de calor de um corpo. Em uma mudança espontânea, o calor (energia) sempre se transfere de um corpo de elevada temperatura para outro com uma temperatura inferior, até que se alcance o equilíbrio térmico (ou seja, até que as temperaturas se igualem). Para construir uma escala de temperatura é necessário empregar alguns pontos de referência reproduzíveis, os quais normalmente são os pontos de fusão e de ebulição de substâncias puras, assim como alguma propriedade facilmente medida de uma substância que varie de uma maneira uniforme, de acordo com as variações de temperatura. As escalas de temperatura comumente utilizadas são as de Fahrenheit e Celsius. Os pontos de referência utilizados são os pontos de fusão e ebulição da água pura na pressão atmosférica (Tabela 6).

Tabela 6: Pontos de fusão e ebulição da água pura na pressão atmosférica Ponto de fusão Ponto de ebulição Escala Celsius (ºC) 0 100 Escala Fahrenheit (ºF) 32 212 Podemos obter conversões de temperatura por meio das seguintes equações:

oC = ( oF – 32 ) / 1,8 oF = ( 1,8 × oC ) + 32

Sobre as escalas Celsius e Fahrenheit o valor numérico ligado a uma temperatura em particular parece algo arbitrário e em ambas as escalas é possível alcançar temperaturas abaixo de zero. Contudo, ao reduzir-se as temperaturas alcança-se um ponto em que cessa todo movimento molecular e a energia cinética da molécula passa a ser zero. A temperatura neste ponto é conhecida como o zero absoluto ou zero Kelvin ( 0 K); este é o ponto de referência mais baixo na escala absoluta de temperaturas. Um segundo ponto de referência “facilmente” reproduzido é o ponto triplo da água, a temperatura na qual gelo, água líquida e vapor de água estão todos em equilíbrio. Esta temperatura é de 273,16 K. Portanto, o intervalo 1 K é igual a 1 /273,16 da diferença de temperatura entre a temperatura do ponto triplo e o zero absoluto. Na escala absoluta os pontos de congelamento e ebulição da água são 273,15 e 373,15 K, respectivamente. Assim, o intervalo de 1 K equivale a um intervalo de 1ºC. Pode - se efetuar conversões de temperatura mediante a seguinte equação:

K = 273, 15 + oC Pressão A pressão é definida como força por área, no sistema internacional a pressão é dada por newton/metro2 que recebe o nome de pascal (Pa), entretanto é muito usada a unidade atmosfera (atm), que é a pressão atmosférica ao nível do mar. Todo mundo sabe que 1atm corresponde a pressão exercida por uma coluna de 760 mm de Mercúrio à 0ºC, assim pode-se estabelecer uma relação entre o Pa e a atm. Lembrando também que a pressão é dada pela relação P = h.ρ.g onde P é a pressão de uma coluna de líquido com uma altura h, com densidade ρ e g a aceleração da gravidade da Terra. Aplicando-se para o Mercúrio tem-se: densidade à 0ºC = 13595,1Kg/m3, aceleração da gravidade da Terra ao nível do mar 9,80665ms2, então:

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P = 0,76m x 13595,1 Kg/m3 x 9,80665m/s2 P = 101325 kg.m/s2x1/m2 P = 101325N/m2 Portanto 1 atm equivale no Sistema Internacional a 101325Pa. Qual a altura de uma coluna de água a 4ºC que exerce uma pressão de 1 atm? Fácil:

101325N/m2 = h x1000kg/m3 x 9,80665m/s2 h = 10,33m

Isto significa que o peso da imensa “coluna” de ar que paira sobre nossas cabeças exerce a mesma pressão que 10,33 m de coluna de água (m.c.a.) Outra unidade de pressão que era muito usada e ainda é muito encontrada é a bária (bar). As relações de conversão são: 1bar = 1*105N/m2 e 1atm = 1,013 bar. Medidas de pressão A pressão registrada por um instrumento de pressão pode ser relativa ou absoluta, dependendo da natureza do instrumento utilizado na medição. Um manômetro com a extremidade aberta mediria a pressão relativa (manométrica), já que a referencia para o manômetro será a pressão atmosférica naquela extremidade aberta. Fechando-se esta extremidade e criando-se vácuo, resultaria em uma medição contra o vácuo perfeito, contra “pressão zero”. Tal medição é chamada de pressão absoluta. A leitura correspondente a pressão atmosférica lida por um barômetro com a extremidade aberta para a atmosfera é denominada pressão barométrica. A relação entre a pressão relativa e a pressão absoluta é dada pela seguinte expressão: Pressão absoluta = pressão manométrica + pressão barométrica Daí temos que Pabs = 0 (vácuo perfeito) ; na atmosfera padrão Pabs = P bar = 760 mm Hg (Floripa) na panela de pressão Pabs = 1 atm + P atmosférica (1atm) = 2 atm = 202,6 kPa

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