Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2004 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2004 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2004.
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Microsoft Word - mat2004.doc

NOTAÇÕES _____________________________________________________________________________________

: conjunto dos números complexos. : conjunto dos números racionais. : conjunto dos números reais. : conjunto dos números inteiros.

{ }0,1,2,3,...= . { }* 1,2,3,...= .

i : unidade imaginária; 2 1i = − . ∈z = x+ iy, x, y .

z : conjugado do número ,z z ∈ . z : módulo do número ,z z ∈ .

{ }, ;   = ∈ ≤ ≤a b x a x b . { }, ;   = ∈ < <a b x a x b .

∅ : conjunto vazio. { }\ ;= ∈ ∉A B x A x B .

( )n U : número de elementos do conjunto U . ( )AP : coleção de todos os subconjuntos de A . of g : função composta de f com g.

I : matriz identidade n n× . 1A− : inversa da matriz inversível A .

TA : transposta da matriz A . det A : determinante da matriz A . AB : segmento de reta unindo os pontos A e B . AB : arco de circunferência de extremidades A e B . m AB  

  : medida (comprimento) de AB .

______________________________________________________________________________________ Questão 1. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto { }0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9U = : I. U∅∈ e ( ) 10n U = . II. U∅ ⊂ e ( ) 10n U = . III. 5 U∈ e { }5 U⊂ . IV. { } { }0,1, 2,5 5 5=∩ . Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) A ( ) apenas I e III. B ( ) apenas II e IV. C ( ) apenas II e III. D ( ) apenas IV. E ( ) todas as afirmações.

Questão 2. Seja o conjunto { }2 : 0 e 2 = ∈ ≥ ≤S r r r , sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: I. 5 7e4 5S S∈ ∈ .

II. { }:0 2x x S∈ ≤ ≤ = ∅∩ .

III. 2 S∈ . Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas A ( ) I e II B ( ) I e III C ( ) II e III D ( ) I E ( ) II

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Questão 3. Seja α um número real, com 0 1α< < . Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos

os valores de x tais que 2

2 2

1 1 x

xα α

      

< .

A ( ) , 0 2,      − ∞ + ∞∪ B ( ) , 0 2,      − ∞ + ∞∪ C ( ) 0,2   D ( ) ,0  − ∞ E ( ) 2,  + ∞ Questão 4. Considere a função ( ): , 2 cos 2 sen→ = +f f x x i x . Então, , ,x y∀ ∈ o valor do produto

( ) ( )f x f y é igual a A ( ) ( )f x y+ B ( ) ( )2 f x y+ C ( ) ( )4i f x y+ D ( ) ( )f x y E ( ) ( ) ( )2 2f x i f y+ Questão 5. Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? A ( ) 210 B ( ) 315 C ( ) 410 D ( ) 415 E ( ) 521

Questão 6. Seja x∈ e a matriz ( ) 12

2

2 1

2 log 5

− +  =   

x

x x

A . Assinale a opção correta.

A ( ) x∀ ∈ , A possui inversa. B ( ) Apenas para 0x > , A possui inversa. C ( ) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. D ( ) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. E ( ) Para 2log 5x = , A não possui inversa. Questão 7. Considerando as funções

/ 2, / 2arc sen: 1, 1 π π     −− + → e 0, arc cos: 1, 1 π     − + → ,

assinale o valor de 3 4cos arcsen arccos 5 5

 +   

.

A ( ) 625 B ( )

7 25 C ( )

1 3 D ( )

2 5 E ( )

5 12

Questão 8. Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5o. Então, seu maior ângulo mede, em graus, A ( ) 120 B ( ) 130 C ( ) 140 D ( ) 150 E ( ) 160

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Questão 9. O termo independente de x no desenvolvimento do binômio 3 12

3 3 5 5 3

        

x xx x é

A ( ) 3729 45 B ( ) 3972 15 C ( ) 3 3891 5

D ( ) 3 5376 3

E ( ) 3165 75

Questão 10. Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n n× , 2n ≥ : I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula. II. Se ( )i jA a= é tal que 0i ja = para , com , 1,2,..., ,> =i j i j n então 11 22 ...det n na aA a= . III. Se B for obtida de A , multiplicando-se a primeira coluna por 2 1+ e a segunda por 2 1− ,

mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det detB A= . Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) A ( ) apenas II. B ( ) apenas III. C ( ) apenas I e II. D ( ) apenas II e III. E ( ) todas. Questão 11. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 3360 cmπ , e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 254 3 cm , então, a área lateral da pirâmide mede, em cm2, A ( ) 18 427 B ( ) 27 427 C ( ) 36 427 D ( ) 108 3 E ( ) 45 427

Questão 12. O conjunto de todos os valores de α , , 2 2 π πα  ∈ −  

, tais que as soluções da equação (em x )

4 24 48 tg 0x x α− + =

são todas reais, é

A ( ) , 0 3 π −  

B ( ) , 4 4 π π −  

C ( ) , 6 6 π π −  

D ( ) 0, 3 π 

   E ( ) ,

12 3 π π 

  

Questão 13. Sejam as funções f e g definidas em por 2( )f x x xα= + e ( )2( )g x x xβ= − + , em que α e β são números reais. Considere que estas funções são tais que

f g Valor mínimo Ponto de mínimo Valor máximo Ponto de máximo

1−

0<

9 4

0>

Então, a soma de todos os valores de x para os quais ( ) ( )o 0f g x = é igual a A ( ) 0 B ( ) 2 C ( ) 4 D ( ) 6 E ( ) 8

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Questão 14. Considere todos os números z x i y= + que têm módulo 7 2 e estão na elipse 2 24 4x y+ = . Então, o produto deles é igual a

A ( ) 25 9

B ( ) 49 16

C ( ) 81 25

D ( ) 25 7

E ( ) 4

Questão 15. Para algum número real r , o polinômio 3 28 4 42 45x x x− − + é divisível por ( )2x r− . Qual dos números abaixo está mais próximo de r ? A ( ) 1,62 B ( ) 1,52 C ( ) 1, 42 D ( ) 1,32 E ( ) 1, 22 Questão 16. Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos ( ),x y do plano que satisfazem a equação

2 2 1 40 2 6 1

det 288 4 2 0 1

34 5 3 1

 +     =       

x y x y

.

A ( ) Uma elipse. B ( ) Uma parábola. C ( ) Uma circunferência. D ( ) Uma hipérbole. E ( ) Uma reta. Questão 17. A soma das raízes da equação 3 2 2 2 0z z z z+ − + = , z ∈ , é igual a A ( ) − 2 B ( ) − 1 C ( ) 0 D ( ) 1 E ( ) 2 Questão 18. Dada a equação ( ) ( )3 21 9 9 0x m x m x+ + + + + = , em que m é uma constante real, considere as seguintes afirmações: I. Se 6,6m   ∈ − , então existe apenas uma raiz real. II. Se 6m = − ou 6m = + , então existe raiz com multiplicidade 2. III. ,m∀ ∈ todas as raízes são reais. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas A ( ) I B ( ) II C ( ) III D ( ) II e III E ( ) I e II Questão 19. Duas circunferências concêntricas 1 2eC C têm raios de 6 cm e 6 2cm, respectivamente. Seja AB uma corda de 2C , tangente à 1C . A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em 2cm , A ( ) ( )9 3π − B ( ) ( )18 3π + C ( ) ( )18 2π − D ( ) ( )18 2π + E ( ) ( )16 3π + Questão 20. A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede cmR , é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em 3cm , é igual a A ( ) 3Rπ B ( ) 32 Rπ C ( ) 3

2 Rπ D ( ) 33 Rπ E ( ) 3

3 Rπ

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As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas nocaderno de soluções.

Questão 21. Seja A um conjunto não-vazio. a. Se ( )n A m= , calcule ( )( )n AP em termos de m. b. Denotando ( ) ( )1 A A=P P e ( ) ( )( )1k kA A+ =P P P , para todo número natural 1k ≥ , determine o

menor k , tal que ( )( ) 65000kn A ≥P , sabendo que ( ) 2n A = . Questão 22. Uma caixa branca contém 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contém 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde? Questão 23. Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe um número real x satisfazendo

21 x a x− ≥ − .

Questão 24. Sendo 1 2 iz += , calcule

60 602 3

1 ...n

n z z z z z

= = + + + +∑ .

Questão 25. Para 1 e 0,b x> > resolva a equação em x : ( ) ( )log 2 log 32 3 0b bx x− = . Questão 26. Considere a equação 3 23 2 0x x x d+ − + = , em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo 0,1   ? Questão 27. Prove que, se os ângulos internos , e α β γ de um triângulo satisfazem a equação

sen(3 ) sen(3 ) sen(3 ) 0α β γ+ + = , então, pelo menos, um dos três ângulos , ou α β γ é igual a 60o. Questão 28. Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e 1 TA A− = . II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se 0i ja = , para todo , 1, ..., , comi j n i j= ≠ . Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais. Questão 29. Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60o. Seja 1C uma circunferência de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r. Determine o raio da menor circunferência tangente à 1C e à reta r, cujo centro também se situa na reta s.

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Questão 30. Sejam os pontos ( ) ( ): 2 , 0 , : 4 , 0A B e ( ): 3, 5 2 2+P . a. Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos

pontos A e B e é tangente ao eixo y. b. Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que passam pelo ponto P.

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