Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2005 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2005 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2005.
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NOTAÇÕES

C : conjunto dos números complexos. [a, b] = {x ∈ R ; a ≤ x ≤ b}. Q : conjunto dos números racionais. ]a, b[= {x ∈ R ; a < x < b}. R : conjunto dos números reais. i : unidade imaginária ; i2 = 1. Z : conjunto dos números inteiros. z = x + iy , x, y ∈ R. N = {0, 1, 2, 3, . . .}. z̄ : conjugado do número complexo z ∈ C. N= {1, 2, 3, . . .}. |z| : módulo do número complexo z ∈ C. ∅ : conjunto vazio. AB : segmento de reta unindo os pontos A e B. A \B = {x ∈ A ; x /∈ B}. m(AB) : medida (comprimento) de AB.

Questão 1. Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações:

I. {0} ∈ S e S ∩ U 6= ∅. II. {2} ⊂ S \U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}. III. Existe uma função f : S → T injetiva. IV. Nenhuma função g : T → S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas IV. C ( ) apenas I e IV.

D ( ) apenas II e III. E ( ) apenas III e IV.

Questão 2. Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sandúıches, 7 x́ıcaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sandúıches, 10 x́ıcaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sandúıche, 1 x́ıcara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de

A ( ) R$17,50. B ( ) R$16,50. C ( ) R$12,50.

D ( ) R$10,50. E ( ) R$9,50.

Questão 3. Uma circunferência passa pelos pontos A = (0, 2) , B = (0, 8) e C = (8, 8). Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio, respectivamente, são

A ( ) (0, 5) e 6. B ( ) (5, 4) e 5. C ( ) (4, 8) e 5,5.

D ( ) (4, 5) e 5. E ( ) (4, 6) e 5.

Questão 4. Sobre o número x = √

743 +3 é correto afirmar que A ( ) x ∈ ]0, 2[. B ( ) x é racional. C ( ) 2x é irracional.

D ( ) x2 é irracional. E ( ) x ∈ ]2, 3[.

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Questão 5. Considere o triângulo de vértices A , B e C , sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se m(AB) = 8 cm , m(AC) = 10 cm , m(AD) = 4 cm e m(AE) = 6 cm , a razão das áreas dos triângulos ADE e ABC

A ( ) 1

2 . B ( )

3

5 . C ( )

3

8 . D ( )

3

10 . E ( )

3

4 .

Questão 6. Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a

A ( ) 4

5 . B ( )

2 +

3

5 . C ( )

1

2

√ 2 +

3.

D ( ) 1

4

√ 4 +

3. E ( )

1

3

√ 2 +

3.

Questão 7. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo é (em cm)

A ( ) 3

3. B ( ) 6. C ( ) 5. D ( ) 4. E ( ) 2

5.

Questão 8. Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em uma semi-esfera formam uma progressão

aritmética de razão πr3

45 . Se o volume da menor cunha for igual a

πr3

18 , então n é igual a

A ( ) 4. B ( ) 3. C ( ) 6. D ( ) 5. E ( ) 7.

Questão 9. Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200. O número de vértices deste prisma é igual a

A ( ) 11. B ( ) 32. C ( ) 10. D ( ) 20. E ( ) 22.

Questão 10. Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular são dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C = (1−√3, 1 +3). O volume do tetraedro é

A ( ) 8

3 . B ( ) 3. C ( )

3

3

2 . D ( )

5

3

2 . E ( ) 8.

Questão 11. No desenvolvimento de (ax2 2bx + c + 1)5 obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e 1 são ráızes de p(x), então a soma a + b + c é igual a

A ( ) 1 2 . B ( ) 1

4 . C ( )

1

2 . D ( ) 1. E ( )

3

2 .

Questão 12. O menor inteiro positivo n para o qual a diferença

n−√n− 1 fica menor que 0, 01 é

A ( ) 2499. B ( ) 2501. C ( ) 2500. D ( ) 3600. E ( ) 4900.

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Questão 13. Seja D = R \ {1} e f : D → D uma função dada por

f(x) = x + 1

x− 1 .

Considere as afirmações:

I. f é injetiva e sobrejetiva. II. f é injetiva, mas não sobrejetiva.

III. f(x) + f (

1

x

) = 0, para todo x ∈ D, x 6= 0.

IV. f(x) · f(−x) = 1, para todo x ∈ D. Então, são verdadeiras

A ( ) apenas I e III. B ( ) apenas I e IV. C ( ) apenas II e III.

D ( ) apenas I, III e IV. E ( ) apenas II, III e IV.

Questão 14. O número complexo 2 + i é raiz do polinômio

f(x) = x4 + x3 + px2 + x + q ,

com p, q ∈ R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das ráızes reais de f é A ( ) 4. B ( ) 4. C ( ) 6. D ( ) 5. E ( ) 5.

Questão 15. Considere a equação em x

ax+1 = b1/ x ,

onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2 ln a > 0. A soma das soluções da equação é

A ( ) 0. B ( ) 1. C ( ) 1. D ( ) ln 2. E ( ) 2.

Questão 16. O intervalo I ⊂ R que contém todas as soluções da inequação

arctan 1 + x

2 + arctan

1− x 2

≥ π 6

A ( ) [1, 4]. B ( ) [3, 1]. C ( ) [2, 3]. D ( ) [0, 5]. E ( ) [4, 6].

Questão 17. Seja z ∈ C com |z| = 1. Então, a expressão ∣∣∣∣ 1− zw z − w

∣∣∣∣ assume valor

A ( ) maior que 1 , para todo w com |w| > 1. B ( ) menor que 1 , para todo w com |w| < 1. C ( ) maior que 1 , para todo w com w 6= z. D ( ) igual a 1 , independente de w com w 6= z. E ( ) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|.

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Questão 18. O sistema linear   

bx + y = 1 by + z = 1 x + bz = 1

não admite solução se e somente se o número real b for igual a

A ( ) 1. B ( ) 0. C ( ) 1. D ( ) 2. E ( ) 2.

Questão 19. Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7 bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de todas as bolas sairem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1 + P2 é

A ( ) 0, 21. B ( ) 0, 25. C ( ) 0, 28. D ( ) 0, 35. E ( ) 0, 40.

Questão 20. A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0,−2) são, respectivamente,

A ( )

3 e 1

2 . B ( )

1

2 e

3. C ( )

3

2 e

1

2 . D ( )

3 e

3

2 . E ( ) 2

3 e

3

2 .

As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e res- pondidas no caderno de soluções.

Questão 21. Seja a1, a2, . . . uma progressão aritmética infinita tal que

n

k=1

a3k = n √

2 + πn2 , para n ∈ N∗.

Determine o primeiro termo e a razão da progressão.

Questão 22. Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P , determine a circunferência C ′ de menor raio, com centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C.

Questão 23. Sejam A e B matrizes 2×2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A2 + 2AB −B = 0. Se B é inverśıvel, mostre que (a) AB−1 = B−1A e que (b) A é inverśıvel.

Questão 24. Seja n o número de lados de um poĺıgono convexo. Se a soma de n − 1 ângulos (internos) do poĺıgono é 2004, determine o número n de lados do poĺıgono.

Questão 25. (a) Mostre que o número real α = 3 √

2 +

5 + 3 √

2−√5 é ráız da equação x3 + 3x− 4 = 0.

(b) Conclua de (a) que α é um número racional.

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Questão 26. Considere a equação em x ∈ R

1 + mx = x +

1−mx ,

sendo m um parâmetro real. (a) Resolva a equação em função do parâmetro m. (b) Determine todos os valores de m para os quais a equação admite solução não nula.

Questão 27. Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 3

2 cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é π cm3. Determine os ângulos deste triângulo.

Questão 28. São dados dois cartões, sendo que um deles tem ambos os lados na cor vermelha, enquanto o outro tem um lado na cor vermelha e o outro lado na cor azul. Um dos cartões é escolhido ao acaso e colocado sobre uma mesa. Se a cor exposta é vermelha, calcule a probabilidade de o cartão escolhido ter a outra cor também vermelha.

Questão 29. Obtenha todos os pares (x, y), com x, y ∈ [0, 2π], tais que

sen (x + y) + sen (x− y) = 1 2

senx + cos y = 1

Questão 30. Determine todos os valores reais de a para os quais a equação

(x− 1)2 = |x− a|

admita exatamente três soluções distintas.

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