Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2006 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2006 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2006.
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NOTAÇÕES

C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária ; i2 = ¡1 Q : conjunto dos números racionais z = x+ iy ; x; y 2 R R : conjunto dos números reais ¹z : conjugado do número z 2 C Z : conjunto dos números inteiros jzj : módulo do número z 2 C N = f0; 1; 2; 3; : : :g Re z : parte real de z 2 C N¤ = f1; 2; 3; : : :g Im z : parte imaginária de z 2 C ; : conjunto vazio [a; b] = fx 2 R : a · x · bg A nB = fx 2 A : x =2 Bg (a; b) = fx 2 R : a < x < bg detA : determinante da matriz A [a; b) = fx 2 R : a · x < bg AB : segmento de reta unindo os pontos A e B (a; b] = fx 2 R : a < x · bgµ a

b

¶ : combinação de a elementos, b a b, onde a e b são inteiros maiores ou iguais a zero

P(X) : conjunto de todos os subconjuntos de X n(X) : número de elementos do conjunto X (X …nito)

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados

Questão 1. Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G: Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale

A ( ) 1 B ( ) 2 C ( ) 3 D ( ) 4 E ( ) 5

Questão 2. Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ¸ 1: Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade:

Se A;B 2 S, então A ½ B ou B ½ A: Então, o número máximo de elementos que S pode ter é

A ( ) 2n¡1 B ( ) n=2, se n for par, e (n+1)=2 se n for ímpar C ( ) n+1 D ( ) 2n ¡ 1 E ( ) 2n¡1 + 1

Questão 3. Sejam A e B subconjuntos …nitos de um mesmo conjunto X, tais que n(BnA), n(AnB) e n(A \ B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(BnA) = 4 e n(A [B) + r = 64, então, n(AnB) é igual a A ( ) 12 B ( ) 17 C ( ) 20 D ( ) 22 E ( ) 24

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Questão 4. Seja f : R ! R de…nida por f(x) = p 77 sen[5 (x+ ¼=6)] e seja B o conjunto

dado por B = fx 2 R : f(x) = 0g : Se m é o maior elemento de B\(¡1; 0) e n é o menor elemento de B \ (0;+1), então m+ n é igual a

A ( ) 2¼

15 B ( )

¼

15 C ( ) ¡ ¼

30 D ( ) ¡ ¼

15 E ( ) ¡2¼

15

Questão 5. Considere a equação (ax ¡ a¡x)=(ax + a¡x) = m, na variável real x, com 0 < a 6= 1. O conjunto de todos os valores dem para os quais esta equação admite solução real é

A ( ) (¡1; 0) [ (0; 1) B ( ) (¡1;¡1) [ (1;+1) C ( ) (¡1; 1) D ( ) (0;1) E ( ) (¡1;+1)

Questão 6. Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é

A ( ) 44 ¢ 30 B ( ) 43 ¢ 60 C ( ) 53 ¢ 60 D ( ) µ 7

3

¶ ¢ 43 E ( )

µ 10

7

Questão 7. Considere as seguintes a…rmações sobre a expressão S = P101

k=0 log8 ¡ 4k

p 2 ¢ :

I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica …nita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética …nita de razão 2=3 III. S = 3451 IV. S · 3434 + log8

p 2

Então, pode-se a…rmar que é(são) verdadeira(s) apenas

A ( ) I e III B ( ) II e III C ( ) II e IV D ( ) II E ( ) III

Questão 8. Se para todo z 2 C, jf (z)j = jzj e jf(z)¡ f(1)j = jz ¡ 1j, então, para todo z 2 C, f(1)f (z) + f (1)f (z)é igual a

A ( ) 1 B ( ) 2z C ( ) 2Re z D ( ) 2 Im z E ( ) 2 jzj2

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Questão 9. O conjunto solução de (tg2x¡ 1)(1¡ cotg2x) = 4, x 6= k¼=2, k 2 Z, é

A ( ) ½ ¼

3 + k¼

4 ; k 2 Z

¾ B ( )

½ ¼

4 + k¼

4 ; k 2 Z

¾ C ( )

½ ¼

6 + k¼

4 ; k 2 Z

¾

D ( ) ½ ¼

8 + k¼

4 ; k 2 Z

¾ E ( )

½ ¼

12 + k¼

4 ; k 2 Z

¾

Questão 10. Se ® 2 [0; 2¼) é o argumento de um número complexo z 6= 0 e n é um número natural tal que (z= jzj)n = isen(n®), então, é verdade que A ( ) 2n® é múltiplo de 2¼ B ( ) 2n®¡ ¼ é múltiplo de 2¼ C ( ) n® ¡ ¼=4 é múltiplo de ¼=2 D ( ) 2n®¡ ¼ é múltiplo não nulo de 2 E ( ) n® ¡ 2¼ é múltiplo de ¼

Questão 11. A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema

linear

8 < : x+ y + 3z = 2 x+ 2y + 5z = 1 2x+ 2y + az = b

é

A ( ) a¡ b 6= 2 B ( ) a+ b = 10 C ( ) 4a¡ 6b = 0

D ( ) a

b = 3

2 E ( ) a ¢ b = 24

Questão 12. Se det

2 4 a b c p q r x y z

3 5 = ¡1, então o valor do det

2 4

¡2a ¡2b ¡2c 2p + x 2q + y 2r + z 3x 3y 3z

3 5

é igual a

A ( ) 0 B ( ) 4 C ( ) 8 D ( ) 12 E ( ) 16

Questão 13. Seja p um polinômio com coe…cientes reais, de grau 7, que admite 1 ¡ i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e ¡40. Sendo a…rmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são

A ( ) 3

2 ¡

p 193

6 , 3,

3

2 +

p 193

6 B ( ) 2¡ 4

p 13, 2, 2 + 4

p 13

C ( ) ¡4, 2, 8 D ( ) ¡2, 3, 8 E ( ) ¡1, 2, 5

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Questão 14. Sobre o polinômio p(x) = x5 ¡ 5x3 + 4x2 ¡ 3x¡ 2 podemos a…rmar que A ( ) x = 2 não é raiz de p B ( ) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais C ( ) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira D ( ) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras E ( ) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais

Questão 15. Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por ½ (a¡ b)x¡ (a+ b)y = 1 (a+ b)x+ (a¡ b)y = 1

Considere as seguintes a…rmações:

I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0 II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos

III. x2 + y2 = 1

a2 + b2 , se a2 + b2 6= 0

Então, pode-se a…rmar que é(são) verdadeira(s) apenas

A ( ) I B ( ) II C ( ) III D ( ) I e II E ( ) II e III

Questão 16. Considere o polinômio p(x) = x3 ¡ (a+ 1)x + a, onde a 2 Z. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é

A ( ) f2n; n 2 Ng B ( ) f4n2; n 2 Ng C ( ) f6n2 ¡ 4n; n 2 Ng D ( ) fn(n+ 1); n 2 Ng E ( ) N

Questão 17. Numa circunferência C1 de raio r1 = 3 cm está inscrito um hexágono regular H1; em H1 está inscrita uma circunferência C2; em C2 está inscrito um hexágono regular H2 e, assim, sucessivamente. Se An (em cm2) é a área do hexágono Hn, entãoP1

n=1An (em cm 2) é igual a

A ( ) 54 p 2 B ( ) 54

p 3 C ( ) 36(1 +

p 3)

D ( ) 27

2¡ p 3

E ( ) 30(2 + p 3)

Questão 18. Sejam a reta s : 12x¡5y+7 = 0 e a circunferência C : x2+y2+4x+2y = 11: A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixoOy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo

A ( ) µ

¡91 12 ;¡81 12

¶ B ( )

µ ¡81 12 ;¡74 12

¶ C ( )

µ ¡74 12 ;¡30 12

D ( ) µ 30

12 ; 74

12

¶ E ( )

µ 75

12 ; 91

12

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Questão 19. Os focos de uma elipse são F1(0;¡6) e F2(0; 6). Os pontos A(0; 9) e B(x; 3), x > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a

A ( ) 22 p 10 B ( ) 18

p 10 C ( ) 15

p 10 D ( ) 12

p 10 E ( ) 6

p 10

Questão 20. Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede 3

p 3 cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60o com o plano da

base: A área total da pirâmide, em cm2, é

A ( ) 81

p 3

2 B ( )

81 p 2

2 C ( )

81

2 D ( ) 27

p 3 E ( ) 27

p 2

As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções.

Questão 21. Considere A um conjunto não vazio com um número …nito de elementos. Dizemos que F = fA1; : : : ;Amg ½ P(A) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas:

I. Ai 6= ;, i = 1; : : : ;m II. Ai \ Aj = ;, se i 6= j, para i; j = 1; : : : ;m III. A = A1 [ A2 [ ¢ ¢ ¢ [ Am

Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k, i = 1; : : : ;m: Supondo que n(A) = 8, determine:

(a) As ordens possíveis para uma partição de A

(b) O número de partições de A que têm ordem 2

Questão 22. Seja f : [0; 1) ! R de…nida por f(x) = ½ 2x; 0 · x < 1=2 2x¡ 1; 1=2 · x < 1 :

Seja g : (¡1=2; 1=2) ! R dada por g(x) = ½ f (x+ 1=2) ; ¡1=2 < x < 0 1¡ f (x+ 1=2) ; 0 · x < 1=2 , com f

de…nida acima. Justi…cando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar.

Questão 23. Determine o coe…ciente de x4 no desenvolvimento de (1 + x+ x2)9:

Questão 24. Determine para quais valores de x 2 (¡¼=2; ¼=2) vale a desigualdade

logcos x(4sen 2x¡ 1)¡ logcos x(4¡ sec2 x) > 2:

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Questão 25. Considere o polinômio p(x) = x3 + ax2 + x + 1, com raízes reais. O coe…ciente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte a…rmação é verdadeira:

“Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais.”

Questão 26. As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m2.

Questão 27. Sejam as matrizes

A =

2 664

1 0 1=2 ¡1 ¡2 5 2 ¡3 1 ¡1 2 1

¡5 1 3=2 0

3 775 e B =

2 664

1 3 ¡1=2 1 1 ¡2 ¡2 3

¡1 1 1 1 5 ¡1 1=2 5

3 775

Determine o elemento C34 da matriz C = (A+B)¡1:

Questão 28. Seja (a1; a2; a3; : : : ; an; : : :) uma progressão geométrica in…nita de razão positiva r, em que a1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16=13, determine o valor de a+ r:

Questão 29. Sabendo que 9y2 ¡ 16x2 ¡ 144y + 224x ¡ 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal.

Questão 30. Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm2, do círculo inscrito neste losango.

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