Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2007 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2007 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2007.
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NOTAÇÕES

N = {0, 1, 2, 3, . . .} i: unidadeimaginária;i2 = 1 Z: conjuntodosnúmerosinteiros |z|: módulodonúmeroz C Q: conjuntodosnúmerosracionais z: conjugadodonúmeroz C R: conjuntodosnúmerosreais Re z: parterealdez ∈ C C: conjuntodosnúmeroscomplexos Im z: parteimagináriadez C

( n

p

) : número de combinações de n elementos tomados p a p.

mdc(j, k) : máximo divisor comum dos números inteiros j e k.

n(X) : número de elementos de um conjunto finito X.

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Questão 01. Se A, B, C forem conjuntos tais que

n(A ∪B) = 23, n(B − A) = 12, n(C − A) = 10, n(B ∩ C) = 6 e n(A ∩B ∩ C) = 4,

então n(A), n(A ∪ C), n(A ∪B ∪ C), nesta ordem, A ( ) formam uma progressão aritmética de razão 6. B ( ) formam uma progressão aritmética de razão 2. C ( ) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11. D ( ) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. E ( ) não formam uma progressão aritmética.

Questão 02. Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B

A ( ) 28 9. B ( ) 28 1. C ( ) 28 26. D ( ) 214 28. E ( ) 28.

Questão 03. Considere a equação:

16

( 1− ix 1 + ix

)3 =

( 1 + i

1− i − 1− i 1 + i

)4 .

Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é

A ( ) 3. B ( ) 6. C ( ) 9. D( ) 12. E ( ) 15.

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Questão 04. Assinale a opção que indica o módulo do número complexo

1

1 + i cotg x , x 6= kπ, k ∈ Z.

A ( ) |cos x| B ( ) (1 + sen x)/2 C ( ) cos2 x D ( ) |cossec x| E ( ) | sen x|

Questão 05. Considere: um retângulo cujos lados medem B e H, um triângulo isósceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o ćırculo inscrito neste triângulo. Se as áreas do retângulo, do triângulo e do ćırculo, nesta ordem, formam uma progressão geométrica, então B/H é uma raiz do polinômio

A ( ) π3x3 + π2x2 + πx− 2 = 0. B ( ) π2x3 + π3x2 + x + 1 = 0. C ( ) π3x3 − π2x2 + πx + 2 = 0. D ( ) πx3 − π2x2 + 2πx− 1 = 0. E ( ) x3 2π2x2 + πx− 1 = 0.

Questão 06. Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo

A ( ) ( 0, (1 +

2)/2

) .

B ( )

( (1 +

2)/2,

√ (1 +

5)/2

) .

C ( )

(√ (1 +

5)/2, (1 +

5)/2

) .

D ( )

( (1 +

5)/2,

√ 2 +

2/2

) .

E ( )

(√ 2 +

2/2, (2 +

3)/2

) .

Questão 07. Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo

logk(xy) = 49,

logk(x/z) = 44.

Então, logk(xyz) é igual a

A ( ) 52. B ( ) 61. C ( ) 67. D ( ) 80. E ( ) 97.

Questão 08. Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quociente

ex − 25 4− ey√5

são todos racionais. A soma x + y é igual a

A ( ) 0. B ( ) 1. C ( ) 2 log5 3. D ( ) log5 2. E ( ) 3 loge 2.

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Questão 09. Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z5 é igual a 1. Sendo z3 + z2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das ráızes de Q(z) é igual a

A ( ) 9. B ( ) 7. C ( ) 5. D ( ) 3. E ( ) 1.

Questão 10. Sendo c um número real a ser determinado, decomponha o polinômio 9x2 63x + c, numa diferença de dois cubos

(x + a)3 (x + b)3.

Neste caso, | a + | b | − c | é igual a A ( ) 104. B ( ) 114. C ( ) 124. D( ) 134. E ( ) 144.

Questão 11. Sobre a equação na variável real x,

| | | x− 1 | − 3 | − 2 | = 0,

podemos afirmar que

A ( ) ela não admite solução real. B ( ) a soma de todas as suas soluções é 6. C ( ) ela admite apenas soluções positivas. D ( ) a soma de todas as soluções é 4. E ( ) ela admite apenas duas soluções reais.

Questão 12. Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido.

A ( ) 204 B ( ) 206 C ( ) 208 D( ) 210 E ( ) 212

Questão 13. Seja x um número real no intervalo 0 < x < π/2. Assinale a opção que indica o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade

1

2 tg

(π 2 − x

) − √

3

( cos2

x

2 1

2

) sec(x) 0.

A ( ) π/2 B ( ) π/3 C ( ) π/4 D ( ) π/6 E ( ) π/12

Questão 14. Assinale a opção que indica a soma dos elementos de A ∪B, sendo:

A =

{ xk = sen

2

( k2π

24

) : k = 1, 2

} e

B =

{ yk = sen

2

( (3k + 5)π

24

) : k = 1, 2

} .

A ( ) 0 B ( ) 1 C ( ) 2

D ( ) ( 2

√ 2 +

3 )

/3 E ( ) ( 2 +

√ 2−√3

) /3

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Questão 15. Sejam A = (ajk) e B = (bjk) , duas matrizes quadradas n × n, onde ajk e bjk são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por

ajk =

( j

k

) , quando j ≥ k , ajk =

( k

j

) , quando j < k

e

bjk =

jkp=0

(2)p (

jk

p

) .

O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n × n é definido por ∑n

p=1 cpp. Quando n for ı́mpar, o traço de A + B é igual a

A ( ) n(n− 1)/3. B ( ) (n− 1)(n + 1)/4. C ( ) (n2 3n + 2)/(n− 2). D ( ) 3(n− 1)/n. E ( ) (n− 1)/(n− 2).

Questão 16. Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e x = 2y + 10. A área desse triângulo mede A ( ) 15/2. B ( ) 13/4. C ( ) 11/6. D ( ) 9/4. E ( ) 7/2.

Questão 17. Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos do plano cartesiano, em que a é um número real não nulo. Nas alternativas abaixo, assinale a equação do lugar geométrico dos pontos P : (x, y) cuja distância à reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao ponto C.

A ( ) x2 + y2 2xy − 2ax− 2ay + 3a2 = 0 B ( ) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 C ( ) x2 + y2 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0 D ( ) x2 + y2 2xy − 2ax− 2ay − 3a2 = 0 E ( ) x2 + y2 + 2xy − 2ax− 2ay − 3a2 = 0

Questão 18. Seja Pn um poĺıgono regular de n lados, com n > 2. Denote por an o apótema e por bn o comprimento de um lado de Pn. O valor de n para o qual valem as desigualdades

bn ≤ an e bn−1 > an−1, pertence ao intervalo

A ( ) 3 < n < 7. B ( ) 6 < n < 9. C ( ) 8 < n < 11. D ( ) 10 < n < 13. E ( ) 12 < n < 15.

Questão 19. Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, então a razão A1/A2 é igual a

A ( ) √

5/8. B ( ) 9

2/16. C ( ) 2(

21). D ( ) (4

2 + 1)/8. E ( ) (2 +

2)/4.

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Questão 20. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede

3 cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco

de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1/

2, a altura do tronco, em cent́ımetros, é igual a

A ( ) (

6−√2)/4. B ( ) (6−√3)/3. C ( ) (33−√6)/21. D ( ) (3

223)/6. E ( ) (26−√2)/22.

As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções.

Questão 21. Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que

A ∪B ∪ C = {x ∈ R : x2 + x ≥ 2}, A ∪B = {x ∈ R : 8−x − 3 · 4−x − 22−x > 0} , A ∩ C = {x ∈ R : log(x + 4) 0} , B ∩ C = {x ∈ R : 0 2x + 7 < 2} .

Questão 22. Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que

z

z − 2i + 2z

z + 2i = 3 e 0 < |z − 2i| ≤ 1.

Questão 23. Seja k um número inteiro positivo e

Ak = { j ∈ N : j ≤ k e mdc(j, k) = 1 }. Verifique se n(A3), n(A9), n(A27) e n(A81), estão ou não, nesta ordem, numa progressão aritmética ou geométrica. Se for o caso, especifique a razão.

Questão 24. Considere a equação: √

x2 − p + 2

x2 1 = x. (a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite ráızes reais? (b) Determine todas essas ráızes reais.

Questão 25. Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema

log [ (x + 2y)(w − 3z)1] = 0,

2x+3z − 8 · 2y−3z+w = 0,

3 √

2x + y + 6z − 2w − 2 = 0.

Questão 26. Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

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Questão 27. Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado BC, considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se β for o ângulo EÂD, determine tg β em função da razão r da progressão.

Questão 28. Considere, no plano cartesiano xy, duas circunferências C1 e C2, que se tangenciam exteriormente em P : (5, 10). O ponto Q : (10, 12) é o centro de C1. Determine o raio da circunferência C2, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equaçã o x = y.

Questão 29. Seja C1 uma circunferência de raio R1 inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C2 uma segunda circunferência, de raio R2, que tangencia dois lados do triâ ngulo internamente e C1 externamente. Calcule (R1 −R2)/h.

Questão 30. Os quatro vértices de um tetraedro regular, de volume 8/3 cm3, encon- tram-se nos vértices de um cubo. Cada vértice do cubo é centro de uma esfera de 1 cm de raio. Calcule o volume da parte do cubo exterior às esferas.

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