Vestibular de Matemática -  Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2008 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2008 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2008.
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NOTAÇÕES

N = f0; 1; 2; 3; : : :g i : unidade imaginária; i2 = �1 Z : conjunto dos números inteiros jzj : módulo do número z 2 C R : conjunto dos números reais z : conjugado do número z 2 C C : conjunto dos números complexos Re z : parte real de z 2 C ; : conjunto vazio Im z : parte imaginária de z 2 C [a; b] = fx 2 R; a  x  bg I : matriz identidade (a; b) = ]a; b[ = fx 2 R; a < x < bg A�1 : inversa da matriz inversível A [a; b) = [a; b[ = fx 2 R; a  x < bg At : transposta da matriz A (a; b] = ]a; b] = fx 2 R; a < x  bg detA : determinante da matriz A A�B = fx 2 A; x =2 Bg AC : complementar de A

P(A) : coleção de todos os subconjuntos de A AB : segmento de reta unindo os pontos A e B _

AB : arco de circunferência de extremidades A e B

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais.

Questão 1. Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que

sejam daltônicos 5% dos homens e 0; 25% das mulheres. Indique a probabilidade de que

seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população.

A ( ) 1

21 B ( )

1

8 C ( )

3

21 D ( )

5

21 E ( )

1

4

Questão 2. Sejam ; 2 C tais que j j = j j = 1 e j � j = p 2: Então 2+ 2 é igual

a

A ( ) �2 B ( ) 0 C ( ) 1 D ( ) 2 E ( ) 2i

Questão 3. Considere o sistema Ax = b; em que

A =

0@ 1 �2 32 k 6 �1 3 k � 3

1A ; b = 0@ 16 0

1A e k 2 R: Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a

soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o

valor de T � S é

A ( ) �4 B ( ) �3 C ( ) 0 D ( ) 1 E ( ) 4

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Questão 4. Sejam A e C matrizes n  n inversíveis tais que det(I + C�1A) = 1=3 e detA = 5: Sabendo-se que B = 3 (A�1 + C�1)t ; então o determinante de B é igual a

A ( ) 3n B ( ) 2  3 n

52 C ( )

1

5 D ( )

3n�1

5 E ( ) 5 3n�1

Questão 5. Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus formam

uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a 2 e o grau

de P é 62, então o de maior grau tem grau igual a

A ( ) 30 B ( ) 32 C ( ) 34 D ( ) 36 E ( ) 38

Questão 6. Um diedro mede 120. A distância da aresta do diedro ao centro de uma

esfera de volume 4 p 3  cm3 que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a

A ( ) 3 p 3 B ( ) 3

p 2 C ( ) 2

p 3 D ( ) 2

p 2 E ( ) 2

Questão 7. Considere o quadrado ABCD com lados de 10m de comprimento. Seja

M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD; eqüidistantes de A. Por

M traça-se uma reta r paralela ao lado AD e por N uma reta s paralela ao lado AB;

que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é

a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC. Sabendo-

se que as áreas dos quadrados AMON;OPCQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma

progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a

A ( ) 15 + 5 p 5 B ( ) 10 + 5

p 5 C ( ) 10�

p 5

D ( ) 15� 5 p 5 E ( ) 10� 3

p 5

Questão 8. Considere o polinômio p(x) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 � a1; em que uma das raízes é x = �1: Sabendo-se que a1, a2, a3, a4 e a5 são reais e formam, nesta ordem, uma progressão aritmética com a4 = 1=2, então p(�2) é igual a

A ( ) �25 B ( ) �27 C ( ) �36 D ( ) �39 E ( ) �40

Questão 9. Sobre a equação polinomial 2x4 + ax3 + bx2 + cx� 1 = 0, sabemos que os coe…cientes a; b; c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e 1=2� i=2 também é sua raiz. Então, o máximo de a; b; c é igual a

A ( ) �1 B ( ) 1 C ( ) 2 D ( ) 3 E ( ) 4

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Questão 10. É dada a equação polinomial

(a+ c+ 2) x3 + (b+ 3c+ 1) x2 + (c� a)x+ (a+ b+ 4) = 0

com a; b; c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie e que 1 é

uma raiz, então o produto abc é igual a

A ( ) �2 B ( ) 4 C ( ) 6 D ( ) 9 E ( ) 12

Questão 11. Sendo [�=2; =2] o contradomínio da função arcoseno e [0; ] o con- tradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de

cos

 arcsen

3

5 + arccos

4

5

 :

A ( ) 1p 12

B ( ) 7

25 C ( )

4

15 D ( )

1p 15

E ( ) 1

2 p 5

Questão 12. Dada a cônica  : x2 � y2 = 1; qual das retas abaixo é perpendicular à  no ponto P =

� 2; p 3  ?

A ( ) y = p 3(x� 1) B ( ) y =

p 3

2 x C ( ) y =

p 3

3 (x+ 1)

D ( ) y = � p 3

5 (x� 7) E ( ) y = �

p 3

2 (x� 4)

Questão 13. O conjunto imagem e o período de f(x) = 2 sen2 (3x) + sen(6x)� 1 são, respectivamente,

A ( ) [�3; 3] e 2 B ( ) [�2; 2] e 2 3

C ( )  � p 2; p 2  e 

3

D ( ) [�1; 3] e  3

E ( ) [�1; 3] e 2 3

Questão 14. Para x 2 R; o conjunto solução de j53x � 52x+1 + 4  5xj = j5x � 1j é

A ( ) n 0; 2

p 5; 2

p 3 o

B ( ) n 0; 1; log5

 2 +

p 5 o

C ( )

( 0; 1

2 log5 2;

1

2 log5 3; log5

p 2

2

!)

D ( ) n 0; log5

 2 +

p 5  ; log5

 2 +

p 3  ; log5

 2�

p 3 o

E ( ) A única solução é x = 0

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Questão 15. Um subconjunto D de R tal que a função f : D ! R; de…nida por f(x) = jln (x2 � x+ 1)j é injetora, é dado por

A ( ) R B ( ) (�1; 1] C ( ) [0; 1=2] D ( ) (0; 1) E ( ) [1=2;1)

Questão 16. A soma de todas as soluções distintas da equação

cos 3x+ 2 cos 6x+ cos 9x = 0;

que estão no intervalo 0  x  =2; é igual a

A ( ) 2 B ( ) 23

12  C ( )

9

6  D ( )

7

6  E ( )

13

12 

Questão 17. Considere o conjunto D = fn 2 N; 1  n  365g e H  P(D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B 2 H; a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 é igual a

A ( ) 1

730 B ( )

46

33 215 C ( )

1

365 D ( )

92

33 215 E ( )

91

730

Questão 18. Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais,

BÂC; mede 40: Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que AĈE = 15: Sobre o lado AC,

tome o ponto D tal que DB̂C = 35. Então, o ângulo ED̂B vale

A ( ) 35 B ( ) 45 C ( ) 55 D ( ) 75 E ( ) 85

Questão 19. Sejam X;Y; Z;W subconjuntos de N tais que (X � Y ) \ Z = f1; 2; 3; 4g ; Y = f5; 6g ; Z \ Y = ;; W \ (X � Z) = f7; 8g ; X \W \ Z = f2; 4g : Então o conjunto [X \ (Z [W )]�[W \ (Y [ Z)] é igual a

A ( ) f1; 2; 3; 4; 5g B ( ) f1; 2; 3; 4; 7g C ( ) f1; 3; 7; 8g

D ( ) f1; 3g E ( ) f7; 8g

Questão 20. Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto

no plano de…nido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5 cm de

r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm2 e cm, do triângulo equilátero

PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a

A ( ) 175 p 3

3 e 5 p 21 B ( ) 175

p 3

3 e 10

p 21 C ( ) 175

p 3 e 10

p 21

D ( ) 175 p 3 e 5

p 21 E ( ) 700 e 10

p 21

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As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem ser resolvidas e

respondidas no caderno de soluções.

Questão 21. Dado o conjunto A =  x 2 R;

p 3x2 + 2x < x2

; expresse-o como união de

intervalos da reta real.

Questão 22. Determine as raízes em C de 4z6 + 256 = 0; na forma a+ bi; com a; b 2 R; que pertençam a

S = fz 2 C; 1 < jz + 2j < 3g :

Questão 23. Seja f(x) = ln (x2 + x+ 1) ; x 2 R: Determine as funções h; g : R! R tais que f(x) = g(x) + h(x); 8x 2 R; sendo h uma função par e g uma função ímpar.

Questão 24. Sejam ; ; 2 R: Considere o polinômio p(x) dado por

x5�9x4+( � � 2 )x3+( + 2 + 2 � 2)x2+( � � + 1) x+(2 + + � 1) :

Encontre todos os valores de ; e de modo que x = 0 seja uma raiz com multiplicidade

3 de p(x).

Questão 25. Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A�1 = At:

Determine todas as matrizes 22 que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal.

Questão 26. Determine todos os valores 2  � 2 ; 

2

 tais que a equação (em x)

x4 � 2 4 p 3x2 + tg = 0

admita apenas raízes reais simples.

Questão 27. Em um espaço amostral com uma probabilidade P; são dados os eventos

A; B e C tais que: P (A) = P (B) = 1=2; com A e B independentes, P (A \B \ C) = 1=16; e sabe-se que P ((A \B) [ (A \ C)) = 3=10: Calcule as probabilidades condicionais P (CjA \B) e P

� CjA \BC

 :

Questão 28. Um triângulo acutângulo de vértices A; B e C está inscrito numa circun-

ferência de raio 5 p 2

3 : Sabe-se que AB mede 2

p 5 e BC mede 2

p 2: Determine a área do

triângulo ABC:

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Questão 29. Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de C:

Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C: Traça-se a reta s passando pelos

pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência C no ponto A:

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo

arco _

AE e pelos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB:

Questão 30. Considere a parábola de equação y = ax2 + bx + c; que passa pelos

pontos (2; 5) ; (�1; 2) e tal que a; b; c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2; 5):

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