Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2009 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2009 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

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Vestibular de Matemática do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2009.
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NOTAÇÕES

N = f1; 2; 3; : : :g i : unidade imaginária: i2 = �1 R : conjunto dos números reais jzj : módulo do número z 2 C C : conjunto dos números complexos Re z : parte real do número z 2 C [a; b] = fx 2 R; a  x  bg Im z : parte imaginária do número z 2 C (a;+1) =]a;+1[= fx 2 R; a < x < +1g Mmn(R) : conjunto das matrizes reais m n AnB = fx 2 A; x =2 Bg At : transposta da matriz A AC : complementar do conjunto A detA : determinante da matriz A

P (A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(A) : número de elementos do conjunto …nito A AB : segmento de reta unindo os pontos A e B trA : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Questão 1. Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = fa; b; c; d; e; f; g; hg. Sabendo que (BC [ A)C = ff; g; hg, BC \ A = fa; bg e ACnB = fd; eg, então, n(P (A \B)) é igual a

A ( ) 0: B ( ) 1: C ( ) 2: D ( ) 4: E ( ) 8:

Questão 2. Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “‡ex“ (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “‡ex“ sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta empresa são bicombustíveis, pode-se a…rmar que o número de carros tricombustíveis é igual a

A ( ) 246: B ( ) 252: C ( ) 260: D ( ) 268: E ( ) 284:

Questão 3. Seja f : R �! Rnf0g uma função satisfazendo às condições:

f (x+ y) = f (x) f (y) ; para todo x; y 2 R e f (x) 6= 1; para todo x 2 Rnf0g:

Das a…rmações:

I. f pode ser ímpar.

II. f(0) = 1:

III. f é injetiva.

IV. f não é sobrejetiva, pois f(x) > 0 para todo x 2 R:

é (são) falsa(s) apenas

A ( ) I e III. B ( ) II e III. C ( ) I e IV. D ( ) IV. E ( ) I.

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Questão 4. Se a = cos 

5 e b = sen



5 , então, o número complexo

 cos



5 + i sen



5

54 é igual a

A ( ) a+ bi: B ( ) � a+ bi: C ( ) (1� 2a2b2) + ab(1 + b2)i: D ( ) a� bi: E ( ) 1� 4a2b2 + 2ab(1� b2)i.

Questão 5. O polinômio de grau 4

(a+ 2b+ c)x4 + (a+ b+ c)x3 � (a� b)x2 + (2a� b+ c)x+ 2(a+ c);

com a; b; c 2 R, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a

A ( ) 3 + p 3: B ( ) 2 + 3

p 3: C ( ) 2 +

p 2: D ( ) 1 + 2

p 2: E ( ) 2 + 2

p 2.

Questão 6. Considere as funções f(x) = x4+2x3� 2x� 1 e g(x) = x2� 2x+1. A multiplicidade das raízes não reais da função composta f  g é igual a

A ( ) 1: B ( ) 2: C ( ) 3: D ( ) 4: E ( ) 5.

Questão 7. Suponha que os coe…cientes reais a e b da equação x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com jrj 6= 1. Das seguintes a…rmações:

I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais.

II. As raízes podem ser duplas.

III. Das quatro raízes, duas podem ser reais.

é (são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.

D ( ) apenas II e III. E ( ) nenhuma.

Questão 8. Se as soluções da equação algébrica 2x3�ax2+bx+54 = 0; com coe…cientes a; b 2 R, b 6= 0; formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, a

b é igual a

A ( ) � 3: B ( ) � 1 3 : C ( )

1

3 : D ( ) 1: E ( ) 3.

Questão 9. Dados A 2 M32(R) e b 2 M31(R), dizemos que X0 2 M21(R) é a melhor aproximação quadrática do sistema AX = b quando

p (AX0 � b)t(AX0 � b) assume o menor

valor possível. Então, dado o sistema24 �1 00 1 1 0

35 x y

 =

24 11 1

35 ; a sua melhor aproximação quadrática é

A ( ) 

1 �1

 : B ( )

 1 1

 : C ( )

 �2 0

 : D ( )

 1 0

 : E ( )

 0 1

 .

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Questão 10. O sistema  a1x+ b1y = c1 a2x+ b2y = c2

; a1; a2; b1; b2; c1; c2 2 R;

com (c1; c2) 6= (0; 0); a1c1 + a2c2 = b1c1 + b2c2 = 0, é

A ( ) determinado. B ( ) determinado somente quando c1 6= 0 e c2 6= 0: C ( ) determinado somente quando c1 6= 0 e c2 = 0 ou c1 = 0 e c2 6= 0: D ( ) impossível. E ( ) indeterminado.

Questão 11. Seja A 2 M22 (R) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a11; a12 e a22 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q 6= 1 e trA = 5a11. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X 2 M21(R), pode-se a…rmar que a211 + q

2 é igual a

A ( ) 101

25 : B ( )

121

25 : C ( ) 5: D ( )

49

9 : E ( )

25

4 .

Questão 12. Um certo exame de inglês é utilizado para classi…car a pro…ciência de estrangeiros nesta língua. Dos estrangeiros que são pro…cientes em inglês, 75% são bem avaliados neste exame. Entre os não pro…cientes em inglês, 7% são eventualmente bem avaliados. Considere uma amostra de estrangeiros em que 18% são pro…cientes em inglês. Um estrangeiro, escolhido desta amostra ao acaso, realizou o exame sendo classi…cado como pro…ciente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente pro…ciente nesta língua é de aproximadamente

A ( ) 73%: B ( ) 70%: C ( ) 68%: D ( ) 65%: E ( ) 64%.

Questão 13. Considere o triângulo ABC de lados a = BC; b = AC e c = AB e ângulos internos = C bAB; = A bBC e = B bCA. Sabendo-se que a equação x2 � 2bx cos + b2 � a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se a…rmar que

A ( ) = 90o: B ( ) = 60o: C ( ) = 90o: D ( ) O triângulo é retângulo apenas se = 45o: E ( ) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.

Questão 14. No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3; 2) é igual a 4. Então, S é

A ( ) uma circunferência de raio p 2 e centro (2; 1):

B ( ) uma circunferência de raio 1 e centro (1; 2): C ( ) uma hipérbole. D ( ) uma elipse de eixos de comprimento 2

p 2 e 2:

E ( ) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1.

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Questão 15. Do triângulo de vértices A;B e C; inscrito em uma circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2 cm e o ângulo interno A bBC mede 30o. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm; igual a

A ( ) 2� p 3: B ( )

1

3 . C ( )

p 2

4 : D ( ) 2

p 3� 3: E ( ) 1

2 .

Questão 16. A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação 2x2 � 4x� 4y + 3 = 0 é igual a

A ( ) 2: B ( ) 3

2 : C ( ) 1: D ( )

3

4 : E ( )

1

2 .

Questão 17. A expressão

2

 sen

 x+

11

2 

 + cotg2 x

 tg

x

2

1 + tg2 x

2

é equivalente a

A ( ) [cosx� sen2 x] cotg x: B ( ) [sen x+ cosx] tg x: C ( ) [cos2 x� sen x] cotg2 x: D ( ) [1� cotg2 x] sen x: E ( ) [1 + cotg2 x] [sen x+ cosx].

Questão 18. Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0; 0) e AB uma corda de C. Sabendo que (1; 3) é ponto médio de AB; então uma equação da reta que contém AB é

A ( ) y + 3x� 6 = 0: B ( ) 3y + x� 10 = 0: C ( ) 2y + x� 7 = 0: D ( ) y + x� 4 = 0: E ( ) 2y + 3x� 9 = 0.

Questão 19. Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60o de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone de…nem uma circunferência e distam 2

p 3 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela

esfera, em cm3; é igual a

A ( ) 416

9 : B ( )

480

9 : C ( )

500

9 : D ( )

512

9 : E ( )

542

9 :

Questão 20. Os pontos A = (3; 4) e B = (4; 3) são vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a

A ( ) p 8: B ( ) 3: C ( )

p 12: D ( ) 4: E ( )

p 18.

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AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.

Questão 21. Seja S o conjunto solução da inequação

(x� 9) logx+4(x3 � 26x)  0:

Determine o conjunto SC .

Questão 22. Sejam x; y 2 R e w = x2(1 + 3i) + y2(4 � i) � x(2 + 6i) + y(�16 + 4i) 2 C. Identi…que e esboce o conjunto

= f (x; y) 2 R2; Rew  �13 e Imw  4g:

Questão 23. Seja f : Rnf�1g ! R de…nida por f(x) = 2x+ 3 x+ 1

.

a) Mostre que f é injetora.

b) Determine D = f f(x); x 2 Rnf�1g g e f�1 : D ! Rnf�1g.

Questão 24. Suponha que a equação algébrica

x11 + 10X n=1

anx n + a0 = 0

tenha coe…cientes reais a0; a1; :::; a10 tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma + i n; em que ; n 2 R e os n; n = 1; 2; :::; 11, formam uma progressão aritmética de razão real 6= 0. Considere as três a…rmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justi…cando sua resposta:

I. Se = 0; então a0 = 0: II. Se a10 = 0, então = 0: III. Se = 0, então a1 = 0.

Questão 25. Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 20% dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa?

Questão 26. Sejam A;B 2M33(R). Mostre as propriedades abaixo:

a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X 2M31(R), então A é a matriz nula.

b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então det A = detB = 0.

Questão 27. Sabendo que tg2  x+

1

6 

 =

1

2 , para algum x 2

 0;

1

2 

 , determine sen x.

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Questão 28. Dadas a circunferência C : (x� 3)2 + (y � 1)2 = 20 e a reta r : 3x� y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C; forma um ângulo de 45o com r e cuja distância à origem é 3 p 5

5 . Determine uma equação da reta t.

Questão 29. Considere as n retas

ri : y = mix+ 10; i = 1; 2; :::; n; n  5;

em que os coe…cientes mi, em ordem crescente de i, formam uma progressão aritmética de razão q > 0: Se m1 = 0 e a reta r5 tangencia a circunferência de equação x2+y2 = 25, determine o valor de q:

Questão 30. A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a

p 5. Exprima o volume desta pirâmide em termos da medida a do apótema da base.

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