Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2012 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)
Brasilia80
Brasilia8013 de Março de 2013

Vestibular de Matemática - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - 2012 - ITA, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário de Caratinga (UNEC)

PDF (220.1 KB)
6 páginas
566Número de visitas
Descrição
Vestibular de Matematica do Instituto Tecnológico de Aeronáutica do ano de 2012.
20pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 6
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Pré-visualização finalizada
Consulte e baixe o documento completo
mat2012i

NOTAÇÕES

N : conjunto dos números naturais arg z : argumento do número R : conjunto dos números reais complexo z

R + : conjunto dos números reais [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

não-negativos AB = {x : x ∈ A e x /∈ B} i : unidade imaginária; i2 = −1 AC : complementar do conjunto A

P (A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A

n(A) : número de elementos do conjunto finito A

AB : segmento de reta unindo os pontos A e B ⌢

AB : arco de circunferência de extremidades A e B

n∑

k=0

akx k = a0 + a1x+ a2x

2 + ...+ anx n, n ∈ N

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Questão 1. Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a

A ( ) 6. B ( ) 8. C ( ) 10. D ( ) 12. E ( ) 14.

Questão 2. Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a

A ( ) 2

9 . B ( )

1

3 . C ( )

4

9 . D ( )

5

9 . E ( )

2

3 .

Questão 3. Sejam z = n2(cos 45◦+ i sen 45◦) e w = n(cos 15◦+ i sen 15◦), em que n é o menor inteiro

positivo tal que (1 + i)n é real. Então, z

w é igual a

A ( ) √ 3 + i. B ( ) 2(

√ 3 + i). C ( ) 2(

√ 2 + i).

D ( ) 2( √ 2− i). E ( ) 2(

√ 3− i).

Questão 4. Se arg z = π

4 , então um valor para arg(−2iz) é

A ( ) −π 2 . B ( )

π

4 . C ( )

π

2 . D ( )

4 . E ( )

4 .

1 docsity.com

Questão 5. Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1−r2 e r1+r2+r3 são racionais. Das afirmações: I · Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional; II · Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; III · Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais,

é (são) sempre verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.

D ( ) apenas I e II. E ( ) I, II e III.

Questão 6. As raízes x1, x2 e x3 do polinômio p(x) = 16 + ax− (4 + √ 2)x2 + x3 estão relacionadas

pelas equações:

x1 + 2x2 + x3 2 = 2 e x1 − 2x2 −

√ 2x3 = 0

Então, o coeficiente a é igual a

A ( ) 2(1− √ 2). B ( )

√ 2− 4. C ( ) 2(2 +

√ 2).

D ( ) 4 + √ 2. E ( ) 4(

√ 2− 1).

Questão 7. Sabe-se que (x+ 2y, 3x− 5y, 8x− 2y, 11x− 7y+ 2z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a −127. Então, o produto xyz é igual a A ( ) −60. B ( ) −30. C ( ) 0. D ( ) 30. E ( ) 60.

Questão 8. Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que −2i e i− √ 3

são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x − 5 obtém-se resto zero e que p(1) = 20(5 + 2

√ 3). Então, p(−1) é igual a

A ( ) 5(5− 2 √ 3). B ( ) 15(5− 2

√ 3). C ( ) 30(5− 2

√ 3).

D ( ) 45(5− 2 √ 3). E ( ) 50(5− 2

√ 3).

Questão 9. Um triângulo ABC tem lados com medidas a =

√ 3

2 cm, b = 1 cm e c =

1

2 cm. Uma

circunferência é tangente ao lado a e também aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou seja, a circunferência é ex-inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência, em cm, é igual a

A ( )

√ 3 + 1

4 . B ( )

√ 3

4 . C ( )

√ 3 + 1

3 .

D ( )

√ 3

2 . E ( )

√ 3 + 2

4 .

2 docsity.com

Questão 10. Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a

A ( ) 5

3 . B ( )

√ 97

3 . C ( )

√ 109

3 . D ( )

√ 5

3 . E ( )

10

3 .

Questão 11. A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r : x− 3y + 3 = 0 e s : 3x+ y − 21 = 0, em unidades de área, é igual a

A ( ) 19

2 . B ( ) 10. C ( )

25

2 . D ( )

27

2 . E ( )

29

2 .

Questão 12. Dados os pontos A = (0, 0), B = (2, 0) e C = (1, 1), o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = 2 da bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é um par de retas definidas por

A ( ) r1,2 : √ 2y − x± 2

√ 4 +

√ 2 = 0. B ( ) r1,2 :

√ 2

2 y − x± 2

√ 10 +

√ 2 = 0.

C ( ) r1,2 : 2y − x± 2 √ 10 +

√ 2 = 0. D ( ) r1,2 : (

√ 2 + 1)y − x±

√ 2 + 4

√ 2 = 0.

E ( ) r1,2 : ( √ 2 + 1)y − x± 2

√ 4 + 2

√ 2 = 0.

Questão 13. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U . Das afirmações:

I · (ABC) CC = A ∩ (B ∪ C); II · (ABC) C = A ∪ (B ∩ CC)C; III · BC ∪ CC = (B ∩ C)C ,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas

A ( ) I. B ( ) II. C ( ) III.

D ( ) I e III. E ( ) II e III.

Questão 14. Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios, tais que n(P (A) ∪ P (B)) + 1 = n(P (A ∪B)). Então, a diferença n(A)− n(B) pode assumir A ( ) um único valor. B ( ) apenas dois valores distintos. C ( ) apenas três valores distintos. D ( ) apenas quatro valores distintos.

E ( ) mais do que quatro valores distintos.

3 docsity.com

Questão 15. Considere um número real a = 1 positivo, fixado, e a equação em x a2x + 2βax − β = 0, β ∈ R Das afirmações:

I · Se β < 0, então existem duas soluções reais distintas; II · Se β = −1, então existe apenas uma solução real; III · Se β = 0, então não existem soluções reais; IV · Se β > 0, então existem duas soluções reais distintas,

é (são) sempre verdadeira(s) apenas

A ( ) I. B ( ) I e III C ( ) II e III.

D ( ) II e IV. E ( ) I, III e IV .

Questão 16. Seja S = { x ∈ R|arc sen

( e−x − ex

2

) + arccos

( ex − e−x

2

) =

π

2

} . Então,

A ( ) S = ∅. B ( ) S = {0}. C ( ) S = R+  {0}. D ( ) S = R+. E ( ) S = R.

Questão 17. Seja x ∈ [0, 2π] tal que sen(x) cos(x) = 2 5 . Então, o produto e a soma de todos os

possíveis valores de tg(x) são, respectivamente

A ( ) 1 e 0. B ( ) 1 e 5

2 . C ( ) −1 e 0.

D ( ) 1 e 5. E ( ) −1 e −5 2

.

Questão 18. A soma n∑

k=0

cos(α+ kπ), para todo α ∈ [0, 2π], vale

A ( ) − cos(α) quando n é par. B ( ) − sen(α) quando n é ímpar. C ( ) cos(α) quando n é ímpar. D ( ) sen(α) quando n é par.

E ( ) zero quando n é ímpar.

Questão 19. Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz 2 √ 3

3 cm é interceptado por um plano

paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo

volume de um cubo de aresta ( π 243

)1/3 cm, é necessário que a distância do plano à base do cone original

seja, em cm, igual a

A ( ) 1

4 . B ( )

1

3 . C ( )

1

2 . D ( )

2

3 . E ( )

3

4 .

4 docsity.com

Questão 20. A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120◦ e área igual a 3π cm2. A área total e o volume deste cone medem, em cm2 e cm3, respectivamente

A ( ) 4π e 2π √ 2

3 . B ( ) 4π e

π √ 2

3 . C ( ) 4π e π

√ 2.

D ( ) 3π e 2π √ 2

3 . E ( ) π e 2π

√ 2.

AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E REPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.

Questão 21. Dez cartões estão numerados de 1 a 10. Depois de embaralhados, são formados dois conjuntos de 5 cartões cada. Determine a probabilidade de que os números 9 e 10 apareçam num mesmo conjunto.

Questão 22. Determine os valores reais de x de modo que sen(2x)− √ 3 cos(2x) seja máximo.

Questão 23. Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são 1, 1 + x1, 1+x2, . . . , 1+xn e todos os outros termos são iguais a 1. Sabe-se que (x1, x2, . . . , xn) é uma progressão

geométrica cujo primeiro termo é 1

2 e a razão é 4. Determine a ordem da matriz A para que o seu

determinante seja igual a 256.

Questão 24. Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz

A =

 

n log2 2 − log2 1

2

n+ 5 log3 3 n log3 243

−5 log5 1

125 − log5 25

 

é igual a 9, determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa A−1.

Questão 25. Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio 2 cm e um ponto P que dista 2

√ 2 cm do centro de ω. Considere os segmentos PA e PB tangentes a ω nos pontos A e B,

respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor ⌢

AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine:

a) A área total da superfície do sólido.

b) O volume do sólido.

Questão 26. As interseções das retas r : x− 3y + 3 = 0, s : x+ 2y − 7 = 0 e t : x+ 7y − 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura igual a 2 unidades de comprimento. Determine:

a) A área total da superfície do prisma.

b) O volume do prisma.

5 docsity.com

Questão 27. Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 32% estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam apenas Física e Matemática, enquanto 4% estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam 63 estudantes. Determine n.

Questão 28. Analise se f : R → R, f(x) = { 3 + x2, x ≥ 0 3− x2, x < 0 é bijetora e, em caso afirmativo,

encontre f−1 : R→ R.

Questão 29. Determine os valores de θ ∈ [0, 2π] tais que logtg(θ) esen(θ) ≥ 0.

Questão 30. As retas r1 e r2 são concorrentes no ponto P , exterior a um círculo ω. A reta r1 tangencia ω no ponto A e a reta r2 intercepta ω nos pontos B e C diametralmente opostos. A medida

do arco ⌢

AC é 60◦ e PA mede √ 2 cm. Determine a área do setor menor de ω definido pelo arco

AB.

6 docsity.com

comentários (0)
Até o momento nenhum comentário
Seja o primeiro a comentar!
Esta é apenas uma pré-visualização
Consulte e baixe o documento completo
Docsity is not optimized for the browser you're using. In order to have a better experience we suggest you to use Internet Explorer 9+, Chrome, Firefox or Safari! Download Google Chrome